Углы и расстояния в ступенчатых многогранниках

Углы и расстояния в ступенчатых многогранниках

1. На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите расстояние между вершинами A и   .

2. Найдите квадрат расстояния между вершинами D и  .

3. Найдите расстояние между вершинами   и  .

4. Найдите угол CAD_2. Ответ дайте в градусах.

5. Найдите угол ABD многогранника. Ответ дайте в градусах.

6.  Найдите тангенс угла B₂A₂C₂.

- ----------------------------------------------------------------------------------------------

7.  Найдите квадрат расстояния между вершинами   и   .

8.  Найдите квадрат расстояния между вершинами B и D₂.

9.  Найдите квадрат расстояния между вершинами A и  .

10.  Найдите тангенс угла C₂C₃B₂.

11. Найдите тангенс угла ABB₃.

12.  Найдите тангенс угла C₃D₃B₃.

--------------------------------------------------------------------------------------------

13 Найдите квадрат расстояния между вершинами D и C₂ .

14. Найдите угол D₂EF многогранника, изображенного на рисунке. Ответ дайте в градусах.

15. Найдите угол EAD₂ многогранника, изображенного на рисунке. Ответ дайте в градусах.

Решения

1. Найдите расстояние между вершинами A и   .

Решение.  Рассмотрим прямоугольный треугольник, по теореме Пифагора

 Ответ: 3.

2. Найдите квадрат расстояния между вершинами D и   многогранника.

Решение.  Рассмотрим прямоугольный треугольник   По теореме Пифагора

Ответ: 5.

3. Найдите расстояние между вершинами   и   .

Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник   По теореме Пифагора

 Ответ: 3.

4. Найдите угол CAD₂ многогранника.

Решение.  Рассмотрим треугольник CAD₂ где AC = CD₂ = AD₂, т. к. являются диагоналями равных квадратов. Следовательно, треугольник CAD₂ — равносторонний, поэтому все его углы равны 60°. Ответ: 60.

5. Найдите угол ABD многогранника.

Решение.  треугольник ABD — прямоугольный и равнобедренный, AB=AD. Угол ABD равен 45°. Ответ: 45.

6. Найдите тангенс угла B₂A₂C₂.

Решение.  Рассмотрим прямоугольный треугольник A₂B₂C₂:

Ответ: 2.

7. Найдите квадрат расстояния между вершинами   и   .

Решение.  Рассмотрим прямоугольный треугольник   По теореме Пифагора

 Ответ: 11.

8. Найдите квадрат расстояния между вершинами B и D₂ .

Решение.  Рассмотрим прямоугольный треугольник BC₁D₂. По теореме Пифагора

Ответ: 14.

9. Найдите квадрат расстояния между вершинами A и   .

Решение.  Рассмотрим прямоугольный треугольник   По теореме Пифагора

Ответ: 17.

-----------------------------------------------------------------------------------

10. Найдите тангенс угла C₂C₃B₂.

Решение.  Рассмотрим прямоугольный треугольник C₂C₃B₂. В нем

Ответ: 3.

11. Найдите тангенс угла ABB₃.

Решение.  Опустим перпендикуляр B₃K из точки B₃ на отрезок AB. Угол ABB₃ равен углу KBB₃. В прямоугольном треугольнике B₃KB имеем:

Ответ: 2.

12. Найдите тангенс угла C₃D₃B₃.

Решение.  Рассмотрим прямоугольный треугольник B₃C₃D₃. В нем

Ответ: 3.

13. Найдите квадрат расстояния между вершинами D и C₂ .

Решение.  По теореме Пифагора:

Ответ: 6.

14. Найдите угол D₂EF многогранника.

Решение.  Заметим, что D₂E — диагональ квадрата со стороной 2, значит, треугольник D₂EF — прямоугольный и равнобедренный, угол D₂EF равен 45°.

Ответ: 45.

15. Найдите угол EAD₂.

Решение.  Рассмотрим треугольник EAD₂. В нем AE = ED₂ = D₂A, т. к. это диагонали равных квадратов. Таким образом, треугольник EAD₂ — равносторонний, все его углы равны 60°.

Ответ: 60.