Մաթեմատիկայի և Ֆիզիկայի միջառարկայական կապերի արտացոլումը «կինեմատիկա»թեմայի ուսուցման պրոցեսում

1.Կետի կոորդինատները: Տեղափոխություն

Թեև այս բաժինը ըստ ֆիզիկական գաղափարների խորության ամենաբարդը չէ, սակայն զգալի պահանջներ է ներկայացնում աշակերտների մաթեմատիկական գիտելիքների եւ զարքագման նկատմամբ:Հարկ է լինում հաշվի արնել նաեւ այն, որ 6-րդ եւ 7-րդ դասարաններում ֆիզիկան ուսումնասիրվում է գլխավորապես փորձնառական հիմքի վրա, մաթէմատիկական պարզագույն ապարատի օգտագործմամբ: Այդ պատճառով ուսուցման առաջին շաբաթներում 8-րդ դասարանի աշակերտները թույլ են նախապատրաստված լինում մեխանիկայի ուսումնասիրմանը:

Դա պարտավորեցնում է մանրզնին վերլուծել կինեմատիկայի ուսումնասիրման հնարավոր ուղիները եւ ընտրել շարժման նկարագրության գիտական եւ միաժամանակ աշակերտներին մատչելի եղանակի համար անհրաժեշտ նվազագույն թվով հասկացիւթյուններ:

Ինչպես հայտնի է , նյութական կետի կինեմատիկայի խնդրի մեջ մտնում է նրա շարժման նկարագրությունը , այսինքն նրա դիրքի որոշումը ժամանակի ցանկացած պահին՝ ըստ տրված սկզբնական պայմանների եւ արագացման:

Կետի դիրքը տարածության մեջ ամենից պարզ որոշվում է դեկարտյան երեք կոորդինատներով: Կոորդինատների դեկարտյան համակարգին աշակերտները ծանոթ են մաթեմատիկայի դասընթացից : 8-րդ դասարանում մեխանիկայի ուսուցման ժամանակ սահմանափակվում են հարթության վրա շարժման խնդիրների քննարկմամբ: Այս մասնավոր դեպքում կետի դիրքը որոշվում է մի կոորդինատով:

Եթե կետի սկզբնական դիրքը հայտնի է ( օրինակ, x₁, y₁ կոորդինատները), ապա նրա նոր դիրքը որոշելու համար բավական է իմանալ տեղափոխության վեկտորը, (նկ. 1), որի ծայրը ցույց է տալիս կետի նոր դիրքը (x_2,y₂ կոորդինատները):

Տեղափոխությանվըկտորը միարժեքորեն կարող է որոշել կոորդինատային առանցքների վրա նրա պրոեկցիաներով. Եթե հայտնի են S_X եւ S_Yպրոյեկցիաները , ապա դա հավասարազոր է տեղափոխուտյան վեկտորը գիտենալուն:

Առանցքի վրա վեկտորի պրոյեկցիայի հասկացուտյան ներմուծման նկատմամբ գոյություն ունեն տարբեր մոտեցումներ : Այդ պրոյեկցիան կարելի է դիտարկել իբրեւ սկալյար մեծուտյուն : Այն որոշվում է

S_x=scosα

Արտահայտությամբ , որտեղ S_x - ը վեկտորի պրոյեկցիան է առանցքի վրա , S-ը՝ վեկտորի մոդըլը , այսինքն նրա երկարությունը, իսկ α-ն անկյուն է, որը չափվում է կոորդինատային առանցքի դրական ուղղուտյունից մինչեւ վեկտորի ուղղությունը , ժամացույցի սլաքի շարժմանը հակառակ (նկ. 2) :ՈՒստի վեկտորի պրոյեկցիաները դրական կամ բացասական նշան ունեցող հանրահաշվական մեծություններ են: Եթե α անկյունը սուր է , ապա պրոյեկցիան դրական նշան ունի, իսկ բութ անկյան դեպքում պրոյեկցիան բացասական է:

Այն դեպքում , երբ վեկտորը զուգահեր է առանցքին (իսկ դա ուղղագիծ շարժմն դեպքում միշտ հնարավոր է ), անկյունը կարող է հավասար լինել կամ 0⁰-ի կամ 180⁰-ի եւ, համապատասխանաբար : նշանակում է ,S_x=S:

