Дата проведения:
Группа:
Тема: «Логарифмы и их свойства».
Цели и задачи урока:
Образовательная: рассмотреть понятие логарифма числа и свойства логарифмов;
овладеть знаниями и умениями использовать основное логарифмическое тождество, формулы перехода от одного основания к другому в процессе решения упражнений;
Развивающая: развивать мышление учащихся при выполнении упражнений;
научить учащихся определять логарифм числа и его свойства;
Воспитательная: воспитать интерес к уроку.
Тип урока: усвоение новых знаний.
Методическое обеспечение: учебники, индивидуальные карточки.
Литература: учебник математики 10 кл. Колмогоров А.Н.
Ход занятия
1. Организационный момент
Перед началом урока преподаватель проводит проверку подготовленности кабинета к занятию.
Сообщается тема и цель урока.
2. Актуализация знаний
В кратком вступительном слове преподаватель акцентирует внимание студентов о важной
роли логарифмов в курсе математики.
3. Повторение ранее изученного материала
Опрос
Преподаватель задает вопросы:
1) Что такое степень; что такое основание степени; что такое показатель степени.
2) Работа над основными свойствами степеней. Рассмотреть связь между показателями степеней в равенствах
![](file:///C:\Users\User\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image001.gif)
3) Решить устно примеры:
![](file:///C:\Users\User\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image002.gif)
4. Изучение нового материала
План
1. Логарифм числа. Основные свойства логарифмов.
2. Основное логарифмическое тождество.
3. Формула перехода одного основания логарифмов к другому.
Преподаватель излагает новый учебный материал
Логарифм числа
Понятие логарифма числа связано с решением показательных уравнений.
Остановимся на решении двух показательных уравнений. Решение уравнения
не вызывает труда. Так как
то данное уравнение примет вид
Поэтому уравнение имеет единственное решение ![](file:///C:\Users\User\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image006.gif)
А теперь попробуем решить уравнение
По теореме о корне это уравнение также имеет единственное решение. Однако, в отличие от предыдущего уравнения, это уравнение является иррациональным числом. Докажем, что корень данного уравнения является числом рациональным, т.е.
Тогда выполняется равенство
или
Но
в любой натуральной степени будет числом четным, а
в любой натуральной степени – число нечетное. Получаем противоречие, которое и доказывает, что корень уравнения – число иррациональное. Обдумывая, ситуацию с показательным уравнением
математики ввели в рассмотрение новый символ – логарифм. С помощью этого символа корень уравнения
записали так:
(читается : логарифм числа
по основанию ![](file:///C:\Users\User\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image015.gif)
Остановимся теперь на понятии логарифма числа. Очень часто приходится решать задачу: известно, что
необходимо найти показатель степени
т.е. решить задачу, обратную возведению числа в степень. При нахождении этого показателя степени
и возникает понятие логарифма числа
по основанию
![](file:///C:\Users\User\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image021.gif)
дается определение логарифма
Например
а) log 3 81 = 4, так как 34 = 81;
б) log 5 125 = 3, так как 53 = 125;
в) log 0,5 16 = -4, так как (0,5)-4 = 16;
г)
, так как
=
=![](file:///C:\Users\User\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image025.gif)
Введение основного логарифмического тождества
Из определения логарифма следует основное логарифмическое тождество:
( где b >0, a > 0 иa ≠ 1)
Согласно тождеству:
=5; .
Рассмотрим
=8
Обратите внимание на то, что
является корнем уравнения
, а поэтому
=8
Таким образом и получается основное логарифмическое тождество
![](file:///C:\Users\User\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image029.gif)
Это равенство является краткой символической записью определения логарифмов.
Решить примеры согласно тождеству:
;
=5;
.
Подчеркнем, что
и
одна и та же математическая модель
Операцию нахождения логарифма числа называют ЛОГАРИФМИРОВАНИЕМ. Эта операция является обратной по отношению к возведению в степень с соответствующим основанием.
По определению соотношения y = ax и x = loga y при условии, что a > 0 и a ≠ 1, эквиваленты. Переход от первого равенства ко второму называется логарифмированием , а переход от второго к первому – потенцированием.
Например:
- логарифмируя равенство:
,получаем log 1/2
- потенцируя равенство:
, log2 8 = 3, будем иметь 23 = 8
Сравните.
Основные свойства логарифмов
Эти свойства вытекают из определения логарифма и свойств показательной функции.
При любом a > 0 (a
1) и любых положительных x и y выполнены равенства:
- loga 1 = 0.
- loga a = 1.
- loga xy = loga x + loga y.
- loga = loga x - loga y.
- loga xp = p loga x
для любого действительного p.
Решить примеры устно. Найти x
Ответ: ![](file:///C:\Users\User\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image042.gif)
Ответ: ![](file:///C:\Users\User\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image044.gif)
Ответ:![](file:///C:\Users\User\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image046.gif)
Ответ: ![](file:///C:\Users\User\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image048.gif)
Ответ:![](file:///C:\Users\User\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image050.gif)
Упростить выражения:
a) ![](file:///C:\Users\User\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image051.gif)
б)![](file:///C:\Users\User\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image052.gif)
в) ![](file:///C:\Users\User\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image053.gif)
Ответ. a)
; б)
; в) ![](file:///C:\Users\User\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image056.gif)
5. Закрепление изученного материала
Найти логарифм по основанию a числа представленного в виде степени с основанием a
![](file:///C:\Users\User\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image057.gif)
Упростите выражения, пользуясь основным логарифмическим тождеством.
Выполнить упражнения. Работа по индивидуальным карточкам.
![](file:///C:\Users\User\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image058.gif)
![](file:///C:\Users\User\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image059.gif)
![](file:///C:\Users\User\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image060.gif)
![](file:///C:\Users\User\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image061.gif)
![](file:///C:\Users\User\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image062.gif)
![](file:///C:\Users\User\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image063.gif)
![](file:///C:\Users\User\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image064.gif)
![](file:///C:\Users\User\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image065.gif)
![](file:///C:\Users\User\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image066.gif)
![](file:///C:\Users\User\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image067.gif)
![](file:///C:\Users\User\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image068.gif)
Просмотр содержимого документа
«Логарифмы и их свойства»
Дата проведения:
Группа:
Тема: «Логарифмы и их свойства».
Цели и задачи урока:
Образовательная: рассмотреть понятие логарифма числа и свойства логарифмов;
овладеть знаниями и умениями использовать основное логарифмическое тождество, формулы перехода от одного основания к другому в процессе решения упражнений;
Развивающая: развивать мышление учащихся при выполнении упражнений;
научить учащихся определять логарифм числа и его свойства;
Воспитательная: воспитать интерес к уроку.
Тип урока: усвоение новых знаний.
Методическое обеспечение: учебники, индивидуальные карточки.
Литература: учебник математики 10 кл. Колмогоров А.Н.
Ход занятия
1. Организационный момент
Перед началом урока преподаватель проводит проверку подготовленности кабинета к занятию.
Сообщается тема и цель урока.
2. Актуализация знаний
В кратком вступительном слове преподаватель акцентирует внимание студентов о важной
роли логарифмов в курсе математики.
3. Повторение ранее изученного материала
Опрос
Преподаватель задает вопросы:
1) Что такое степень; что такое основание степени; что такое показатель степени.
2) Работа над основными свойствами степеней. Рассмотреть связь между показателями степеней в равенствах
3) Решить устно примеры:
4. Изучение нового материала
План
1. Логарифм числа. Основные свойства логарифмов.
2. Основное логарифмическое тождество.
3. Формула перехода одного основания логарифмов к другому.
Преподаватель излагает новый учебный материал
Логарифм числа
Понятие логарифма числа связано с решением показательных уравнений.
Остановимся на решении двух показательных уравнений. Решение уравнения
не вызывает труда. Так как
то данное уравнение примет вид
Поэтому уравнение имеет единственное решение
А теперь попробуем решить уравнение
По теореме о корне это уравнение также имеет единственное решение. Однако, в отличие от предыдущего уравнения, это уравнение является иррациональным числом. Докажем, что корень данного уравнения является числом рациональным, т.е.
Тогда выполняется равенство
или
Но
в любой натуральной степени будет числом четным, а
в любой натуральной степени – число нечетное. Получаем противоречие, которое и доказывает, что корень уравнения – число иррациональное. Обдумывая, ситуацию с показательным уравнением
математики ввели в рассмотрение новый символ – логарифм. С помощью этого символа корень уравнения
записали так:
(читается : логарифм числа
по основанию
Остановимся теперь на понятии логарифма числа. Очень часто приходится решать задачу: известно, что
необходимо найти показатель степени
т.е. решить задачу, обратную возведению числа в степень. При нахождении этого показателя степени
и возникает понятие логарифма числа
по основанию
дается определение логарифма
Например
а) log 3 81 = 4, так как 34 = 81;
б) log 5 125 = 3, так как 53 = 125;
в) log 0,5 16 = -4, так как (0,5)-4 = 16;
г)
, так как
=
=
Введение основного логарифмического тождества
Из определения логарифма следует основное логарифмическое тождество:
( где b 0, a 0 иa ≠ 1)
Согласно тождеству:
=5; .
Рассмотрим
=8
Обратите внимание на то, что
является корнем уравнения
, а поэтому
=8
Таким образом и получается основное логарифмическое тождество
Это равенство является краткой символической записью определения логарифмов.
Решить примеры согласно тождеству:
;
=5;
.
Подчеркнем, что
и
одна и та же математическая модель
Операцию нахождения логарифма числа называют ЛОГАРИФМИРОВАНИЕМ. Эта операция является обратной по отношению к возведению в степень с соответствующим основанием.
По определению соотношения y = ax и x = loga y при условии, что a 0 и a ≠ 1, эквиваленты. Переход от первого равенства ко второму называется логарифмированием , а переход от второго к первому – потенцированием.
Например:
логарифмируя равенство:
,получаем log 1/2
потенцируя равенство:
, log2 8 = 3, будем иметь 23 = 8
Сравните.
Основные свойства логарифмов
Эти свойства вытекают из определения логарифма и свойств показательной функции.
При любом a 0 (a
1) и любых положительных x и y выполнены равенства:
для любого действительного p.
Решить примеры устно. Найти x
Ответ:
Ответ:
Ответ:
Ответ:
Ответ:
Упростить выражения:
a)
б)
в)
Ответ. a)
; б)
; в)
5. Закрепление изученного материала
Найти логарифм по основанию a числа представленного в виде степени с основанием a
Упростите выражения, пользуясь основным логарифмическим тождеством.
Выполнить упражнения. Работа по индивидуальным карточкам.
6. Подведение итогов, домашнее задание