Технологическая карта по вероятности и статистике "Размещения, перестановки, сочетания"

Учитель

Курская Оксана Владимировна

Дата проведения

11.10.2024г

Тема

Размещения, перестановки и сочетания

Класс

9

Учебник

«Вероятность и статистика», базовый уровень, 7-9 классы, И.Р.Высоцкий, И.В.Ященко

Тип урока

Урок открытия новых знаний

Цели урока

Образовательные: актуализировать знания по теме комбинаторные задачи, ввести и первично закрепить понятия размещения, перестановки и сочетания, обеспечить практическое применение комбинаторных задач; выбирать наиболее эффективные способы решения задач в зависимости от конкретных условий; формировать новые вычислительные навыки.

Развивающие: формировать умения применять полученные знания в новой ситуации; развивать познавательную активность, логическое мышления обучающихся, навыки самостоятельной работы, работы в группах, развивать познавательный интерес к предмету через содержание учебного материала.

Воспитательные: воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов, воспитывать самостоятельность, наблюдательность, умение слушать одноклассников.

Оборудование урока

Формы организации деятельности обучающихся

Индивидуальная работа; работа в парах; фронтальная работа

Планируемый результат обучения, в том числе и формирование УУД

Предметные: владение методами доказательств и алгоритмов решения, умение их применять, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач; владение стандартными приемами решения простейших задач комбинаторики

Личностные: овладение знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни; готовность и способность к образованию, в том числе самообразованию, на протяжении всей жизни; готовность и способность к самостоятельной творческой и ответственной деятельности; готовность к коллективной работе, сотрудничеству со сверстниками в образовательной, общественно полезной, учебно-исследовательской, проектной и других видах деятельности.

Метапредметные: умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности, эффективно разрешать конфликты; способность и готовность к самостоятельному поиску методов решения практических задач, применению различных методов познания; готовность и способность к самостоятельной информационно-познавательной деятельности, включая умение ориентироваться в различных источниках информации, критически оценивать и интерпретировать информацию, получаемую из различных источников.

Познавательные УУД: ориентироваться в своей системе знаний; проводить анализ учебного материала; формулировать конечный результат.

Коммуникативные УУД: слушать и понимать речь других; уметь полно и точно выражать свои мысли; договариваться и приходить к общему решению в совместной деятельности; использовать математический язык.

Регулятивные УУД: самостоятельно формулировать тему урока, определяя ее по поставленной проблеме; уметь определять и формулировать цель деятельности на уроке; работать на уроке по коллективно составленному алгоритму; высказывать свое мнение.

Личностные УУД: способность к адекватной самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности, необходимость приобретения новых знаний.

Этап урока

Деятельность учителя

Деятельность обучающихся

Формирование УУД

1.Мотивация к учебной деятельности

(2 мин)

Сегодня я рада приветствовать вас на уроке. А вот чему он будет посвящен, вы узнаете чуть позже.

Эпиграф: «Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их» (Дьердь Пойа – венгерский математик)

Каждому из вас были розданы оценочные листы.

В ходе нашего занятия, каждый из вас должен самостоятельно оценить свои знания (по пятибалльной шкале), а в конце занятия выставить себе оценку, по собранным баллам.

Приветствуют учителя, настраиваются на работу, концентрируют внимание, получают позитивный заряд

Личностные: самоорганизация

Регулятивные: способность регулировать свои действия, прогнозировать деятельность на уроке

(7 мин)

Начнем мы с проверки домашнего задания.

Проверку домашнего задания проведем в виде математического диктанта по теме «События. Вероятность события».

Вам будут предложены незаконченные предложения, которые вы должны будете дописать. На столе у вас уже лежат подписанные листочки, на которых вы должны написать правильный ответ.

Работают с раздаточным материалом. Отвечают на вопросы математического диктанта.

