Логические задачи. 5 класс.
Задачи 1
Календарь, время, возраст
1. Может ли быть в одном месяце пять воскресений?
2. В некотором месяце три воскресения пришлись на четные числа. Какой день недели был 20-го числа этого месяца?
3. Дата 5 мая 1955 года может быть записана 5.5.55. Напишите все даты 20-го века, которые можно записать с помощью одной цифры.
4. Как отмерить 15 минут, пользуясь песочными часами на 7 минут и на 11 минут?
5. В кабинете со звуконепроницаемыми стенами висят старинные стенные часы, которые бьют каждые полчаса (один удар) и каждый час (столько ударов, сколько показывает часовая стрелка). Однажды, открыв дверь в кабинет, хозяин услышал один удар часов. Через полчаса часы в кабинете пробили ещё раз - опять один удар. Спустя полчаса - ещё один удар. Наконец, ещё через полчаса часы снова пробили один раз. Какое время показывали часы, когда хозяин входил в кабинет?
6. Сереже 11 лет, Вове 1 год. Сколько лет будет Сереже, когда он станет втрое старше Вовы?
7. Саша сказал: «Позавчера мне было 10 лет, а в будущем году мне исполнится 13 лет». Когда у Саши день рождения?
8. Моему брату через 2 года будет вдвое больше лет, чем ему было 2 года назад, а моя сестра через 3 года будет втрое старше, чем была 3 года назад. Кто из них старше?
9. Когда мальчик Клайв подошел к дедушкиным настенным часам с кукушкой, на них было 12 часов 5 минут. Клайв стал крутить пальцем минутную стрелку, пока часовая не вернулась на прежнее место. Сколько "ку-ку" насчитал за это время дедушка в соседней комнате?
10. Сын отца профессора разговаривает с отцом сына профессора, а профессор в разговоре не участвует. Может ли такое быть?
11. У родителей пять сыновей. Каждый имеет одну сестру. Сколько всего детей в семье?
12. У мальчика столько же сестер, сколько и братьев, а у его сестры вдвое меньше сестер, чем братьев. Сколько в этой семье мальчиков и сколько девочек?
Обратный ход
1. Вася задумал число, умножил его на 2, прибавил 3 и получил 17. Какое число он задумал?
2. Алеша задумал число. Он прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 3, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил число 2. Какое число задумал Алеша?
3. В стакане находится одна бактерия. Через секунду она делится пополам. Каждая из получившихся бактерий через секунду также делится пополам и так далее. Через минуту стакан заполнился.
а) Через какое время стакан был заполнен наполовину?
б) через какое время заполнится стакан, если изначально в нем находилось 4 бактерии?
4. Два пирата играли на золотые монеты. Сначала первый проиграл половину своих монет (отдал второму), потом второй проиграл половину своих, потом снова первый проиграл половину своих. В результате у первого оказалось 15 монет, а у второго - 33. Сколько монет было у первого пирата до начала игры?
5. Над озерами летели гуси. На каждом садилась половина гусей и еще полгуся, остальные летели дальше. Все гуси сели на семи озерах. Сколько было гусей?
6. Один Бездельник захотел получить денег и заключил сделку с Чёртом. Теперь каждый раз, когда Бездельник переходит мост через речку, количество имеющихся у него денег удваивается. Но за это он отдаёт Чёрту каждый раз по 24 копейки. Сколько денег было у Бездельника, если он прошёл по мосту 3 раза и деньги у него закончились?
7. Древняя легенда повествует, что некогда нежная королева обещала свою руку тому из трех рыцарей, кто первый решит следующую задачу: сколько слив в корзине, если половину всего содержимого и одну сливу она отдаст первому рыцарю, половину оставшихся и еще одну - второму и, наконец, третьему - половину оставшихся и три сливы, и после этого корзина будет пустой?
