Прототипы задач ОГЭ. Модуль "Геометрия"

ОГЭ 2015

Подготовка к ОГЭ

Решение задач обязательной части

ОГЭ по геометрии

Задачи № 9, 10, 11, 12, 13

Модуль «Геометрия» содержит 8 заданий: в части 1 - 5 заданий, в час-

ти 2 - 3 задания.

ГИА 2013

Модуль «Геометрия» содержит 8 заданий:

в части 1 - 5 заданий , в части 2 - 3 задания .

Код по КЭС

7.1

Название раздела содержания

Число заданий

Геометрические фигуры и их свойства.

7.2

7.3

1

Треугольник

7.4

1

Многоугольники

7.5

1

Окружность и круг

1

Измерение геометрических величин

7.6

1

Векторы на плоскости

0

Модуль «Геометрия» содержит 8 заданий: в части 1 - 5 заданий, в час-

ти 2 - 3 задания.

ГИА 2013

Вашему вниманию представлены

тридцать пять

прототипов задач № 9, 10, 11, 12, 13

ОГЭ – 2015 .

Задача № 9. 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7

Задача № 10. 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7

Модуль «Геометрия» содержит 8 заданий: в части 1 - 5 заданий, в час-

ти 2 - 3 задания.

Задача № 11. 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7

Задача № 12. 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7

Задача № 13. 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7

Повторение (2)

Ответ: 70

3

Повторение

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны

В треугольнике сумма углов равна 180°

3

Повторение (3)

∠ ВСА = 180° - 57° - 117°=6°

Ответ: 6

Повторение

Внешний угол треугольника – это угол, смежный с углом треугольника

Сумма смежных углов углов равна 180°

В треугольнике сумма углов равна 180°

Повторение (3)

Ответ: 111

Повторение

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны

Биссектриса – это луч, который делит угол пополам

В треугольнике сумма углов равна 180°

Один из углов параллелограмма на 46° больше другого. Найти больший из них.

Повторение (2)

∠ А+ ∠ D=180°

Пусть ∠А=х°, тогда ∠ D=(х+46)°

х+х+46 =180

2х =134

х =67

∠ D = 2∙67° =134°

Ответ: 134

Повторение

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны.

Если две параллельные прямые пересечены третьей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°

Найти больший угол параллелограмма АВСD.

Повторение (2)

∠ DCВ= ∠АCD+ ∠А СВ=23°+49°=72°

∠ С+ ∠ В=180°

∠ В =180°- ∠ В=180°-72°=108°

Ответ: 108

Повторение

Если угол разделен на части, то его градусная мера равна сумме градусных мер его частей.

В параллелограмме сумма соседних углов равна 180°

Углы ромба относятся как 3:7 .

Найти больший угол.

Повторение (2)

∠ 1+∠2=180°

Пусть K – коэффициент пропорциональности,

тогда ∠2=(3k)°, ∠1=(7k)°

3k+7k=180

10k=180

k=18

∠ 1=18°∙7=126°

Ответ: 126

Повторение

В ромбе противоположные стороны параллельны

Если две параллельные прямые пересечены третьей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°

Разность противолежащих углов трапеции равна 68°. Найти больший угол.

Повторение (2)

∠ А+∠В=180°

∠ В=∠С

Если ∠А=х°, то ∠В = (х+68)°

х+х+68=180

2х=180-68

х = 56

∠ В=56°+68°=124°

Ответ: 124

Повторение

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Сумма углов, прилежащих боковой стороне трапеции равна 180°.

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №10 (1)

В

Найти АС.

5

Повторение (2)

С

А

⇒

⇒

По теореме Пифагора

Ответ: 4

Повторение

Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №10 (2)

В

Найти АВ.

15

Повторение (2)

С

А

⇒

⇒

По теореме Пифагора

Ответ: 17

Повторение

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №10 (3)

С

Найти АВ.

26

Повторение ( 3 )

А

В

H

BH = HA, значит АВ = 2 AH.

⇒

HA = СH = 26

АВ = 2 ∙26 = 52

Ответ: 52

Повторение

Высота в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, является и медианой

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90⁰

Если в треугольнике два угла равны, то такой треугольник равнобедренный

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №10 (4)

С

Найти CH.

Повторение (2)

А

В

H

BH=HA, зн. АH= ½ AB=

По теореме Пифагора в ∆ACH

Ответ: 117

Повторение

Высота в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, является и медианой

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №10 (5)

С

Найти AB.

120 ⁰

Повторение ( 3 )

А

В

Проведем высоту CH, получим ∆ВCH.

