Первый признак равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников

Мишина Ирина Владимировна

МОУ- «ПЛАНЕТА ДЕТСТВА»

• Ввести понятие теоремы и доказательства теоремы;
• Доказать первый признак равенства треугольников;
• Научить решать задачи на применение первого признака равенства треугольников.

23 см.

Задача

∆ А PC = ∆ FMB, ∠P = ∠M, ∠A = ∠F, FB = 17 см , PC = 23 см.

Дано:

Найти:

АС и МВ.

1

P

M

?

С

B

А

F

17 см

?

10 см .

Задача

∆ АВ C = ∆ ADC, ∠ABC = 70°, AB = 10 см .

Дано:

Найти:

∠ MDC, AD.

B

2

70°

C

А

?

D

?

M

3

Задача

АВ = АС = ВС, А D = DC,

P ₁ = 36 см, P₂ = 40 см.

Дано:

стороны ∆ АВС и ∆ А D С.

Найти:

3

D

В

А

С

4

N

С

K

M

В

А

5

6

Доказывать признаки нужно с помощью теоремы

(утверждение, справедливость

которого устанавливается путем рассуждений).

Сами рассуждения называются доказательством теоремы.

Любая теорема состоит из условия

и заключения.

Условие – это уже известные факты, о которых

говорится в теореме, а заключение – это то, что

нужно получить, доказать.

6

Если две стороны и угол между ними одного

треугольника соответственно равны

двум сторонам и углу между ними

другого треугольника, то такие

треугольники равны.

Теорема:

С

N

1

2

В

А

K

M

6

Теорема:

(условие) ∆ АВ C , ∆ А ₁В₁ С ₁, АВ = А ₁ В ₁,

А С = А ₁С₁, ∠ А = ∠ А ₁.

Дано:

(заключение) ∆ АВ C = ∆ А ₁В₁ С ₁,

Доказать:

С

N

1

2

В

А

M

K

Доказательство.

Так как ∠ А = ∠ А ₁, то ∆ АВ C можно наложить на ∆ А ₁В₁ С ₁ так, что вершина А совместится с вершиной А ₁.

Поскольку АВ = А ₁ В ₁, А С = А ₁С₁, то сторона АВ совместится со стороной А₁В₁, а сторона А С со стороной А ₁С₁.

С

Поэтому совместятся точки В и В ₁,

С и С₁, следовательно совместятся

сторона В С со стороной В ₁С₁.

А

С ₁

В

Два треугольника называются равными, если при наложении они совмещаются.

В ₁

А ₁

Значит, ∆ АВ C = ∆ А ₁В₁ С ₁, что и требовалось доказать.

Задача

Отрезки АЕ и DC пересекаются в точке В, являющейся

серединой каждого из них. а) Докажите, что ∆ АВ C = ∆ Е В D ;

б) найдите углы А и С в ∆ АВ C , если в ∆ Е В D ∠ D = 47°, ∠ E = 42°.

C

E

?

4 2 °

B

4 7 °

?

Решение

A

D

• АВ = ВЕ, и СВ = В D, так как по условию точка В – середина отрезков АЕ и DC . ∠СВА = ∠ЕВ D, так как эти углы вертикальные. По первому признаку равенства треугольников ∆ АВ C = ∆ Е В D .

2) В равных треугольниках против соответственно равных

сторон лежат равные углы, поэтому ∠ А = ∠ Е = 42° ,

∠ С = ∠ D = 47°,

Ответ: ∠ А = 42° , ∠С =47° .

11

• Что такое теорема и доказательство теоремы?
• Сформулировать первый признак равенства треугольников.
• Доказать теорему, выражающую первый признак равенства треугольников.

12