Личностные: осознание своих возможностей; отвечая на поставленные вопросы, анализируя и сравнивая, находят необходимую информацию Регулятивные: обрабатывают информацию и систематизируют

3.Актуализация знаний, постановка проблемы и ее решение

(20 мин)

В науке и практике часто встречаются задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число этих комбинаций. Вам в повседневной жизни часто приходится составлять различные комбинации. Например: в каком порядке можно сесть за парты на сегодняшнем занятии.

А как же называется раздел математики, который занимается решением таких задач?

Сегодня основной целью нашего занятия будет: знакомство с понятиями «комбинаторика», размещения, перестановки и сочетания.

А кто попробует своими словами дать определение понятию «комбинаторика»?

Все верно.

Слово «комбинаторика» произошло от латинского слова «combinare», что означает «соединять, сочетать».

Отметим, что всякое случайное событие является следствием очень многих причин.

Например, выпадение орла или решки при бросании монеты зависит от силы, с которой брошена монета, ее формы, сплава и многих других причин. Попадание или промах при стрельбе зависят от расстояния до мишени, формы и веса пули (снаряда), от направления и силы ветра и других случайных причин. В связи с этим невозможно заранее предсказать, произойдет единичное событие или нет. Иначе обстоит дело при изучении многократно повторяющихся опытов. Однородные случайные события при многократном повторении опыта подчиняются определенным закономерностям. Изучением этих закономерностей и занимается теория вероятностей.

Каждый день вы встречаетесь с перебором различных вариантов.

Задача 1. Давайте рассмотрим задачу из жизни. Если из города А в город В можно добраться тремя способами, а из города В в С – двумя способами, то из города А в город С можно добраться 2*3=6 способами.

Как же это получается. Давайте разберем в виде схемы.

Из А в С можно добраться 2*3=6 способами.

Данная задача приводит нас к основному правилу комбинаторики.

Основное правило комбинаторики: пусть требуется выполнить одно за другим действий. Если первое действие можно выполнить способами, второе способами, третье - способами и т.д., то все действий могут быть выполнены способами.

В нашей задаче из А в В можно добраться способами, из В в С можно добраться способами. Следовательно, из А в С можно добраться способами

В комбинаторике есть три основные задачи: размещения, перестановки, сочетания.

Задача 2. В группе 20 обучающихся. Сколькими способами могут быть выбраны староста и заместитель старосты?

Решение. Пусть сначала избирается староста. Поскольку каждый член группы может быть выбран старостой, то, очевидно, есть 20 способов его выбора. Тогда заместителем старосты может стать каждый из оставшихся 19 человек. На первом этапе мы используем 20 способов выбора старосты , на втором – 19 способов выбора заместителя старосты . В итоге, чтобы выбрать старосту и заместителя старосты применяем основное правило комбинаторики способов.

А теперь давайте немного порассуждаем. В качестве первого элемента может быть выбран любой из данных элементов, то первый элемент можно выбрать различными способами. Очевидно, что в качестве второго элемента можно выбрать любой из оставшихся элементов, поэтому его можно выбрать различными способами. Так как каждый из способов выбора первого элемента можно объединить с каждым из способов выбора второго элемента, то существуют различных способов выбора первых двух элементов. А вот если таких элементов будет не два как в нашем случае, а элементов, то основная формула комбинаторики будет выглядить так:

выбора различных элементов.

Такую формулу в комбинаторике назвали числом всех возможных размещений из элементов по элементов и обозначают

Факториал натурального числа n определяется как произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно:

– формула числа размещений

Определение: Размещениями из элементов по элементов называется упорядоченное подмножество, содержащее различных элементов данного множества.

Решим нашу предыдущую задачу используя формулу числа размещений.

Число всех возможных размещений . А нам необходимо выбирать только по два, следовательно .

Задача 3. 10 молодых людей решили отпраздновать окончание института товарищеским обедом в ресторане. Когда все собрались, и первое блюдо было подано, заспорили о том, как усесться вокруг стола. Одни предлагали разместиться в алфавитном порядке, другие - по возрасту, третьи - по успеваемости, четвертые - по росту и т.д. Спор затянулся, суп успел остыть, а за стол никто не садился. Примирил всех официант, обратившийся к ним с такой речью:

- Друзья мои, оставьте ваши пререкания. Сядьте за стол как придется и выслушайте меня.