8. Три мальчика делили 120 фантиков. Сначала Петя дал Ване и Толе столько фантиков, сколько у них было. Затем Ваня дал Толе и Пете столько, сколько у них стало. И наконец, Толя дал Пете и Ване столько, сколько у них к тому моменту имелось. В результате всем досталось поровну. Сколько фантиков было у каждого в начале?
9. Летит по небу лебедь, а навстречу ему гуси. "Здравствуйте, 100 гусей", - говорит им лебедь, а они ему отвечают: "Нас не 100! А если к нам подлетит ещё столько, сколько нас, и ещё половина, и ещё четверть, и вместе с тобой нас станет 100!". Сколько гусей летело по небу?
10. Трём братьям дали 24 бублика так, что каждый получил на 3 бублика меньше, чем ему лет. Меньший брат был сообразительным и предложил поменять часть бубликов: "Я, - сказал он, - оставлю половину бубликов, а другую разделю между вами поровну; после этого средний брат также оставит половину бубликов, а другую разделит поровну между мной и старшим братом. В конце старший брат поделит так же". Так они и сделали. Оказалось, что все получили поровну. Сколько лет каждому брату?
Задачи 2
Посчитай-ка
1.Сколько раз буквосочетание «раз» встречается в этой фразе?
2. У Насти и Ани денег поровну. Сколько денег должна дать одна из них другой, чтобы у Насти стало на 10 рублей больше, чем у Ани?
3. У Маши, Саши и Даши вместе 11 воздушных шариков. У Маши на 2 шарика меньше, чем у Даши, а у Саши на 1 шарик больше, чем у Даши. Сколько шариков у Даши?
4. На поляне ребята пасут жеребят. Если пересчитать ноги ребят и жеребят, то будет 74, а если считать головы, то 22. Сколько на поляне жеребят?
5. Три землекопа за 2 часа вырыли 3 ямы. Сколько ям выроют 6 землекопов за 5 часов?
6. Во время математической олимпиады ученик должен был разделить число на два и к результату прибавить 3, а он поторопился, и вместо этого умножил число на два и от полученного произведения отнял три. Но ответ у него получился верный. Какой?
7. Один сапфир и два топаза
Ценней, чем изумруд, в три раза.
А семь сапфиров и топаз
Его ценнее в восемь раз.
Определить прошу я вас:
Сапфир ценнее иль топаз?
8. Над озёрами летели гуси. На каждом садилась половина гусей и еще полгуся. Все сели на семи озерах. Сколько было гусей?
9. Белка за 20 минут приносит в гнездо орех. Далеко ли от орешника ее гнездо, если налегке белка бежит со скоростью 5 м/с, а с орехом — со скоростью 3 м/с?
10. Звездочет установил, что на небе есть 1000 созвездий. Первое из них состоит из одной звезды,
второе — из трех звезд, третье — из пяти звезд и так далее (в каждом следующем созвездии на две звезды больше, чем в предыдущем). В последнем созвездии 1999 звезд. Сколько всего звезд
на небе?
11. На полке в один ряд стоят книги. Энциклопедия стоит пятой слева и семнадцатой справа. Сколько книг на полке?
12. Двое поделили между собой 7 рублей, причем один из них получил на 3 рубля больше другого. Сколько кому досталось?
13. Число 2002 "симметричное", т.е. читается одинаково слева-направо и справа-налево. Напишите следующее за ним симметричное число.
14. Торговец купил корову за 7 долларов, продал ее за 8, потом вновь купил ту же корову за 9 долларов и опять продал за 10. Какую прибыль он получил?
15. Напишите наименьшее 10-значное число, все цифры которого различны.
16. В коробке 14 белых и 14 чёрных шариков. Какое минимальное количество шариков нужно достать из коробки, чтобы среди них наверняка оказалось 2 черных шарика?
17. Ученики одного класса съели 95 конфет, причем каждый мальчик съел 3 конфеты, а каждая девочка — 5 конфет. Сколько в классе мальчиков и сколько девочек, если всего в классе 25 человек?
