Россия, Тюмень
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Был в сети 07.07.2025 06:18
Ленский Александр Петрович
Учитель математики и информатики
39 лет
39 501
558 
Местоположение
Презентация к уроку по теме: Сложение и вычитание векторов
Категория:
Математика
24.02.2019 19:10
Просмотр содержимого документа
«Презентация к уроку по теме: Сложение и вычитание векторов»
!
Сложение векторов. Правило треугольника.
АС
АВ + ВС =
С
a +
b
b
А
a
b
В
a
«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
Для любого нулевого вектора справедливо равенство
!
a + 0 = a
2
b
a +
b
a +
Докажем, что если при сложении векторов точку А заменить другой точкой А 1 , то полученный вектор А 1 С 1
будет равен АС. Рассмотрим случай.
АВВ 1 А 1 – параллелограмм
b
a
В
b
a
ВСС 1 В 1 – параллелограмм
С
А
АСС 1 А 1 – параллелограмм
В 1
«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
b
a
С 1
А 1
3
Правило треугольника.
АС
А S + S С =
АВ + ВС =
АС
АР
NM + ML =
АО + ОР =
NL
RR = 0
RP + PR =
MR
MN + NR =
ZK + KZ =
ZZ = 0
MK + KM =
MM = 0
«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
OM + MK
MK + OM =
KD + DE =
DE + KD =
= OK
= KE
4
Правило треугольника.
АВ + ВС
АС =
ON =
ON + N В
OB =
OB + В N
AS =
RS + SA
RA =
AR + RS
XH =
KX =
KH + HX
XK + KH
«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
MD =
MA + AD
AD =
AM + MD
OF + FP
OP =
FO =
FP + PO
5
b
a +
По правилу треугольника складываются и коллинеарные векторы, хотя при их сложении треугольника и не получается
b
a +
b
a
b
«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
a
6
b
a +
b
a
f
«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
c +
f
c
7
Законы сложения векторов
Теорема
a , b, c
Для любых векторов справедливы равенства:
!
a + b = b + a
1
переместительный закон
«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
!
( a + b ) + c = a + (b + c)
2
сочетательный закон
8
1
Докажем свойство
Рассмотрим случай, когда векторы и не коллинеарны.
b
a
В
b
b
a +
b
А
C
a
a
«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
D
= b +
a
АС =
АВ + ВС
= a +
b
АС =
А D + D С
9
При доказательстве свойства 1 0 мы обосновали правило параллелограмма сложения неколлинеарных векторов.
Чтобы применить правило параллелограмма, надо отложить векторы от одной точки, как стрелки часов.
12
11
1
10
2
3
9
4
8
5
7
6
10
Сложение векторов. Правило параллелограмма.
12
11
1
b
10
2
a+b
b
a
9
3
«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
8
4
a
5
7
6
11
2
Докажем свойство
b
b
a
В
C
c
c
a
D
А
«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
А C
(a + b)+c
= А D
= ( АВ + ВС ) + CD
= АС + CD
BD
a + (b+c)
= А B + BD
= АВ + ( ВС + CD)
= А D
12
a+c+m+n
Сложение векторов.
Правило многоугольника.
АВ + ВС + С D + DO
= А O
n
m
a
m
n
c
c
«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
a
13
Правило многоугольника можно сформулировать также следующим образом: если А 1 , А 2 , …, А n – произвольные точки плоскости, то
= А 1 A n
А 1 А 2 + А 2 А 3 + … + А n-1 A n
А 6
А 7
А 1
А 4
А 5
«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
А 2
А 3
13
!
Если начало первого вектора совпадает с концом последнего вектора, то сумма данных векторов равна нулевому вектору.
a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +a 5
= 0
a 3
a 3
a 5
a 2
a 4
a 4
a 1
«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
a 1
a 2
a 5
15
a 1
Вектор называется противоположным
вектору , если векторы и имеют равные
длины и противоположно направлены.
a 1
a
a
a 1
a
a = a 1 ;
a a 1
- b
b
Вектор , противоположный вектору
b
А
А
- b
Вектор ВА , противоположный
вектору АВ
«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
ВА = – АВ
a + (-a) = 0
В
В
16
a, b, c, d
№ 766 На рисунке изображены векторы
ХУ . Представьте вектор ХУ в виде суммы остальных или им
противоположных векторов.
b
–
–
a
c
Х
«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
d
– a – b + c + d =
ХУ
У
17
a –
= a +(–
b )
b
Вычитание векторов.
- b
b
- b
a -
b
a
«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
a
18
Вычитание векторов.
MF - SF =
MF + FS
= MS
= MO
= MR + RO
RO + MR
RO - RM =
= MS
MD - SD =
MD + DS
= RA
RO + OA
RO - AO =
«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
RO - RO =
= 0
= RR
RO + OR
= TS + SO
- OS - ST =
= TO
SO + TS
19
№ 768 Точки М и N – середины сторон АВ и АС
треугольника АВС. Выразите векторы ВМ, NC, MN, BN
через векторы = АМ и = А N
b
a
В
a
-
ВМ =
b
М
NC =
a
-
a + b
«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
MN =
MA + AN
=
b
А
С
N
+ b
a
-
-
a
BN =
BA + AN
=
20
Найдите
АВ + AD – DC – OD
АВ + AD – DC – OD
ABCD - прямоугольник
C
B
5
3
О
А
D
4
«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
( )
= АО
= АС + CD + DO
= АС – DC – OD
21
АВ + ВС =
А S + S С =
АО + ОР =
NM + ML =
MN + NR =
RP + PR =
MK + KM =
ZK + KZ =
DE + KD =
MK + OM =
ON =
OB =
AS =
RA =
XH =
KX =
MD =
AD =
OP =
FO =
22
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
