Презентация к уроку алгебры в 9 классе по теме "Решение квадратных неравенств"

• Решение Квадратных неравенства

• Алгоритм решения квадратного неравенства

Рассмотреть функцию у=ах 2 + bx +c

1.Найти нули функции (решить уравнение

2.Определить направление ветвей параболы

3.Схематично построить график функции.

4. Учитывая знак неравенства, выписать ответ.

ах 2 + bx +c=0

0 D а0 x x x x x а x " width="640"

Расположение графика квадратичной функции у=aх 2 +bx+c относительно оси абсцисс в зависимости от дискриминанта и коэффициента а

D =0

D 0

D

а0

x

x

x

x

x

а

x

0 - ветви направлены вверх 3) Найдем точки пересечения с Ох: для этого решим квадратное уравнение -1 5 Х 4) Схематично изобразим параболу. Посмотрим на знак неравенства, выделим соответствующие части графика и соответствующие части Ох. 5) 6) 3 05/26/2025 " width="640"

Алгоритм решения квадратного неравенства на примере неравенства .

1) Введем функцию

2) Определим направление ветвей параболы. а 0 - ветви направлены вверх

3) Найдем точки пересечения с Ох: для этого решим квадратное уравнение

-1

5

Х

4)

Схематично изобразим параболу.

Посмотрим на знак неравенства, выделим соответствующие части графика и соответствующие части Ох.

5)

6)

3

05/26/2025

0 Ответ (-∞ ; -1 ) U ( 3 +∞) 2 b) х - 2х - 3≥0 (-∞ ; -1 ] U [ 3 +∞) ответ -1 x 3 2 в) х - 2х – 3ответ ( -1; 3 ) 2 г) х - 2х - 3≤0 [ -1; 3 ] ответ " width="640"

2

у= х - 2х - 3

На рисунке график функции

y

Решите неравенство

2

a) х - 2х – 30

Ответ

(-∞ ; -1 ) U ( 3 +∞)

2

b) х - 2х - 3≥0

(-∞ ; -1 ] U [ 3 +∞)

ответ

-1

x

3

2

в) х - 2х – 3

ответ

( -1; 3 )

2

г) х - 2х - 3≤0

[ -1; 3 ]

ответ

1

Решить неравенство

2

- 4х +2х≥0

2

1. - 4х +2х=0

2

4х -2х=0

2х(2х -1) =0

Х =0 х =0,5

2

0

0,5

1

x

2. а

Ветви направлены вниз

2

- 4х +2х ≥ 0

[ 0 ; 0,5 ]

0) Чертим эскиз графика Ищем значения х , при которых точки параболы лежат выше или на оси Ох (знак у неравенства нестрогий “ ≥ ” ) Ответ: х  - 3, х  3  х 3 - 3 х  3 х  - 3 6 " width="640"

• Пример 1

Решить неравенство: x 2 – 9  0

• x 2 – 9 = 0, x 2 = 9, x 1,2 =  3, отмечаем корни на оси Ох
• Ветви параболы направлены верх ( а =1, 10)
• Чертим эскиз графика
• Ищем значения х , при которых точки параболы лежат выше или на оси Ох (знак у неравенства нестрогий “ ≥ ” )
• Ответ: х  - 3, х  3



х

3

- 3

х  3

х  - 3

6

0  х 2 – х +12 = 0, х 1 = - 4, х 2 = 3 Ветви параболы направлены вниз ( a = - 1, -1Чертим эскиз графика Ищем значения х, при которых точки параболы лежат выше оси Ox (знак у неравенства строгий “ ” ) Ответ: - 4 x х 3 - 4 - 4 x 6 " width="640"

• Пример 2

Решить неравенство:

 х 2 – х +12 0

•  х 2 – х +12 = 0, х 1 = - 4, х 2 = 3
• Ветви параболы направлены вниз ( a = - 1, -1
• Чертим эскиз графика
• Ищем значения х, при которых точки параболы лежат выше оси Ox (знак у неравенства строгий “ ” )
• Ответ: - 4 x

х

3

- 4

- 4 x

6

0 х 2 + 9 = 0, х 2 =  9,  9 нет корней. Парабола не пересекает ось Ox. Ветви параболы направлены вверх ( а =1, 1 0 ) Чертим эскиз графика Ищем значения х при которых график функции расположен выше оси Ох. Ответ: х – любое число(или (- ∞; + ∞)). х Все точки параболы лежат выше оси Ox. Неравенство выполняется при любом значении х 6 " width="640"

• Пример 3

Решить неравенство: х 2 + 9 0

• х 2 + 9 = 0, х 2 =  9,  9 нет корней. Парабола не пересекает ось Ox.
• Ветви параболы направлены вверх ( а =1, 1 0 )
• Чертим эскиз графика
• Ищем значения х при которых график функции расположен выше оси Ох.
• Ответ: х – любое число(или (- ∞; + ∞)).