18. После битвы со Змеем Горынычем три богатыря заявили:
Добрыня Никитич: "Змея убил Алеша Попович."
Илья Муромец: "Змея убил Добрыня Никитич."
Алеша Попович: "Змея убил я."
Кто убил змея, если только один из богатырей сказал правду?
19. Два поезда, оба длиной 50 м, движутся навстречу друг другу со скоростью 45 км/ч. Сколько времени пройдёт от момента, когда встретятся машинисты, до момента, когда встретятся проводники последних вагонов?
20. Чему равна сумма 123456789 + 234567891 + 345678912 + … + 912345678?
Задачи 3.
1. Арбуз весит 6 кг и ещё треть арбуза. Сколько весит арбуз?
2. Я иду от дома до школы 30 мин, а мой брат — 40 мин. Через сколько минут я догоню брата, если он вышел из дома на 5 мин раньше меня?
3. На острове рыцарей и лжецов навстречу вам идут два аборигена, один из которых говорит: «Или я лжец, или мой спутник — рыцарь». Установите, кто из них кто. Рыцари всегда говорят правду, лжецы — всегда лгут.
4. Автобусные билеты имеют шестизначные номера: от 000000 до 999999. а) Сколько всего различных номеров? б) А сколько номеров, все цифры которых нечётны?
5. Оля, Коля и Толя пришли в столовую. Коля съел половину всех пончиков, после чего продавщица отложила один пончик для директора столовой. После этого Толя съел половину оставшихся пончиков. Увидев это, продавщица отложила один пончик себе. После этого Оля доела оставшиеся 2 пончика. По сколько пончиков съели Толя и Коля?
6. В классе 27 учеников. Среди любых 11 учеников есть хотя бы одна девочка, а среди любых 18 учеников — хотя бы один мальчик. Сколько мальчиков и сколько девочек в классе?
7. Бармалей поймал 15 маленьких детей и думает, что с ними сделать: съесть или отпустить.
а)Сколько у него есть способов выбрать троих детей: одного на завтрак, другого на обед и третьего на ужин?
б)Сколько у него есть способов выбрать троих детей, чтобы отпустить их?
8. Делимое вчетверо больше делителя, а делитель вчетверо больше частного. Найдите делимое, делитель и частное.
9. Из Москвы в Новгород послали гонца, и проходит он каждый день 30 вёрст. На другой день следом за ним послали другого гонца, который проходит 35 вёрст в день. Когда второй гонец догонит первого?
10. Кузнечик умеет прыгать вдоль заданной прямой на 6 см и на 8 см (в любую сторону). Сможет ли он за несколько прыжков попасть в точку, расстояние от которой до исходной равно: а)4 см; б)7 см?
11. Автомобиль Opel Corsa выпускается с двумя различными типами кузова, тремя различными коробками передач и четырьмя различными двигателями. Сколько всего выпускается модификаций автомобиля Opel Corsa, если любой тип кузова сочетается с любым двигателем и любой коробкой передач?
12. Можно ли клетчатую доску 100×100 разрезать на трёхклеточные уголки? Ответ подробно объясните.
13. В парке 10 беседок, и от каждой из них идут тропинки к трём другим беседкам. Сколько всего тропинок соединяет беседки друг с другом? Укажите все возможные варианты.
14.а) Сколько существует натуральных чисел, не превосходящих 1000, которые делятся на 3? На 5? На 15?
б) Не делятся ни на 3, ни на 5?
15. Ваня задумал натуральное число, умножил его на 13, зачеркнул последнюю цифру результата, полученное число умножил на 7, зачеркнул последнюю цифру результата и получил 21. Какое число задумал Ваня? Укажите все возможные варианты.
16. Несколько ребят сидели и пили чай с 36 конфетами. Дима сказал: «Я сумею так разделить конфеты, что у каждого из нас будет не больше пяти конфет». Вова ответил ему: «А я могу так разделить конфеты, что каждому хоть что-то достанется и при этом число конфет у всех будет разным!». Сколько ребят пили чай?
