Определенный интеграл и его приложения

Определенный интеграл

a – нижний предел интегрирования;

b – верхний предел интегрирования

Геометрический смысл определенного интеграла

Формула Ньютона-Лейбница

Значение определенного интеграла равно разности значений любой первообразной от подынтегральной функции, взятой при верхнем и нижнем пределах интегрирования:

Свойства определенного интеграла

Основные методы нахождения определенного интеграла

• Метод непосредственного интегрирования.
• Метод замены переменной.
• Метод интегрирования по частям.

Вычислить определенный интеграл (непосредственное интегрирование)

Метод замены переменной

ВАЖНО! После введения новой переменной нужно вычислить новые значения для границ интеграла, так как переменная в интеграле изменилась.

Вычислить определенный интеграл (замена переменной)

Метод интегрирования по частям

Вычислить определенный интеграл (интегрирование по частям)

Применение определенного интеграла

Вычисление площади плоских фигур

Если - непрерывная функция, на [a, b], то

Вычисление площади плоских фигур

Если - непрерывная функция,

на [a, b], то

Вычисление площади плоских фигур

Если непрерывная на [a; c], непрерывная

на [c; b], где , то

Вычисление площади плоских фигур

Если - непрерывные функции на [a; b], то

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Вычисление объема тел вращения

Вычислить объем тела, полученного вращение вокруг оси ОХ криволинейной трапеции, заданной линиями

В физике

Какую работу необходимо совершить, чтобы растянуть пружину на 18 см, если сила в 24 Н растягивает пружину на 3 см?

Применение определенного интеграла в медицине

Преобразование Радона

За первые 13 дней химиотерапии масса злокачественной опухоли уменьшалась со скоростью M′(t)=0,2t-0,015t 2 грамм в день. Какова масса опухоли на десятый день лечения, если ее первоначальная масса была 180 грамм?