α անկյան որոշումը ոչ բոլոր դեպքերում է պարզ աշակերտների համար : օրինակ, երբ վեկտորն առանցքի ուղղության հետ կազմում է α180⁰ անկյուն, վերջինս որոշվում է այնպես, ինչպես ցույց է տրված 3-րդ նկարում:

Աշակերտների համարավելի պարզ կոորդինատային առանցքի վրավեկտորի պրոյեկցիայի հասկացության նկատմամբ մեկ ուրիշ մոտեցումը: Նախ կոորդինատային առանցքների վրա կարուցում են վեկտորի N ԵւLբաղադրիչները: Այդ բաղադրիչներն առանցքների երկարությամբ ունեն որոշակի ուղղություններ ,որոնք կախված են առանցքների նկատմամբ հենց իր՝ վեկտորի ուղղությունից (նկ. 4): Սակայն, քանի որ վեկտորների բաղադրիչների համար հնարավոր են միայն երկու հակառակ ուղղություններ, ապա նրանց կարելի է համապատասխանեցնել դրական կամ բացասական նշան ունեցող հանրահաշվական մեծություններ: Հենց այդ սկալյառ մեծություններն էլ անվանում են վեկտորի պրոյեկցիաներ առանցքի վրա:

Նախքան առանցքի վրա վեկտորի բաղադրիչի հասկացության ներմուծումը քննարկվում են կոորդինատային առանցքի վրա կետերի պրոյեկցիայի հասկացությունը: Եթե M-ը եւ N-ը վեկտորի սկզբնակետի եւ ծայրակետերի պրոյեկցիաներն են , ապա M վեկտորն անվանում են վեկտորի բաղադրիչX առանցքի ուղղությամբ: Այդ դեպխում վեկտորի պրոյեկցիայի մոդուլն X առանցքի վրա արտահայտվում է բաղադրիչի մոդուլով, իսկ պրոյեկցիայի նշանը հեշտությամբ որոշվում է այն բանից, թե առանցքի ուղղության նկատմամբ վեկտորի բաղադրիչն ինչպես է ուղղված: Եթե բաղադրիչիուղղությունը համընկնում է առանցքի ուղղությանը, ապա վեկտորի պրոյեկցիան դրական է , իսկ եթե այդ ուղղությունները հակառակ են ,ապա պրոյեկցիան բացասական է:

ՈՒղղագիծ շարժման դեպքում , երբ կոորդինատաեին առանցքը կարելի է ուղղել տեղափոխուտյան վեկտորին զուգահեռ, նրա պրոյեկցիան հավասար կլինի վեկտորի մոդուլին՝ վերցրած պլյուս (S_x=+s) կամ մինուս նշանով (S_x=-s):

Ըստ երեւույտին, պրոյեկցիայի որոշման երկրորդ եղանակը նախնտրելի է , քան որ թույլ է տալիս ավելի պարզ ձեւով որոշել պրոյեկցիայի նշանը:

Այսպիսով, հանգում ենք այն եզրակացությանը , որ կինեմատիկան ուսումնասիրելիս անհրաժեշտ է մտցնել հետեւյալ հասկացությունները.կետի կոորդինատներ, տեղափոխության վեկտոր,վեկտորի պրոյեկցիաներ կոորդինատային առանցքնետի վրա:

Մեխանիկայի հիմնական խնդրի լուծմանը կարելի է մոտենալ փոքր-ինչ այլ կերպ, եթե հայտնի է կետի շարժման հետագիծը:

Այս դեպքում կետի դիրքը հետագծի վրա որոշվում է նրա սկզբնական եւ վերջնական դիրքերի միջեւ ընկած հետագծի հատվածի երկարությամբ :

Հետագծի որեւէ մի կետ ընկնում է իբրեւ սկզբնական , եւ դրանից դուրս եկող ուղղություններից մեկը հետագծի վրա ընկնում է դրական (հակառակ ուղղպւթյունը համարվում է բացասական): Ընդ որում հետագծի հատվածի երկարությունը, որը որոշում է կետի դիրքը նրա վրա, դիտարկվում է իբրեւ հանրահաշվական մեծություն:

Այսպիսի մոտեցման դեպքում վեկտորական մեծությունից օգտվելու անհրաժեշտություն չկա. Սա, թվում է, պարզեցնում է կինեմատիկայի շարադրումը: սակայն շարժման նկարագրության այս մեթոդը հնարավոր է միայն այն մասնավոր դեպքում , երբ հետագիծը տրված է (շարժումը ռելսերով , խճուղիներով եւ այլն): Բայց շարժումներ կատարվում են նաեւ օդային տարածությունում, տիեզերքում, օվկիանոսի մակերեւույթի վրա եւ ջրի տակ, ուր չկան ռելսեր, խճուղիներ, եւ հետագծը նախօրոք տրված չե, այլ պետք է որոշվի մեխանիկայի օրենքներից: Հետագծի վորոշումն էլ հենց Մեխանիկայի հիմնական խնդրի էական մասն է կազմում:

Ինչպես հայտնի է , Նյուտոնի 2-րդ օրենքի հավասարումը վեկտորական է.

F==m

Այս հավասարման լուծումը տալիս է շառավիղ-վեկտորի կախումը ժամանակից, այսինքն՝ (t) , կամկոորդինատային առանցքների պրոյեկցիաներով՝

x=f₁(t), y=f₂(t), z=f₃(t):

Այս հավասարումները նյութական կետի շարժման օրենքն են:

Այսպիսով , շարժման հավասարումներն արտահայտվում են իբրեւ կոորդինատների ֆունկցիաներ ժամանակից: Այս հավասարումներից արտաքսելով ժամանակը, կարելի է ստանալ հետագծի հավասարումները:

Նշանակում է, հետագծի հավասարումը որոշվում է Նյուտոնի օրենքներից: Մեխանիկայի խնդիրն էլ հենց այն եր, որ տրված ուժերով եւ սկզբնական պայմաններով որոշակի հետագծի տեսքը եւ շարժման բնույթը:

• Արագության և արագացման հասկացությունները

Կոորդինատների եւ նյութական կետի տեղափոխության հասկացությունների ներմուծումը կանխորոշում է եւ արագության հասկացության ներմուծման եղանակը:

Արագությունը տեղափխության արաջին ածանցյալն է ըստ ժամանակի: Հետեւաբար, ընդհանուր առմամբ պարտադիր չէ այն ներմուծել սկզբում միայն հավասարաչափ շարժման համար որպես տեղափոխուտյան վերջնական արժեքի հարաբերությունը այն ժամանակին , որի ընթացքում կատարվել է տեղափխությունը: Կարելի է միանգամից մտցնել ակնթարթային արագության հասկացությունը, որն իմաստ ունի ցանկացած, այդ թվում եւ հավասարաչափ շարժման համար: Եւ այդ ճանապրհն օժտված է օրոշակի արժեքներով, քանի որ բացառում է աշակերտների մեջ այն թյուր պատկերացման առաջացման հնարավորությունը, թե իբր գոյություն ունեն արագության մի քանի հասկացություններ՝ հավասարաչափ շարժման արագություն , ակնթարթային արագություն եւ այլն:

Հավասարաչափ շարժումն այս դեպքում կորոշվի իբրեւ այնպիսի շարժում, որի ժամանակ արագությունը (ակնթարթային)հաստատուն է մնում:

Սակայն փորձը ցույց է տալիս, որ այս հասկացուտյան ընկալումը աշակերտների համար հեշտացնելու նպատակով հարմար է գնալ ոչ այնպիսի դեդուկտիվ ճանապարհով, այլ՝ սկզբում մտցնել հավասարաչափ շարժման հասկացությունը եւ տալ այդ շարժման արագության սահմանումը: Բանն այն է, որ աշակերտներն արդեն6-րդ դասարանում յուրացնում են հավասարաչափ շարջման արագության հասկացությունը: Եւ դրա հետ պետք է հաշվի նստել, նկատի ունենալով ուսուցման մեջ հաջորդականություն իրականացնելու անհրաջեշտությունը:

Բացի այդ, ականթարթային արագության հասկացությունը զգալուրեն ավելի բարդ է, եւ այդ պատճարով ցանկալի է այն ներմուծել կինեմատիկայի ոչ առաջին դասերին, այլ փոքր-ինչ ավելի ուշ:

Ակնթարթային արագությունը սահմանելիս կարելի է խոսել ժամանակի ոչ թե անվերջ փոքր միջակայքի (ոչ թե նրա անսահման փոքրացման մասին), այլ այնպիսի փոքր միջակայքի մասին, որի սահմաններում արագության փոփոխությունը կարելի է անտեսել սարքետն այլեւս դրան չեն արձագանքում: Այսպիսով , բնական սահման է դրվում ակնթարթային արագության ավելի ու ավելի ճիշտ որոշելու ձգտմանը:

Արագացումը, այնպես ինչպես արագությունը, աշակերտներին պետք է ներկայացվի իբրեւ ընդհանրացված, շարժման բոլոր տեսակետների համար իմաստ ունեցող հասկացություն: Ուղղագից շարժման դեպքում արագության փոփոխությունն ունի արագության կամ դրան հակառակ ուղղությունը: Այդ պատճարով արագության եւ որոշ ժամանակահատվածում արագության փոփոխությունների գումարման դեպքում արագացման վեկտորական բնույթը չի դրսեւորվում: Այն դեպքերին, երբ արագացումն ուղղված է արագության նկատմամբ անկյան տակ, աշակերտները ծանոթամում են կորագիծ շարժումներն ուսումնասիրելիս: Բայց քանի որ կորագիծ շարժումները կինեմատիկայում էլ է ուսումնասիրվում , ապա արագացման վեկտորական բնույթն աշակերտների համար արդեն բավարար չափով պարզ է դառնում նախքան դինամիկայի ուսումնասիրմանն անցնելն: Դա զգալիորեն հեշտացնում է հետագայում այն բանի յուրացումը, որ ըստ ուղղության միշտ համընկնում են ուժը եւ արագացումը, ինչպես հաճախ սխալ են պատկերացնում աշակերտները:

Փոփոխական շատժման միջին արագացումից բացի, մտցվում ե ակնթարթային արագացման հասկացությունը: Աշակերտները պետք է հասկանան ,որ արագացումը շարժման ժամանակ կարող է փոփոխվել: Դա կհեշտացնի կենտրոնաձիք արագացման հասկացության յուրացումը: Ակնթարթային արագացման հասկացությունը խիստ անհրաժեշտ կլինի նաեւհետագայում տատանողական շարժունմ ուսումնասիրելիս:Ակնթարթային արագացման հասկացությունը ներմուծելու մեթոդիկաննույնն է, ինչ եւ ակնթարթային արագությանը: Բացատրում են, որ - ն միջին արագացումն է t ժամանակի ընթացքում: Միջին արագացումը շատ փոքր ժամանակահատվածի ընթացքում կոչվում է ակնթարթային արագացում ճանապարհի այն մասում, որտեղ մարմինը գտնվում է դիտարկվող կարճ ժամանակահատվածում: «Փոքր ժամանակահատվածի» մասին հասկացությունը տրվում է նույն շարադրանքով,ինչպես վերը բացատրվել էր:

3.Կինեմատիկական հիմնական հասկացությունների ուսումնասիրումը

Հաշվարկման համակարգ: կոորդինատներ: Ինչպես արդէն նշվել է, առաջին հասկացությունները, որոնց աշակերտները պետխ է տիրապետեն կինեմատիկան ուսումնասիրելիս, «Հաշվարկման համակարգը» և «կետի կոորդինատներն են»:

Ժամանակի ցանկացած պահին նյութական կետի դիրքը հաշվարկման ընտրվածհամակարգի նկատմամբ որոշող կոորդինատների մասինհասկացության ձևավորումն առանձնահատուկ նշանակութձուն է ձեռք բերում այն պատճառով, որ շարժման կինեմատիկական հավասարումներն իրենցից ներկայացնում են կոորդինատների կախումը ժամանակից:

Տարածության մեջ մարմնի դիրքի, այսինքն նրա 3 կոորդինատների փոփոխությունը նպատակահարմար է լուսաբանել շարժման կոնկրետ որինակի վրա, այն իրականացվում է սալյակավոր կռունկի օգնությամբ: Դրանից հետո հարկավոր է անգմել մարմնի այնպիսի շարժմանը, որի դեպքում փոփոխվում են միայն 2 կոորդինատները և վերջապես ուղիղ գծով շարժմանը, երբ կետի դիրքը որոշվում է ընդամենը մեկ կոորդինատով:

Որպիսզի աշակերտները յուրցնեն մարմնի դիրքը նրա կոորդինատներով որոշելու եղանակը, կարելի է նրանց առաջարկել սևեռել շարժվող որևէ մարմնի մի քանի տարբեր դիրքեր և այդ դեպքում որոշել նրա կոորդինատները հաշվարկման ընտրված համակարգի նկատմամբ:

Շարժվող մարմին կարող է լինել կավիճը, որը տեղաշարժում են գրատախտակի վրայով կամ օդի բշտիկը, որը տեղաշարժվում է հեղուկով լցված ապակե երկար խողովակում:

Տեղափոխություն: տեղափոխության հասկացությունն առաջին անգամ մտցվել է 8-րդ դասարանի ֆիզիկայի դասընթացում:Ընդ որում ճանապարհի երկարությունը մտցվում է իբրև էապես դրական մեծություն, որը շարժման պրոցեսում միայն աճում է:

Ներմուծելով տեղափոխուտյան հասկացությունը, անհրաժեշտ է այն հստակորեն սահմանազատել ճանապարհի երկարության հասկացությունից:

Ինչպես հայտնի է, տեղափոխությունէ կոչվում վեկտորը, որը միցնում է շարժվող մարմնի նախորդ՝ ա դիրքը հաջորդ՝ բ դիրքի հետ, մինչդեռ Lճանապարհը մարմնի շարժման հետագծի հատվածի երկարությունն է:

Տեղափոխության հասկացությունիցեն սկսում են վեկտորական մեծությունների և դրանցով կատարվող գործողությունների ուսումնասիրումը: Վեկտորների գումարման կանոնն առանձնապես ակնառու կերպով կարող է ներկայացնել հենց տեղափոխությունների գումարման միջոցով: Աշակերտների համար արաջին անգամ երևան են գալիս վեկտորական մեծությունների գումարման եռանկյան կանոնը կամ համառժեք զուգահեռագծի կանոնը:Կարևոր է ընդգծել, որ վեկտորական մեծությունների առանձնահատկությունը, ի տարբերություն սկալյար մեծությունների, հենց այն է, որ նրանք գումարվում են երկրաչափորեն:

Որպեսզի աշակերտները լավ յուրացնեն «ճանապարհ» և «տեղափոխություն» հասկացությունները,անհրաժեշտ են վարժություններ այդ հասկացությունների սահմանազատման վերաբերյալ:

Արագություն:Արագության հասկացութձունը, իբրև շարժման կարևորագույն բնութագրի, աշակերտները ծանոթ են ֆիզիկայի դասընթացի առաջին աստիճանից: Սակայն 8-րդ դասարանում այդ հասկացությունը ճշգրտվում և զարգացվում է:

Արագության վեկտորական բնույթն անմիջապես բխում է նրանից, որ տեղափոխությունը վեկտոր է: 8-րդ դասարանում արագությունը որոշվում է իբրևտեղափոխության հարաբերությունն այն ժամանակին, որի ընթացքում կատարվել է տեղափոխությունը: Հենց տեղափոխությանվեկտորի հարաբերությունը ժամանակին և ոչ թե ճանապրհի սկալյար մեծության հարաբերությունը ժամանակին, ինչպես հաճախ որոշվել է արագությունը միջնակարգ դպրոցի դասագրքերում:Լուսաբանելու համար, որ հավասարաչափ ուղղագիծ շարժվելիս մարմինը ժամանակի ցանկացած հավասար միջակայքում միտեսակ տեղափոխություն է կատարում , անհրաժեշտ է փորձեր ցույց տալ շարժումների գրառման վերաբերյալ:Հավասարաչափ շարժման գրարումը կարելի է իրականացնել տարբեր հարմարանքների օգնությամբ: