Сумма первых членов арифметической прогрессии

Тема урока:

«У математиков существует свой язык – это формулы».

• Научиться находить S n арифметической прогрессии.
• Развивать умение анализировать и делать выводы.
• Воспитывать настойчивость и упорство в достижении цели.

• Знать:

• Уметь:

Определения:

Арифметическая прогрессия, разность арифметической прогрессии.

Формулу n -го члена арифметической прогрессии.

Формулу S n арифметической прогрессии

Оперировать основными формулами.

Находить по заданной формуле

S n арифметической прогрессии.

Теория:

• Определение:

• Основные формулы:

Если каждый член последовательности

α 1 , α 2 … α n , начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом, то эта последовательность называется арифметической прогрессией.

α n+1 = α n +d

d= α n+1 - α n

α n = α 1 +( n-1)d

α n = ( α n+1 + α n - 1 )/2

S n = ( α n+1 + α n - 1 ) n /2

S n = (2 α 1 +(n-1)d)n /2

Вывод

Если последовательность

α 1’ α 2’ α 3 …. α n-2’ α n-1’ α n является арифметической прогрессией, то сумма членов, расположенных на одинаковом «расстоянии» от краев этой последовательности, равна сумме ее крайних членов, т.е. для любого числа 1

α k+1 + α n-k+1 = α 1 + α n (1)

S n = α 1 + α 2 + … + α n - 1 + α n

S n = α n + α n-1 + … + α 2 + α 1

Складывая эти равенства почленно, получим:

2 S n =( α 1 + α n )+( α 2 + α n-1 ) + … + ( α n - 1 + α 2 )+( α n + α 1 )

Применяя формулу (1) получим, что

2 S n =( α 1 + α n )+( α 1 + α n ) + … + ( α 1 + α n )+( α 1 + α n ) или

2 S n = n( α 1 + α n )

Отсюда имеем формулу:

S n = ( α 1 + α n ) n /2 (2)

Учитывая, что α n = α 1 +( n-1)d , то получим другую формулу для нахождения суммы:

S n = (2 α 1 +(n-1)d)n /2 (3)

Дано: α 1 =4

α 2 =8

Найти: S 10

Решение: S 10 = ( α 1 + α 10 )10/2

Находим d= α 2 - α 1 =8-4=4

α 10 = α 1 +9 d=4+36=40

S 10 = (4+40)10 /2=220

Ответ: S 10 =220

Параграф 5, стр. 9 9.

№ 41 7( 4-6 ) , №419 ( 3,4 ) (обязательно для всех)

№ 433(из группы С).

Найди S 10

• 1, 6, …,
• 1, 11,…,
• 8, 19, …,

Придумай

2 задачи для соседа.

α n+1 = α n +d

d= α n+1 - α n

α n = α 1 +( n-1)d

α n = ( α n+1 + α n - 1 )/2

S n = ( α n+1 + α n - 1 ) n /2

S n = (2 α 1 +(n-1)d)n /2

«Математика всегда, несмотря на всевозможные усовершенствования в методе преподавания, останется для учеников трудной работой .»

Писарев Д.И.