H

∠ ВCH=60 ⁰

⇒

∠ CВH=30 ⁰

⇒

По теореме Пифагора в ∆BCH

Ответ: 75

Повторение

Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная к основанию является биссектрисой и медианой

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30⁰, равен половине гипотенузы

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №10 (6)

В

С

Дано: параллелограмм, BE – биссектриса ∠B, P=10,

АЕ:ЕD=1:3.

Найти: AD

1

2

D

А

Е

3

∠ 1=∠3 как накрест лежащие при секущей ВЕ

АВ=АЕ

∠ 3=∠2 так как ∠1=∠2 по условию

⇒

Пусть АЕ=х,

тогда АВ=х, ЕD=3х

Повторение (4)

2 ∙(х+4х)=10

Р=2 ∙(х+4х)

⇒

5х=5

Х=1

AD= 4 ∙ 1 =4

Ответ: 4

Повторение

Биссектриса – это луч, который делит угол пополам

Периметр многоугольника – это сумма длин всех сторон многоугольника

При пересечении двух параллельных прямых накрест лежащие углы равны

Если два угла в треугольнике равны, то треугольник - равнобедренный

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №10 (7)

В

С

АВСD – трапеция, AH=51, HD=94

Найти среднюю линию трапеции

М

К

?

D

А

94

51

E

H

Повторение ( 3 )

Проведем СЕ⍊AD, получим ∆ABH=∆CED и прямоугольник BCEH

⇒

AH=ЕD=51,

BC=HE=HD-ED=94-51=43,

⇒

AD=AH+HE+ЕD=

51+94=145

⇒

Ответ: 94

Повторение

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то треугольники равны

Если отрезок точкой разделен на части, то его длина равна сумме длин его частей

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований трапеции

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №11 (1)

С

Найти площадь треугольника.

8

Повторение (1)

30 ⁰

А

В

3

Ответ: 6

32

Повторение

Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними

32

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №11 (2)

С

АВ=3CH.

Найти площадь треугольника АВС

3

Повторение ( 2 )

В

А

H

АВ=3CH=3 ∙ 3 =9

Ответ: 13,5

34

Повторение

Высота треугольника – это отрезок, проведенный из вершины к противоположной стороне под прямым углом

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту

34

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №11 (3)

С

В

Найти S ∆ABC

5

8

Повторение (2)

А

D

Ответ:

36

Повторение

Площадь параллелограмма равна произведению двух сторон на синус угла между ними

Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице

36

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №11 (4)

В

Диагонали ромба равны 12 и 7.

Найти площадь ромба.

А

С

D

Повторение (2)

Ответ: 42

38

Повторение

Ромб – это параллелограмм с равными сторонами

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей

38

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №11 (5)

В

С

АС=10.

Найти площадь прямоугольника

О

60 ⁰

D

А

Повторение (5)

АО=ВО=10:2=5

В ∆АОВ, где ∠ВАО= ∠АВО=(180 ⁰-60⁰):2= 60 ⁰

⇒

АВ=5

По теореме Пифагора в ∆АВD

Ответ:

40

Повторение

Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны

Если угол разбит на части, то его градусная мера равна сумме его частей

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Площадь прямоугольника равна произведению соседних сторон

40

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №11 (6)

С

В

ABCD – трапеция. ВС в 2 раза меньше AD. Найти площадь трапеции

Повторение (2)

H

14

D

А

ВС=14:2=7

BC=BH=7

Ответ: 73,5

42

Повторение

Трапеция – это четырехугольник, две стороны которого параллельны

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту

42

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №11 (7)

В

С

ABCD – равнобедренная трапеция MK=8, боковая сторона равна 5.

Найти площадь трапеции.

135 ⁰

М

К

8

А

D

H

Повторение (4)

∠ ВАH= ∠АВH= 45⁰

⇒

∠ АВH=135 ⁰-9 0 ⁰=45⁰

⇒

По теореме Пифагора в ∆АВH, где AH=BH=х

⇒

Ответ:

44

Повторение

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований

Если в прямоугольном треугольнике острый угол равен 45 ⁰, то и другой острый угол равен 45 ⁰

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

44

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №12 (1)

С

Найти угол АВС (в градусах)

Повторение ( 3 )

В

А

Проведем из произвольной точки луча ВА перпендикуляр до пересечения с лучом ВС

Получим прямоугольный равнобедренный треугольник

∠ С=∠В=45 ⁰

⇒

по свойству острых углов прямоугольного треугольника

Ответ: 45

Повторение (подсказка)

Треугольник называется прямоугольным, если в нем имеется прямой угол

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 ⁰

46

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №12 (2)