х

Все точки параболы

лежат выше оси Ox.

Неравенство выполняется

при любом значении х

6

0 ) Чертим эскиз графика Ищем значения х при которых график функции расположен ниже оси Ох. Ответ: нет решений х На параболе точек, лежащих ниже оси Ox нет. Неравенство решений не имеет. 6 " width="640"

• Пример 4

Решить неравенство: х 2 + 9

• х 2 + 9 = 0, х 2 =  9,  9 нет корней. Парабола не пересекает ось Ox.
• Ветви параболы направлены вверх ( а = 1, 1 0 )
• Чертим эскиз графика
• Ищем значения х при которых график функции расположен ниже оси Ох.
• Ответ: нет решений

х

На параболе точек,

лежащих ниже оси Ox нет.

Неравенство решений

не имеет.

6

• Пример 5

Решить неравенство:

- 4х 2 +12х-9  0

• - 4х 2 +12х-9=0, D = 0, x=1,5
• Ветви параболы направлены вниз ( а =  4,  4
• Чертим эскиз графика
• Ищем значения х , при которых точки параболы расположены выше или на оси Ох
• Ответ: х=1,5

х

1,5

Точек, лежащих выше

оси Ох, нет.

На оси Ох только

одна точка.

Ее абсцисса х=1,5 –

решение неравенства

6

0 - 4х 2 +12х-9=0, D = 0, x=1,5 Ветви параболы направлены вниз ( а =  4,  4Чертим эскиз графика Ищем значения х , при которых точки параболы расположены выше оси Ох Ответ: нет решений. х 1,5 Точек, лежащих выше оси Ох, нет. Неравенство решений не имеет. 6 " width="640"

• Пример 6

Решить неравенство:

- 4х 2 +12х-90

• - 4х 2 +12х-9=0, D = 0, x=1,5
• Ветви параболы направлены вниз ( а =  4,  4
• Чертим эскиз графика
• Ищем значения х , при которых точки параболы расположены выше оси Ох
• Ответ: нет решений.

х

1,5

Точек, лежащих выше

оси Ох, нет.

Неравенство решений

не имеет.

6

• Пример 7

Решить неравенство:

- 4х 2 +12х-9  0

• - 4х 2 +12х-9=0, D = 0, x=1,5
• Ветви параболы направлены вниз ( а =  4,  4
• Чертим эскиз графика
• Ищем значения х , при которых точки параболы расположены ниже или на оси Ох
• Ответ: х – любое число.

х

1,5

Каждая из точек параболы

лежит либо ниже либо на

оси Ох.

Неравенство выполняется

при любых значениях х

6

• Пример 8

Решить неравенство:

- 4х 2 +12х-9

•  4х 2 +12х  9=0, D = 0, x=1,5
• Ветви параболы направлены вниз ( а =  4,  4
• Чертим эскиз графика
• Ищем значения х , при которых точки параболы расположены ниже оси Ох
• Ответ: х ≠1,5 (или (  ∞; 1,5)  (1,5; +∞)).

х

1,5

При всех значениях х ,

кроме х = 1,5

точки параболы

расположены

ниже оси Ох

6

Найдите множество

решений неравенства:

1. Рассмотрим функцию

2. Графиком функции является парабола , ветви ее направлены вниз (т.к. ).

3. Найдем нули функции:

4. На область определения

функции нанесем нули

Функции. Нарисуем параболу.

///////////

3

х

-2

5. Найдем значения переменной х, при которых

Решите неравенство:

\\\\\\\\\\\\\\\\\

6

х

-8

Проверь себя

Решите неравенство:

Проверь себя

/////////////////////

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

5

-3

х

Найдите, при каких значениях х трехчлен:

принимает положительные значения.

Решение:

Проверь себя

\\\\\\\\\\\\\

/////////////

-1

-1,5

х