Нечёткие множества. Лингвистическая переменная.

Малюшицкая Дарья 2ПКС20

Нечеткие множества

Математическая теория нечетких множеств и нечёткая логика является

обобщением классической теории множеств и формальной логики. Данные

понятия были предложены американским учёным З. Лотфи в 1965 году.

Основной причиной появления новой теории стоило наличие нечётких и

приближённых рассуждений при описании человеком процессов, систем,

объектов.

Степень выраженности некоторого значения для определенного терма можно задать нечетким множеством.

Переход от обычного (четкого) множества к нечеткому достигается отказом от возможности точно указать, принадлежит ли данный элемент множеству или нет. Свойство «принадлежать множеству» в обычном понимании может быть выражено всего двумя значениями: «принадлежит» и «не принадлежит» («истина» и «ложь», 1 и 0).

При нечетком подходе указывается степень принадлежности элемента, обычно выражаемая числом из отрезка [0; 1]. При этом граничные значения 0 и 1 соответствуют полному отсутствию и полному наличию принадлежности элемента множеству, т.е. обычным значениям «ложь» и «истина» соответственно.

Существуют различные способы задания нечеткого множества, среди которых выделяют следующие:

- в виде перечисления, суммы или таблицы (для дискретной предметной области X);

- в виде графика (если предметная область X непрерывна) или диаграммы (если она дискретна);

- в виде формулы (как для дискретной, так и для непрерывной предметной области X).

Пусть A есть некоторое подмножество универсального множества E. Принадлежность любого элемента x подмножеству A можно выразить с помощью функции принадлежности (x) μ A , значения которой указывают, является ли (да или нет) x элементом A: μ A(x) =1, если x∈ A, μ A(x) = 0, если x∉ A. Предположим теперь, что характеристическая функция для элементов подмножества A может принимать не только значения 0 или 1, но и любое значение а∈[0,1], т.е. μ A(x) = a ∈ [0,1]. Математический объект, определяемый выражением {( | 0,2),( | 0,4),( |1),( | 0)} 1 2 3 4 A = x x x x , где i x – элементы универсального множества E, а число после вертикальной черты – значение функции принадлежности для этого элемента, будем называть нечетким подмножеством множества E.

С точки зрения характеристической функции нечеткие множества есть естественное обобщение обычных множеств, когда мы отказываемся от бинарного характера этой функции и предполагаем, что она может принимать любые значения на отрезке [0,1]. В теории нечетких множеств характеристическая функция называется функцией принадлежности, а ее значение µА(х) – степенью 16 принадлежности элемента x нечеткому множеству A. Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента x множеству A.

Операции над нечеткими множествами.

Пусть A и B – два нечетких множества.

Равенство множеств A и B.

Нечеткие множества A и B равны между собой, когда для всех элементов xi обоих множеств выполняется условие (x) (x) μ A = μ B .

Логическая сумма.

Логическая сумма (объединение) двух нечетких подмножеств A и B, A∪B, определим как наименьшее нечеткое подмножество, которое содержит как A, так и B: (x) (x) (x) Max[A(x),B(x)] μ A∪B = μ A ∪ μ B = , где знак ∪обозначает оператор Max.

Логическое произведение. Логическое произведение (пересечение) двух нечетких подмножеств A и B, обозначаемое A∩ B , определяют как наибольшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в A и B (x) (x) (x) Min[A(x),B(x)] μ A∪B = μ A ∩ μ B = , где знак ∩обозначает оператор Min.

Отрицание множества A . В этом случае соотношение для функций принадлежности элемента x к множествам Aи A имеет вид (x) 1 (x) μ A = − μ A .

Концентрация. Операция концентрации CON(A) записывается в виде 2 (x) [ (x)] μCON = μ A .

Растяжение. Операция растяжения DIL(A) записывается в виде 0,5 (x) [ (x)] μ DIL = μ A . Лингвистическое значение этой операции формулируется как “примерно” или “приблизительно”.

Алгебраическое произведение. Выражение для функции принадлежности элемента x к алгебраическому произведению двух множеств A∗Bимеет вид (x) (x) (x) μ A∗B = μ A ∗μ B .

