Решение неравенств методом интервалов.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

города Керчи Республики Крым

«Специализированная школа №19 с углубленным изучением

английского языка

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА

Тема: Решение неравенств методом интервалов.

Тип урока: урок «открытия» новых знаний

Цель урока: рассмотреть применение метода интервалов для решения неравенств различных типов.

Задачи урока: 
Личностные: Способствовать развитию познавательной активности, логического мышления, математической и общей грамотности. 
Метапредметные: создать условия для развития интеллектуальных умений, умений выдвигать гипотезы, анализировать, сравнивать, делать выводы
Предметные: Повторить метод интервалов, организовать деятельность учащихся на применения метода интервалов при решении целых рациональных неравенств.

Планируемые результаты:

личностные:

• умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрпримеры;

• умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности;

метапредметные:

• умение устанавливать причинно-следственные связи; строить логическое рассуждение, делать умозаключение (индуктивное, дедуктивное и по аналогии) и выводы;

• умение самостоятельно ставить цели, выбирать и создавать алгоритмы для решения учебных математических проблем;

предметные:

• умение решать неравенства методом интервалов, применять графические представления для решения и исследования неравенств; применять полученные умения для решения задач из математики, смежных предметов, практики;

Оборудование и материалы: компьютер,  презентация для сопровождения занятия,

Ход урока

I. Организационный момент. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор задач, вызвавших затруднения).

II. Повторение и закрепление пройденного материала.

1. Устная работа. (слайд 2):

Решите неравенство ах² + bx + c ≤ 0 и ах² + bx + c 0, если на рисунке изображен график соответствующей квадратичной функции:

а) б) в)

2. Проверочная работа (слайд 3):

В а р и а н т 1

Решите неравенство:

а) х² – 8х + 15 0; б) 2х – х² ≥ 0; в) х² + 2х + 1 0.

В а р и а н т 2

Решите неравенство:

а) х² – 10х + 21 ≤ 0; в) х² – 10х + 25 0; б) 9 – х²

III. Сообщение темы и цели урока.

IV. Изучение нового материала.

Давайте запишем план применения метода интервалов (слайд 4):

Рассмотрим схему решения на следующем примере.

Пример 1. Решим неравенство 

Решение (слайд 5):

Прежде всего, отметим, что если в разложении многочлена на множители входит сомножитель  , то говорят, что   - корень многочлена кратности  .

Данный многочлен имеет корни:   кратности 6;   кратности 3;   кратности 1;   кратности 2;   кратности 5.

Нанесем эти корни на числовую ось. Отметим корни четной кратности двумя черточками, нечетной кратности - одной чертой.

Определим знак многочлена на каждом интервале, при любом значении х не совпадающем с корнями и взятом из данного интервала. Получим полную диаграмму знаков многочлена на всей числовой оси:

Теперь легко ответить на вопрос задачи, при каких значениях х знак многочлена неотрицательный. Отметим на рисунке нужные нам области, получим:

Из рисунка видно, что такими х являются  .

Проанализируем смену знаков в корнях различной кратности.

Посмотрите внимательно на диаграмму знаков, что можно заметить? (предполагаемый ответ: в корнях четной кратности смена знаков не произошла, а в корнях нечетной кратности - знак меняется).

Давайте проверим, подтвердится ли данное наблюдение при решении других неравенств.

Решите неравенство (слайд 6).

1 вариант: 

2 вариант: 

(Два ученика решают неравенства на откидной доске не видной классу, остальные выполняют задание самостоятельно, затем проверяем полученное решение по вариантам и снова делаем выводы о смене знака в зависимости от степени кратности корня).

Обобщая ваши наблюдения, приходим к важным выводам (слайд 7):

• Для решения неравенства важно знать, является ли k четным или нечетным числом.

• При четном k многочлен справа и слева от   имеет один и тот же знак (т.е. знак многочлена не меняется),

• При нечетном k многочлен справа и слева от   имеет противоположные знаки (т.е. знак многочлена изменяется).

Еще небольшое замечание, что бы применять метод интервалов, нужно сначала привести в неравенство к указанному виду (т.е. разложить на множители).

Рассмотрим способы решения рациональных неравенств   методом интервалов (слайд 8).

Заметим, что рациональные неравенства легко сводятся к решению неравенств высоких степеней. Умножим обе части такого неравенства на многочлен  , который положителен при всех допустимых значениях х (т.к.  ). Тогда знак исходного неравенства не меняется, и получаем неравенство  , эквивалентное данному неравенству.

Итак,:   эквивалентно системе неравенств   которая далее решается методом интервалов.

Пример 2. (слайд 9) Решим неравенство 

Отметим, прежде всего, что знаменатель неравенства не может быть равен нулю и найдем область определения неравенства:

 откуда 

Сведем данное рациональное неравенство к алгебраическому. Для этого умножим обе части неравенства на положительное выражение - квадрат знаменателя (замети, что при этом знак неравенства не меняется). Получаем:  . Разложив квадратный трехчлен на множители, имеем:  . Решаем это неравенство методом интервалов. Находим корни многочлена и определяем их кратность: х =1 (четная кратность), остальные корни 3, -1, 0, 5, -2 (нечетной кратности). Отмечаем корни на числовой оси с учетом области определения неравенства и определяем знаки на промежутках с учетом кратности корней.

Ответ:  .

V. Задание на уроке (первичное закрепление материала).

Фронтальная работа с классом (слайд 10)

№389 (а, в), № 390 (в, г), №393(а), №394(а).

№389. Решите неравенство, разложив его левую часть на множители:

а)   в) 

№ 390. Решите неравенство:

в)   г) 

№393. Решите неравенство: а) 

№394. Решите неравенство: а) 

VI. Задание на дом (слайд 11).

Повторить параграф 15 (глава II), №389 (б), № 390 (б), №393(б), №394(б).

Подумайте, как имея готовую диаграмму знаков построить эскиз графика функции.

VII. Подведение итогов урока, рефлексия.

1. В чем состоит метод интервалов решения неравенств?

2. Любое ли неравенство можно решить методом интервалов?

3. Как применяется метод интервалов к решению дробных неравенств?

4. Как решается неравенство, содержащее целое выражение выше второй

степени?