17. В детском саду в группе из 50 детей некоторые знают все буквы, кроме «р», которую просто пропускают при письме, а остальные знают все буквы, кроме «к», которую тоже пропускают. Однажды воспитатель попросил 10 детей написать слово «кот», 18 других детей — слово «рот», а остальных — слово «крот». При этом слова «кот» и «рот» оказались написаны по 15 раз. Сколько ребят написали своё слово верно?
18. Аня кушала большой вкусный торт. Когда она съела половину, она ушла смотреть «Синдбада-Морехода». Пока Ани не было, торт кушал её брат. Вернувшись, девочка увидела, что от торта осталась половина той части, которую скушал брат. Какую часть от всего торта съела Аня, если, возвратившись, она доела его?
Задачи 4
Движение
1. Две ракеты вылетают навстречу друг другу из точек, находящихся на расстоянии 199919 км. Одна из них летит со скоростью 12000 км/ч, другая – со скоростью 18000 км/ч. На каком расстоянии они будут за минуту до встречи?
2. После того, как туристы прошли 1 км, а затем половину оставшегося пути, им осталось пройти треть всего пути и 1 км. Чему равен весь путь?
3. На трассе через равные промежутки установлены фонари. Фикс проезжает от первого фонаря до четвертого за 12сек. За какое время он проедет от первого фонаря до шестнадцатого, если не изменит скорость?
4. Фогг и Фикс одновременно отправились из А в В. Фогг поехал на велосипеде, а Фикс – на автомобиле со скоростью, в пять раз большей, чем скорость велосипеда. На полпути автомобиль сломался и оставшуюся часть пути Фикс прошел пешком со скоростью в два раза меньшей скорости велосипедиста. Кто прибыл раньше: Филиас Фогг или Фикс?
5. Мышке до норки по прямой 20 шагов. Кошке до мышки по той же прямой 5 прыжков. Пока кошка совершает 1 прыжок, мышка делает 3 шажка, но один кошачий прыжок такой же длинный, как 10 мышиных шажков. Догонит ли кошка мышку?
6. Когда мистер Фикс проехал половину всего пути, то лег спать и проснулся только тогда, когда осталось ехать половину того пути, что он проехал спящим. Сколько часов он спал, если он ехал всего 18 часов?
7. Из города в деревню одновременно вышли два пешехода, один из них половину затраченного времени шел со скоростью 5км/ч, а вторую половину – со скоростью 4 км/ч. Второй же пешеход первую половину пути шел со скоростью 4 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью 5 км/ч. Кто из пешеходов придет в деревню раньше?
8. Два поезда одновременно выехали навстречу друг другу. На стекле одного из них сидела муха. В тот момент, когда поезда тронулись, она взлетела и полетела к другому поезду. Долетев до него, она тут же развернулась и полетела обратно и т.д. Так она летала как угорелая до тех пор, пока поезда не столкнулись и не раздавили муху. Какое расстояние пролетела муха, если скорость первого поезда 40км/ч, скорость второго – 60км/ч, расстояние между городами 2000км, а скорость мухи 100км/ч.
9. Сколько раз за сутки минутная стрелка обгоняет часовую?
10. Паспарту увидел приближающийся к мосту автомобиль Фикса, когда он прошел 3/8 этого моста. Если он повернет назад и побежит навстречу автомобилю, то они встретятся у начала моста. Если же он побежит вперед, то автомобиль догонит его в конце моста. Во сколько раз скорость автомобиля больше скорости Паспарту?
11. В разные моменты времени из пунктов А и В выехали навстречу друг другу велосипедист и мотоциклист. Встретившись в точке С, они тотчас развернулись и поехали обратно. Доехав до своих пунктов, они опять развернулись и поехали навстречу друг другу. На этот раз они встретились в точке D и, развернувшись, вновь поехали к своим пунктам. И т.д. В какой точке отрезка АВ произойдет их 1999 встреча?
1 381
45 023 