Нечёткие множества, как и обычные множества, будем обозначать большими буквами латинского алфавита: А, B, C, D… Чтобы задать нечёткое множество, необходимо: 1) задать универсальное множество Х; 2) задать функцию принадлежности µА(х) каждого элемента х∈Х нечёткому множеству А.

Для того чтобы применение теории в приложениях оказалось полезным, необходимо иметь содержательную интерпретацию нечётких множеств и нечётких чисел. Пусть A – нечёткое число и µ A – её функция принадлежности. Тогда значение (x) µ A показывает правдоподобность того, что действительное значение величины A равно x. Л. Заде [20] показал, что такая трактовка неопределённости, связанной с нечётким числом, не является вероятностной. Возникает новая теория, работающая с неопределённостью, которую Заде назвал теорией возможностей [21,22]. Таким образом, (x) µ A показывает возможность того, что нечёткая величина A принимает значение x.

Теория нечётких множеств в определенном смысле сводится к теории случайных множеств и тем самым к теории вероятностей. Последовательность теорем, описывающих это сведение, дана в монографиях [2, 3, 4]. Основная идея состоит в том, что значение функции принадлежности   можно рассматривать как вероятность накрытия элемента   некоторым случайным множеством  .

Лингвистическая переменная

Лингвистической называется переменная, принимающая значения из множества слов или словосочетаний некоторого естественного или искусственного языка. Множество допустимых значений лингвистической переменной называется терммножеством. Термом (term) называется любой элемент терм–множества. В теории нечетких множеств терм формализуется нечетким множеством с помощью функции принадлежности.

Лингвистической переменной называется переменная, значения которой выражены на естественном языке в виде качественных оценок.

Лингвистическая переменная отличается тем, что её значения не числа, а слова. Поскольку слова менее точны, чем числа, то понятие лингвистической переменной даёт возможность приближено описывать явления, которые настолько сложны, что не поддаются описанию в общепринятых количественных терминах.

Понятие лингвистической переменной играют большую роль в нечётком логическом выводе и в принятии решений на основе приближенных рассуждений.

С помощью лингвистических переменных могут быть выражены как исходные величины (входные переменные), так и итоговые (выходные переменные) по отношению к некоторой решаемой задаче.

Значение, которое может принимать лингвистическая переменная, называется лингвистическим значением или термом.

Лингвистическим терм-множеством называется конечное множество всех лингвистических значений, используемых для задания некоторой лингвистической переменной.

Для нечетких множителей вводите понятие нечетко лингвистических переменных. Нечеткая переменная описывается набором (α, χ, A), где α - название переменной, χ - универсальное множество (область α), A-нечеткие множества на x,описывающие ограничение ( MA(x) на значение нечеткой переменной α). Значение нечетной лингвистической переменной могут быть нечеткие переменные, описывается набором (В, Т, X, G, P) B- лингвистическое, Tмножества ее значений, представляющих собой наименование нечетких переменных- X, областью определения каждой из которых является множество - X. Множество T называется базовым лингвистической переменной. G - синтаксическая процедура, позволяющая оперировать элементами - T (например генерировать новые значения), M - синтаксическая процедура, позволяющая превратить каждое новое значение лингвистической переменной, образующая процедурой G в нечеткого переменного, т.е. сформировать соответствующие нечеткие множество.

Нечеткая переменная определяется как кортеж: , где а— наименование или название нечеткой переменной; X— область ее определения (универсум);

Лингвистическая переменная также определяется как кортеж: , где: β — наименование или название лингвистической переменной; Т — базовое терм-множество лингвистической переменной или множество ее значений (термов), каждое из которых представляет собой наименование отдельной нечеткой переменной α; X— область определения (универсум) нечетких переменных, которые входят в определение лингвистической переменной β; G — некоторая синтаксическая процедура, которая описывает процесс образования или генерирования из множества Т новых, осмысленных в рассматриваемом контексте значений для данной лингвистической переменной; М— семантическая процедура, которая позволяет поставить в соответствие каждому новому значению данной лингвистической переменной, получаемому с помощью процедуры G, некоторое осмысленное содержание посредством формирования соответствующего нечеткого множества.

Значениями лингвистической переменной являются нечеткие множества, символами которых являются слова и предложения в естественном или формальном языке, служащие, как правило, некоторой элементарной характеристикой явления