Как вы думаете какой способ предложил официант, чтобы прекратить данный спор.

Теперь я вам зачитаю предложение официанта.

Все сели как попало. Официант продолжал: пусть один из вас запишет, в каком порядке вы сейчас сидите. Завтра вы снова явитесь сюда пообедать, и разместитесь уже в ином порядке. Послезавтра сядете опять по-новому и т.д., пока не перепробуете все возможные размещения. Когда же придет черед вновь сесть так, как сидите вы здесь сегодня, тогда я начну ежедневно угощать вас бесплатно самыми изысканными обедами.

Предложение понравилось. Решено было ежедневно собираться в этом ресторане и перепробовать все способы размещения за столом, чтобы скорее начать пользоваться бесплатными обедами. Однако дождаться этого дня им не пришлось. И не потому, что официант не исполнил обещания, а потому, что число всех возможных размещений за столом чересчур велико. Оно равняется, - ни мало, ни много, - 3 628 800. (Чуть позже поймем, как получили данное число). Такое число дней составляет почти 10 тысяч лет! Это, на первый взгляд, невероятно, но так оно и есть!

Этот метод тоже можем отнести к методу «размещения», разница только в том, что . Поэтому этому методу дали другое название «перестановки».

Определение: Перестановкой из элементов называется размещение из . элементов по . элементов.

Применяем формулу и получаем

Следующую задачу решим у доски.

Задача №4. В группе из 20 обучающихся нужно выделить четырех для работы на определенном участке. Сколькими способами это можно сделать?

Для решения данной задачи я хочу вас познакомить с еще одним методом, который называется «сочетания».

Определение: Сочетанием из элементов по элементов называется любое подмножество, которое содержит различных элементов данного множества.

Следовательно, сочетания из n элементов по m элементов – это все m-элементные подмножества n-элементного множества, причем различными подмножествами считаются только те, которые имеют неодинаковый состав элементов.

Число всех возможных сочетаний из элементов по элементов обозначают , где - первая буква французского слова combination– сочетание.

Число размещений из элементов по найдем следующим образом. Сначала составим все возможные подмножества, содержащие по различных элементов. Их число равно . Затем в каждом из полученных таким образом подмножеств (сочетаний) сделаем перестановки, в результате получим все размещения из элементов по . Так как число перестановок из элементов равно , то число размещений из элементов по будет в раз больше, чем число сочетаний из элементов по , т.е.

Отсюда получаем

Формула:

Теперь возвращаемся к решению задачи.

=4845

Вот мы и разобрали возможные варианты решения задач.

Теперь пора сделать вывод: если порядок расположения элементов в выбираемых соединениях не важен, то для определения количества таких соединений используют формулу числа сочетаний . Приведите пример:

Если при выборе тех же студентов каждому из них выдаются разные задания, то порядок их выбора влияет на номер полученного задания, что является существенным.

Какую формулу применить?

Молодцы. А теперь давайте проверим знания, полученные на данном занятии.

Отвечают на вопрос: Данная наука называется комбинаторика.

Записывают в тетрадь тему урока: «Размещения, перестановки и сочетания»

Ответы учащихся: «комбинаторика», значит комбинировать, сочетать

Записывают в тетрадь:

Основное правило комбинаторики: пусть требуется выполнить одно за другим действий. Если первое действие можно выполнить способами, второе способами, третье - способами и т.д., то все действий могут быть выполнены способами.

Задача 1.

способов

Задача 2.

способов.

Записывают в тетрадь:

Размещениями из элементов по элементов называется упорядоченное подмножество, содержащее различных элементов данного множества.

– формула числа размещений

Обучающиеся предлагают различные свои варианты.

Перестановкой из элементов называется размещение из . элементов по . элементов.

Задача 3:

Сочетанием из элементов по элементов называется любое подмножество, которое содержит различных элементов данного множества.

