Вероятность события и логические операции

Коптева Лайсан Мунавировна

МБОУ «СОШ № 27» НГО п. Южно-Морской

Учитель математики

Вычисление вероятности события

Некоторые задачи по теории вероятностей легко решаются, если при вычислении вероятности события использовать логические операции: сложение и умножение. При этом надо помнить, что логическое сложение - соединение двух (или нескольких) высказываний союзом «или». Логическое умножение - объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза «и».

Рассмотрим решение нескольких задач.

1. В некоторой местности утро в июле может быть либо ясным, либо пасмурным. Наблюдения показали:

Если июльское утро ясное, то вероятность дождя в этот день 0,1.

Если июльское утро пасмурное, то вероятность дождя в течение дня равна 0,5.

Вероятность того, что утро в июле будет пасмурным, равна 0,2.

Найдите вероятность того, что в случайно взятый июльский день дождя не будет.

Решение:

Запишем сначала, что дано в задаче.

Р(утро ясное) = 1 – 0,2 = 0,8 Р(не идет дождь, если утро ясное) = 1 - 0,1=0,9

Р(утро пасмурное) = 0,2 Р(не идет дождь, если утро пасмурное) = 1 - 0,5=0,5.

Далее переформулируем условие в вопросе задачи, используя союзы «или», «и». Случайно взятый июльский день может быть ясным и не идти дождь или день может быть пасмурным и не идти дождь. Вспоминаем «и» - умножение, «или» - сложение. Получаем следующую схему:

Р(утро ясное) х Р(не идет дождь, если утро ясное) + Р(утро пасмурное) х Р(не идет дождь, если утро пасмурное). Значит:

Р(в случайно взятый июльский день дождя не будет)=

Ответ: 0,82.

1. В городе N есть три фабрики, выпускающие автомобильные шины. Первая фабрика выпускает 30 % этих шин, вторая – 45 %, третья – 25 %. Первая фабрика выпускает 3 % бракованных шин, вторая – 6 %, третья – 1 %. Найдите вероятность того, что случайно купленная в магазине шина не окажется бракованной.

Решение:

Р (шина выпущена первой фабрикой) = 0,3 Р(брак) = 0,03

Р (шина выпущена второй фабрикой)=0,45 Р(брак) = 0,06

Р (шина выпущена второй фабрикой) = 0,25 Р(брак) = 0,01

Случайно купленная в магазине шина может быть выпущена первой фабрикой и быть бракованной или второй фабрикой и оказаться бракованной или третьей фабрикой и быть бракованной.

Значит, Р (случайно купленная в магазине шина окажется бракованной) = Тогда
Р (случайно купленная в магазине шина не бракованная) = 1– 0,0385=0,9615.

Ответ: 0,9615.

1. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,3. На столе лежит 10 револьверов, из них только 2 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнется.

Решение:

Р(пистолет пристрелянный) = Р(не попал в муху) = 1 - 0,9= 0,1

Р(пистолет непристрелянный)= Р(не попал в муху) =1 - 0,3 = 0,7.

Ковбой Джон может взять пристрелянный пистолет и (умножение) не попасть в муху или (сложение) схватить непристрелянный пистолет и (умножение) не попасть в муху.

Р(Джон промахнулся) =

Ответ: 0,58

1. Стрелок стреляет в мишень 3 раза. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок промахнется все 3 раза.

Решение:

Р(стрелок промахнется) = 1- 0,9 = 0,1.

Стрелок промахнется и первый раз, и второй раз, и третий раз.

Р(стрелок промахнется все 3 раза) =

Ответ: 0,001.

1. В классе 7 мальчиков и 14 девочек. 1 сентября случайным образом определяют двух дежурных на 2 сентября, которые должны приготовить класс к занятиям. Найдите вероятность того, что будут дежурить два мальчика. 

Решение:

Дежурят два мальчика: и первый дежурный мальчик, и второй дежурный мальчик.

Р(первый дежурный мальчик) =

Р(второй дежурный мальчик) =

Р(дежурят два мальчика) =

Ответ: 0,1.

1. По отзывам покупателей Игорь Игоревич оценил надежность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,94. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,8. Игорь Игоревич заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

Решение:

Р(товар не доставят из магазина А) = 1 – 0,94 = 0,06

Р(товар не доставят из магазина Б) = 1 – 0,8 = 0,2

Товар не доставят из магазина А и не доставят из магазина Б.

Р(ни один магазин не доставит товар) = 0,06 .

Ответ: 0,012.

1. В уличном фонаре три лампы. Вероятность перегорания лампы в течение года равна 0,8. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение:

Р(перегорит и первая лампа, и вторая, и третья) = 0,8

Значит, Р(хотя бы одна лампа не перегорит) = 1 – 0,512 = 0,488.

Ответ: 0,488.

Задания для самостоятельного решения:

1. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Каждая фабрика выпускает по 50 % этих стекол. Первая фабрика выпускает 4 % бракованных стекол, а вторая – 5 %. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным. (0,045)

2. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,4. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнется. (0,4)

3. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,05. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,96. Вероятность того, что система забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля. (0,0575)

4. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,4. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга). (0,064)

5. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,6. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,4. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза. (0,24)

6. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в каком-либо автомате закончится кофе, равна 0,1 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах. (0,81)

7. Помещение освещается фонарем с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,1. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит. (0,999)