Зейделдин усулу менен сызыктуу теңдемелер системасын чыгаруу

Сызыктуу теңдемелер системасын Зейделдин усулу менен чыгаруу

Максаты: Зейделдин усулу менен сызыктуу теңдемелер системасын чыгаруунун ар түрдүү усулдарынын өзгөчөлүктөрүн окуп үйрөнүү, СТСти чыгарууда MS Excel каражаттарын колдонуу көндүмдөрүнө ээ болуу

Ход выполнения практической работы:

1. Посмотреть видеоролик по теме «Метод Зейделя» перейдя по ссылке: https://youtu.be/1OkKyjrzegU

2. Выполнить практическое задание:

Метод Гаусса-Зейделя. Этот метод является модификацией метода приближенных вычислений и отличается от него формулами вычислений первого и последующего приближений. Пусть надо решить систему

a11x1+a12x2+a13x3 = b1

a21x1+a22x2+a23x3 = b2

a31x1+a32x2+a33x3 = b3

Предположим, что диагональные элементы a11, a22, a33 отличны от нуля. В противном случае можно переставить уравнения. Выразим переменные из первого, второго и третьего уравнений соответственно. Тогда

x1 = [b1-( a12x2+a13x3)]/ a11

x2 = [b2-( a21x1+a23x3)]/ a22

x3 = [b3-( a31x1+a33x3)]/ a33

Зададим начальные приближения неизвестных

x1 = x1 (0)

x2 = x2 (0)

x3 = x3 (0)

Подставляя их в правую часть преобразованной системы, получим новое первое приближение

x1 (1) = [b1-( a12x2 (0) +a13x3 (0) )]/ a11

x2 (1) = [b2-( a21x1 (1) +a23x3 (0) )]/ a22

x3 (1) = [b3-( a31x1 (1) +a33x3 (1) )]/ a33

На этом заканчивается первая итерация. В отличии от метода Якоби, здесь использовались не только начальные приближения, но и уже вычисленные значения неизвестных на первой итерации. Далее, используя вычисленные значения x1 (1) , x2 (1) и x3 (1) , можно провести следующую итерацию, чтобы найти x1 (2) ,x2 (2) и x3 (2) , Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока на какойлибо k-той итерации все значения xi (k) не станут близкими к xi (k-1) . Близость этих значений можно характеризовать максимальной абсолютной величиной их разности D. Тогда при заданной допустимой погрешности Е критерий окончания итерационного процесса можно записать так

D = max [ABS(xi (k) - xi (k-1) )] для i=1,2,3.

Достаточные условия сходимости итерационного процесса

При этом хотя бы для одного уравнения неравенство должно выполняться строго. Пример 2.3. Решим систему примера 2.1 методом Гаусса-Зайделя. При этом оформление листа EXCEL останется тем же. Изменятся лишь формулы в четвертой и последующих строках.

Для проведения остальных итераций следует скопировать формулы ячеек B4:J4 в нижние строки с 5 по, например, 15. Если числовые значения в столбце J будут меньше Е, решение найдено. В противном случае следует продолжить копирование. Результат решения показан на рисунке.

Как видно, в данном случае метод Гаусса – Зейделя оказался быстрее метода приближенных вычислений.