Раздаточный материал по теме: "Производная"

а) f(x) = х³ –6х² - 63х в) f(x) = х³ - 8х

б) f(x) = 3х -5х² + х³ г) f(x) = 3х² – х³ - 9х

Задание 4. Задайте формулой хотя бы одну функцию, производная которой равна:

а) f(x) = 16х³ –0,4 в) f(x) = 8х – 2 д) f(x) = 2cos2х

б) f(x) = 9х² – г) f(x) = 1 – sinх е) f(x) = 3sinх

Задание 5. Найти производные функций:

1) у = 2) у =(

3) у = (2х – 7)⁸ 4) у = (9х + 5)⁴

5) у = (х³ – 2х² + 3)¹⁷ 6) у =

7) у = (3 - )^-9 8) у =

9) у = 10) у = ( 3 – х³)⁵ +

11) у = х³sin2х 12) у =

13) у = х⁴ + tg2х 14) у = sin²х

15) у = sin²х + cos²х 16) у =cos2хsinx + sin2xcosx

17) y = sin3xcos3x

Задание 6. Вычислить значения производных функций при заданных значениях аргумента:

а) f(х) = (3х² – 7х + 2)(1 – 2х – 5х²), х₀ = 1 в) f(х) = , х₀ = 1

б) f(х) = 3 - sin2х, х₀ = г) f(х) = , х₀ = 1

Тема:

Экстремум функции. Исследование функции на экстремум.

1. Найти промежутки возрастания и убывания функции:

а) f(х) = 3 - х б) f(x) = - x² + 2x – 3 в) f(x) = 4х – 5

г) f(x) = 5х² – 3х + 1 д) f(x) = х² (х – 3) е) f(x) = x³ - 27x

ж) f(x) =12х + 3x² - 2x³ з) f(x) = 4 – x⁴ и) f(x) = х (х² – 12).

2. Исследовать функцию на экстремум:

а) f(x) = 4 – 2х + 7х² б) f(x) = 5 + 12х – х³

в)f(x) = 4х - г) f(x) = 2х³ + 3х² – 4

д) f(x) = 9 + 8х² – х⁴ е) f(x) = х⁴ – х²

ж) f(x) = х³ – 4х + 8 з) f(x) = х⁴ – 18х² +5.

Тема: Исследование функции и построение графика функции

1. Самостоятельная работа

В.1. В.2.

Дана функция

у = х³ – 3х² + 4 у = 0,5х⁴ – 4х²

Найдите:

а) промежутки возрастания и убывания функции

б) точки экстремума.

Общая схема исследования функции и построение ее графика:

1. Найти область определения и область значений функции.

2. Исследовать функцию на четность.

3. Исследовать функцию на периодичность.

4. Определить точки пересечения графика функции с осями координат и промежутки

знакопостоянства.

5. Определить промежутки возрастания и убывания функции.

6. Определить точки экстремума функции и значения функции в этих точках.

7. Построить график функции.

2. Исследуйте функцию и постройте ее график:

а) f(x) = х² – 2х + 8 б) f(x) = - х² + 5х + 4 в) f(x) = - х³ + 3х – 2

г) f(x) = х³ + 3х + 2 д) f(x) = х⁴ – 2х² – 3 е) f(x) = 3х² – х³

ж) f(x) = х⁴ – 2х² – 3 з) f(x) = 6х – 2х³ и) f(x) = 2х³ – 3х²

к) f(x) = 5х³ – 3х⁵ л) f(x) = х⁴ + 2х³ – 5х².

3. Найти промежутки возрастания и убывания функции:

а) у = 1 + 1,5х – 3х² – 2,5х³ б) у = + 8х – 5

в) у = - - 6х +1 г) у = х³ – 6х² – 15х – 2.

Экстремум функции. Исследование функции на экстремум.

1. Промежутки монотонности функции

Одной из основных задач исследования функции является нахождение промежутков ее возрастания и убывания. такое исследование легко проводить с помощью производной. Сформулируем соответствующие утверждения.

Определение:. Промежутки монотонности функции у = f(x) - это промежутки, в которых функция возрастает или убывает.