С

Найти угол АВС (в градусах)

Повторение (4)

В

А

D

Проведем из произвольной точки луча ВС перпендикуляр к прямой АВ до пересечения с ней

Получим прямоугольный равнобедренный треугольник BCD

⇒

∠ С=∠В=45 ⁰

по свойству острых углов прямоугольного треугольника

⇒

∠ ABС+∠CВD=180 ⁰ как смежные

∠ ABС=180 ⁰ - ∠CВD=135 ⁰

Ответ:135

Повторение (подсказка)

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 ⁰

Смежными углами называются углы, у которых есть общая сторона, а две другие являются дополнительными лучами

Сумма смежных углов равна 180 ⁰

48

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №12 (3)

А

Найти синус угла ВАС

3

4

С

В

Повторение (2)

По теореме Пифагора в ∆АВС

Ответ: 0,8

Повторение (подсказка)

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

50

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №12 (4)

С

Найти косинус угла ВАС

В

А

Повторение (2)

По теореме Пифагора в ∆АВС

Ответ: 0,2

Повторение (подсказка)

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

52

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №12 (5)

А

Найти тангенс угла ВАС.

13

Повторение ( 2 )

12

С

В

По теореме Пифагора в ∆АВС

Ответ: 2,4

Повторение (подсказка)

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

54

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №12 (6)

Найти тангенс угла АВС.

С

Повторение ( 3 )

Повторение ( 3 )

В

А

Проведем из произвольной точки луча ВА перпендикуляр до пересечения с лучом ВС.

⇒

Получим прямоугольный равнобедренный треугольник

∠ С=∠В=45 ⁰

по свойству острых углов прямоугольного тр-ка

Ответ: 1

Повторение (подсказка)

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 ⁰

Тангенс угла в 45 ⁰ равен единице

56

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №12 (7)

Найти косинус угла АВС

С

Повторение ( 2 )

А

В

Проведем перпендикуляр из такой точки луча ВА до пересечения с лучом ВС, чтобы в катетах треугольника АВС укладывалось целое число единиц измерения.

В данном случае единицей измерения стала клетка.

где АВ=3, АС=4, значит по теореме Пифагора ВС=5 (Пифагоров треугольник)

Ответ: 0,6

Повторение (подсказка)

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

58

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №13 (1)

Укажите номера верных утверждений

1.Через любые три различные точки плоскости можно провести единственную прямую.

нет

да

2.Если угол равен 25⁰, то смежный с ним угол равен 155⁰

нет

да

3.Через любую точку плоскости можно провести не менее одной прямой

нет

да

Повторение (подсказка)

Сформулируйте аксиому о взаимном расположении прямой и точек.

Через любые две точки проходит прямая , и притом только одна

Каким свойством обладают смежные углы?

Сумма смежных углов равна 180°

Сколько прямых можно провести через точку на плоскости?

Через точку на плоскости можно провести бесконечно много прямых.

60

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №13 (2)

Укажите номера верных утверждений

1.Если угол равен 56⁰, то вертикальный с ним угол равен 124⁰.

нет

да

2.Существует точка плоскости, через которую можно провести бесконечное количество различных прямых.

нет

да

3.Через любую точку плоскости можно провести не более двух прямых.

нет

да

Повторение (подсказка)

Сформулируйте свойство вертикальных углов.

Вертикальные углы равны

Сколько прямых можно провести через точку на плоскости?

Через точку на плоскости можно провести бесконечно много прямых.

62

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №13 (3)

Укажите номера верных утверждений

1.Любые три различные прямые проходят через одну общую точку.

нет

да

2.Существует точка плоскости, не лежащая на данной прямой, через которую нельзя провести на плоскости ни одной прямой, параллельной данной.

нет

да

3.Если угол равен 47⁰, то смежный с ним угол равен 133⁰.

нет

да

Повторение (подсказка)

Как могут взаимно располагаться три прямых на плоскости?

Три прямых на плоскости могут иметь одну общую точку, могут пересекаться попарно, могут и не иметь общих точек

Сформулируйте аксиому параллельных прямых.

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Сформулируйте свойство смежных углов.

Сумма смежных углов равна 180°.

64

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №13 (4)

Укажите номера верных утверждений

1.Через любые две различные точки плоскости можно провести не более одной прямой.

нет

да

2.Через любые две различные точки плоскости можно провести не менее одной прямой.

нет

да

3.Если угол равен 54⁰, то вертикальный с ним угол равен 36⁰.

нет

да

Повторение (подсказка)

Сформулируйте аксиому о взаимном расположении прямой и точек на плоскости.

Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

Сформулируйте свойство вертикальных углов

Вертикальные углы равны.

66

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №13 (5)

Укажите номера верных утверждений

1.Через любую точку плоскости можно провести прямую.

нет

да

2.Через любую точку плоскости можно провести единственную прямую.

нет

да

3.Существует точка плоскости, через которую можно провести прямую.

нет

да

Повторение (подсказка)

Сколько прямых можно провести через точку на плоскости?

Через точку на плоскости можно провести бесконечно много прямых.

Существует ли точка плоскости, через которую нельзя провести прямую?

Через любую точку плоскости можно провести прямую.

68

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №13 (6)

Укажите номера верных утверждений

1.Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то соответственные углы равны.

нет

да

2.Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сумма внутренних односторонних углов равна 90 ⁰

нет

да

3.Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то прямые перпендикулярны.

нет

да

Повторение (подсказка)

Сформулируйте свойство параллельных прямых относительно соответственных углов

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то соответственные углы равны

Сформулируйте свойство параллельных прямых относительно внутренних односторонних углов.

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сума внутренних односторонних углов равна 180°

70

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №13 (7)

Укажите номера верных утверждений

1.Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних накрест лежащих углов равна 180⁰, то прямые параллельны

нет

да

2.Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны 75⁰ и 105⁰, то прямые параллельны

да

нет

3.Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равна 180 ⁰, то прямые параллельны

да

нет

Повторение (подсказка)

Сформулируйте признак параллельности двух прямых относительно накрест лежащих углов.

Если при пересечении двух прямых третьей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Сформулируйте признак параллельности двух прямых относительно соответственных углов.

Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Сформулируйте признак параллельности двух прямых относительно внутренних односторонних углов.

Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

72

Рекомендации ученикам

4. Научитесь выделять и понимать главное в материале, т.к. умение решать задачи является следствием глубоко понятого соответствующего теоретического материала.

5. Совершенствуйте свои вычислительные умения и навыки.

ГИА 2015

Книги по подготовке к ГИА

Модуль «Геометрия» содержит 8 заданий: в части 1 - 5 заданий, в час-

ти 2 - 3 задания.

ГИА 2013

1. ОТКРЫТЫЙ БАНК ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ

http://mathgia.ru/or/gia12/ShowProblems.html?posMask=8192&showProto=true

2. ПОДГОТОВКА К ГИА ПО МАТЕМАТИКЕ, КНИГИ МОЖНО СКАЧАТЬ

http://4ege.ru/gia-matematika/

3. ОНЛАЙН-ТЕСТЫ ПО НОВОЙ ФОРМЕ – 2013г. (1 вариант)

http://5ballov.qip.ru/test/gia/

4. ОНЛАЙН-ТЕСТЫ 2013г. , 2014г.

http://uztest.ru/exam?idexam=28

5. Видео разбор демоверсии ГИА 2013 по математике

http://4ege.ru/gia-matematika/2715-video-razbor-demoversii-gia-2013-po-matematike.html

6. ОНЛАЙН-ТЕСТЫ ПО НОВОМУ ПЛАНУ ГИА в 9 вариантах

http://ege.yandex.ru/mathematics-gia/

7. Тренировочные тесты для подготовки к ГИА (2013). (Личный сайт учителя Фоновой Натальи Леонидовны)

http://madam-fonova.ucoz.ru/publ/testy_dlja_podgotovki_k_gia_po_matematike_9_klass/30-1-2

8. ОНЛАЙН - тесты – 2013г.

http://free-math.ru/load/gia_po_matematike/online_testy/47

9. Переводной экзамен для учащихся 8 класса по математике (Бессонова Ж.П.)

http://easyen.ru/load/math/8_klass/perevodnoj_ehkzamen_dlja_uchashhikhsja_8_klassov/39-1-0-4193

Модуль «Геометрия» содержит 8 заданий: в части 1 - 5 заданий, в час-

ти 2 - 3 задания.

• «ГИА-2013. Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов» под редакцией А. Л. Семенова, И. В. Ященко. – М.: Изд. «Национальное образование», 2013.

• http://plokna.ru/smajliki/anime-knigi.html

• http://www.grafamania.net/uploads/posts/2008-08/1219611582_7.jpg

• http://www.grafamania.net/uploads/posts/2009-07/thumbs/1246640277_001.jpg

• «ГИА-2013. Математика: учебно-тренировочные тесты по новому плану ГИА под редакцией Ф. Ф. Лысенко, С.Ю.Кулабухова. – Ростов –на-Дону: Легион, 2013.