Перпендикулярные прямые в пространстве

Тема урока:

«Перпендикулярные прямые в пространстве»

Модель куба.

• Как называются прямые АВ и ВС?

• Найдите угол между

прямыми АА 1 и DC ;

ВВ 1 и А D .

D 1

С 1

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними составляет 90 0 .

В 1

А 1

D

С

В пространстве

перпендикулярные прямые

могут пересекаться

и могут скрещиваться.

А

В

Рассмотрим прямые АА 1 , СС 1 и DC .

АА1 II СС 1 ; DC СС 1

D 1

С 1

АА 1 DC

В 1

А 1

Лемма

Если одна из параллельных

прямых перпендикулярна

к третьей прямой, то и другая

прямая перпендикулярна

к этой прямой.

D

С

А

В

Найдите угол между прямой АА 1 и прямыми плоскости (АВС): АВ, А D , АС, В D , М N .

90 0

90 0

90 0

D 1

С 1

90 0

90 0

В 1

А 1

Определение

Прямая называется

перпендикулярной к плоскости,

если она перпендикулярна к

любой прямой, лежащей

в этой плоскости.

D

С

М

А

В

N

Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

a

a

5

Канат в спортивном зале перпендикулярен плоскости пола.

5

Подвес люстры обычно перпендикулярен плоскости потолка и плоскости пола. Но бывают моменты, когда эта ситуация меняется.

5

Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

а 1

а

х

Обратная теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

M

c

b

а

b 1

№ 117.

В тетраэдре АВС D ВС А D . Докажите, что А D MN , где М и N – середины ребер АВ и АС.

D

II

N

А

C

M

B

10

№ 119. Прямая ОА OBC . Точка О является серединой отрезка А D . Докажите, что АВ = В D .

По опр.

A

O

В

Л.С. Атанасян №119.

С

D

11

№ 119. Прямая ОА OBC . Точка О является серединой отрезка А D , ОВ = ОС. Докажите, что АВ = АС.

По опр.

A

В

O

Л.С. Атанасян №119.

С

С

D

12

№ 119. Прямая ОА OBC . Точка О является серединой отрезка А D . ОВ = ОС. Докажите, что АВ = АС.

По опр.

A

В

O

Л.С. Атанасян №119.

С

С

D

13

№ 120. Через точку О пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна a , проведена прямая ОК, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки К до вершин квадрата, если ОК = b .

По опр.

К

b

В

С

Л.С. Атанасян №120.

a

O

А

a

D

14

№ 121. В треугольника АВС дано: С = 90 0 , АС = 6 см, ВС = 8 см, СМ – медиана. Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника АВС, причем

СК = 12 см. Найдите КМ.

По опр.

К

А

12 см

6см

М

Л.С. Атанасян №121.

С

8 см

В

15

№ 121. Еще один эскиз к задаче

К

12 см

С

6см

А

8 см

Л.С. Атанасян №121.

М

В

16

АВС – правильный треугольник. О – его центр, ОМ – перпендикуляр к плоскости АВС, ОМ = 1. Сторона треугольника равна 3. Найдите расстояние от точки М до вершин треугольника.

По опр.

М

1

В

А

Зив Б.Г. «Дидактические материалы по геометрии для 10 класса»

O

3

С

17

Через вершину А треугольника АВС проведена плоскость, параллельная ВС, ВВ 1 и СС 1 , СС 1 =4, АС 1 =

АВ 1 = , . Найдите ВС.

ВВ 1

СС 1

В

С

4

4

В 1

С 1

Л.С. Атанасян №125.

А

18

Дано:

Дано:

АВС –равносторонний треугольник со стороной

О – точка пересечения медиан. Найти расстояние от точки М до вершин треугольника.

АВС D – квадрат со стороной 4, О – точка пересечения диагоналей. Найти расстояние от точки М до вершин квадрата.

М

М

1

2

В

А

4

В

С

Зив Б.Г. «Дидактические материалы по геометрии для 10 класса» Самостоятельная работа

4

O

O

4

А

4

D

С

19

№ 124. Прямая Р Q параллельна плоскости . Через точки Р и Q проведены прямые, перпендикулярные к плоскости , которые пересекают эту плоскость соответственно в точках Р 1 и Q 1 . Докажите, что Р Q = P 1 Q 1 .

РР 1

QQ 1

Р

Q

PP 1 IIQQ 1

P 1

Q 1

Л.С. Атанасян №124.

20

ABCD – параллелограмм. BE (ABC), DF (ABC)

Доказать: (АВЕ) II (С DF)

ВЕ (АВС)

DF (АВС)

Е

ВЕ II DF

F

В

С

AB II DC

( AB Е) II ( CDF)

D

А

21

№ 125. Через точки Р и Q прямой PQ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости , которые пересекают эту плоскость соответственно в точках Р 1 и Q 1 . Найдите Р 1 Q 1 .

Q

15

РР 1

QQ 1

Р

PP 1 IIQQ 1

33,5

21,5

P 1

Q 1

Л.С. Атанасян №125.

По опр.

22