Теорема (о монотонности функции): Если функция f(х) во всех точках некоторого интервала имеет положительную производную (f (х)  0), то она возрастает на этом интервале, а если имеет отрицательную производную (f (х)

Пример 1. Найти промежутки монотонности функции у = 5х² -3х +1.

Область определения функции D(f) = R. Производная данной функции равна:

f (х) = 10х – 3.

f (х)  0: 10х – 3  0, х  0,3

f (х)

Значит на промежутке (- ; 0,3] функция убывает, а на промежутке [ 0,3; + ) функция возрастает. (Точка х = 0,3 включается в промежутки монотонности, т.к. в этой точке функция определена и непрерывна).

2. Критические точки функции

Пример 2. Найти промежутки монотонности функцииf(x) = х – х²

f (х) = 1 – 2х

f (х)  0: 1- 2х  0, х ; 0,5].

f (х)  0,5. Функция убывает на [ 0,5; + ).

Если функция непрерывна в каком-либо из концов промежутка, то эту точку присоединяют к этому промежутку.

Точка х = 0,5 – это внутренняя точка области определения функции, в которой производная равна нулю. Такая точка называется критической точкой функции.

Точки, в которых производная равна нулю или не существует, разбивают область определения функции на промежутки, в каждом из которых f (х) сохраняет постоянный знак. поэтому для нахождения промежутков возрастания (убывания) удобно пользоваться обобщением метода интервалов.

Определение: Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции.

Правило нахождения промежутков возрастания (убывания) функции:

1. Найти производную функции f (х).

2. Найти критические точки функции, решив уравнение: f (х) = 0.

3. Найти знак производной на каждом интервале.

4. Согласно теореме о монотонности функции, найти промежутки возрастания и убывания функции.

Пример 3. Найти промежутки монотонности функции у = х³ – 2х + 1.

Данная функция определена и дифференцируема на всей числовой прямой: D(f) = R.

Найдем ее производную: f (х) = 2х² – 2 = 2(х² – 1) = 2(х – 1)(х + 1).

Решив уравнение f (х) = 0: 2(х – 1)(х + 1) = 0, найдем критические точки: х = 1 и

х = - 1. Используя метод интервалов, определим знаки производной на каждом интервале:

f (х)

f(x)

По теореме о монотонности функции данная функция возрастает на (- ; - 1]  [ 1; + ) и убывает на [ -1; 1].

3. Исследование экстремумов функции

Определение: Точка х₀ называется точкой минимума функции f(x), если существует такая окрестность точки х₀, что для всех х  х₀ из этой окрестности выполняется неравенство: f(x) ≥ f(x₀).

Определение: Точка х₀ называется точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки х₀, что для всех х  х₀ из этой окрестности выполняется неравенство: f(x)  f(x₀).

Определение: Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума данной функции, а значения функции в точках максимума и минимума называются максимумом и минимумом функции или экстремумами функции.

Теорема ( об экстремумах дифференцируемой функции): Для того, чтобы функция у = f(x) имела в точке х₀ экстремум, необходимо, чтобы f (х₀) = 0 , и достаточно, чтобы

f (х) меняла знак при переходе через точку х₀ (если слева от х₀ имеем f (х)f (х)  0, то в точке х₀ будет минимум, если наоборот – то максимум).

Правило нахождения экстремумов функции:

1. Найти критические точки функции f(x), т.е. точки, в которых производная функции f (х) равна нулю или не существует.

2. Исследовать знак производной f (х) в некоторой окрестности каждой критической точки. При этом, если f (х) меняет знак при переходе через такую точку, то функция f(x) в этой точке имеет экстремум. Т.е. если знак меняется с - на + , то в этой точке минимум, если с + на - , то в этой точке максимум. Если же знак f (х) не меняется при переходе через рассматриваемую точку, то функция f(x) не имеет экстремума в этой точке.

Пример 4. Найти экстремумы функции f(x) = 2х³ – 3х² – 2.

1. Находим критические точки: f (х) = 6х² – 6х, 6х² – 6х = 0, 6х(х – 1) = 0, х = 0 и

х = 1.

2. Эти точки х = 0 и х = 1 разбивают область определения функции на три интервала. Определим знак производной на каждом из интервалов:

f (х) max min

f(x)

Следовательно, в точке х = 0 – max: f(0) = - 2

в точке х = 1 – min: f(1) = - 3.