Задача 4:

=4845

Ответы обучающихся: выбор 4 обучающихся из группы в 20 студентов для выполнения одинаковой работы.

В этом случае следует использовать формулу числа размещений .

Личностные: осознание своих возможностей; отвечая на поставленные вопросы по вероятности и комбинаторики, анализируя и сравнивая, находят необходимую информацию для решения задач.

Регулятивные: целеполагание, прогнозирование

(13 мин)

Определите какую формулу необходимо применить: размещения, сочетания или перестановки.

Задача №5 (решаем у доски)

Сколькими способами могут быть присуждены первая, вторая и третья премии трём лицам из 10 соревнующихся?

Задача №6 (решаем у доски)

Сколькими способами можно расставить на одной полке шесть различных книг?

Задача №7

Сколько матчей будет сыграно в футбольном чемпионате с участием 16 команд, если каждые две команды встречаются между собой один раз?

Ответ: 120 матчей (сочетания)

А теперь давайте проверим свой знания математическим диктантом. На экране появятся задачи, вы должны на листочках написать какую формулу вы будете применять к каждой из заданных задач.

Задача №8

Сколькими различными способами могут сесть на скамейку

а) 5 человек;

б) 7 человек.

Задача №9

Учащиеся должны посетить во вторник по расписанию 5 уроков по следующим предметам: литература, алгебра, география, физкультура и биология. Сколькими способами можно составить расписание на этот день, чтобы физкультура была пятым уроком?

Задача №10

На станции имеется 8 запасных путей. Сколькими способами можно расставить на них четыре поезда.

Задача №11

Учащиеся школы изучают 12 различных предметов. Сколькими способами можно составить расписание уроков на один день, чтобы в нём было 5 различных предметов?

Обучающиеся решают комбинаторные задачи

Обучающийся у доски:

Задача 5: .

Ответ: 720 способов. (размещения)

Задача 6:

Решение: Искомое число способов равно числу перестановок из 6 элементов, .

Ответ: 720 (перестановки)

Задача 7:

Учащиеся решают задачу самостоятельно

Решают индивидуальные задания, применяют таблицу 2 «Факториалы от 0 до 10», стр.53

Задача 8:

Решение: а) Р₅ = 5! = 120; б) Р₇ = 7! = 5 040.

Ответ: а) 120 способов; б) 5 040 способов. (перестановки)

Задача 9:

Решение: Р₄ = 4! = 24.

Ответ: 24 способа. (перестановки)

Задача 10:

Решение: .

Ответ: 1 680 способов. (размещения)

Задача 11:

Решение: Ответ: 95 040 способов.

Результаты оценки собственных знаний заносят в оценочные листы.

Личностные: осознание своих возможностей, самоорганизация

развитие логического мышления.

Регулятивные: способность регулировать свои действия

5. Домашнее задание

(1 мин)

1.Сколько четырёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 5, 7, если каждая цифра может использоваться только один раз?

2.Составьте четырёхзначные числа, в которых все цифры различны, а первой цифрой является 1 и второй – 3. Сколько таких чисел?

3.В вагоне имеется 10 свободных мест. В вагон вошли 6 пассажиров. Сколькими способами они могут разместиться в этом вагоне на свободных местах?

Рассматривают листочки с домашним заданием

6. Рефлексия

(2 мин)

Мы сегодня с вами изучили тему «Размещения, перестановки и сочетания».

Думаю, что мы с вами смогли достичь поставленных в начале урока целей. А теперь каждый из вас должен подсчитать свои баллы и выставить себе оценку за сегодняшний урок. Так же на ваших столах лежит лист рефлексия. Его тоже необходимо заполнить.

Свой урок я бы хотела закончить словами Ломоносова М.В.: «Теория без практики мертва и бесплодна, практика без теории невозможна и пагубна. Для теории нужны знания, для практики сверх того, и умения»

Заполняют оценочный лист, лист рефлексия, считают набранные баллы и выставляют себе оценки.

Личностные: умение провести самооценку

Регулятивные: построение логической цепочки рассуждений и доказательство.