"Математический бильярд"

Математический бильярд

Работу выполнил

студент группы Э-2-22 Мельчиков Денис Романович

Руководитель - преподаватель математики Демьянова С.В.

БИЛЬЯРД

• интереснейшая интеллектуальная игра и в то же время прекрасный вид спорта, который вырабатывает у человека такие важные качества характера,

как психологическая устойчивость,

выдержка, умение сосредоточиться .

Алгоритм решения задач на переливание методом математического бильярда.

• 1. Построить геометрическую фигуру, зависимости от количества сосудов.
• 2. На сторонах параллелограмма отме тить точки по количеству литров в сосудах и пронумеровываем их.
• 3. Пос трои ть равно сторонние треугольники.
• 4. Построить и заполнить таблицу.
• 5. Записа ть результаты.

Правила

В задачах на переливания требуется указать последовательность действий, при которой осуществляется требуемое переливание и выполнены все условия задачи. Если не сказано ничего другого, считается, что

·            все сосуды без делений

·            нельзя переливать жидкости "на глаз"

·            невозможно ниоткуда добавлять жидкости и никуда сливать.

• Переливать можно только полностью всю жидкость, или столько, сколько влезает в сосуд;
• Выливать жидкость вне сосуда нельзя;
• Наливать жидкость извне нельзя.

Задача

• Дядя Федор собрался ехать к родителям в гости и попросил у кота Матроскина 4 л простоквашинского молока. А у Матроскина только 2 пустых бидона: трехлитровый и пятилитровый и восьмилитровое ведро, наполненное молоком. Как Матроскину отлить 4 литра молока с помощью имеющихся сосудов?

Для решения задачи будем вычерчивать бильярдную траекторию шара, отражающегося от бортов ромбического стола!

Границы таких столов удобнее всего нарисовать с помощью одинаковых равносторонних треугольников. В рассматриваемой задаче стороны стола должны иметь длины 3 и 5 единиц (объемы пустых сосудов) .

3

2

1

0

1

2

3

4

5

По горизонтали отложено количество воды в 5-литровом сосуде в любой момент времени, а по вертикали — та же величина для 3-литрового сосуда.

Представьте себе, что шар находится в левой нижней вершине в точке 0.

Он будет перемещаться вдоль нижнего основания ромба до тех пор, пока не достигнет правой боковой стороны в точке 5. Это означает, что 5-литровый сосуд наполнен до краев, а 3-литровый пуст.

3

2

1

0

2

3

4

5

1

5л

3л

5

8 л

0

3

Отразившись упруго от правого борта, шар покатится вверх и влево и ударится о верхний борт в точке с координатами 2 по горизонтали и 3 по вертикали. Это означает, что в 5-литровом сосуде осталось всего 2 литра молока, а 3 литра из него перелили в меньший сосуд.

3

2

1

0

1

2

3

4

5

5л

3л

5

8 л

2

0

3

3

3

Отразившись упруго от верхнего борта, шар покатится вниз и влево и ударится о нижний борт в точке с координатами 2 по горизонтали и 0 по вертикали. Это означает, что в 5-литровом сосуде осталось 2 литра молока, а из 3 литрового сосуда перелили молоко в 8 литровый сосуд.

3

2

1

0

1

5

3

2

4

5л

3л

5

8 л

2

0

3

2

3

0

3

6

Отразившись упруго от нижнего борта, шар покатится вверх и влево и ударится о левый борт в точке с координатами 0 по горизонтали и 2 по вертикали. Это означает, из 5-литрового сосуда вылили молоко 2 литра, в 3 литровый сосуд.

3

2

1

0

3

5

2

1

4

5л

3л

5

8 л

2

0

2

3

3

0

0

3

2

6

6

Отразившись упруго от левого борта, шар покатится вправо и ударится о правый борт в точке с координатами 5 по горизонтали и 2 по вертикали. Это означает, в 5-литровый сосуд налили 5 литров молока, а в 3 литровый сосуде осталось 2 литра.

3

2

1

0

4

5

2

1

3

5л

3л

5

8 л

2

0

2

3

3

3

0

0

2

6

5

6

2

1

Отразившись упруго от правого борта, шар покатится вверх и влево и ударится о верхний борт в точке с координатами 4 по горизонтали и 3 по вертикали. Это означает, из 5-литрового сосуда вылили 1 литр молока в 3 литровый сосуд, где стало 3 литра, а в 5-литровом осталось 4 литра.

4

3

2

1

0

4

5

3

2

1

5л

3л

5

2

8 л

0

2

3

3

0

0

3

2

6

5

2

4

6

3

1

1

Задача решена.

В пятилитровом бидоне 4 л молока.

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ

• В фильме "Крепкий орешек 3: Возмездие", чтобы обезвредить бомбу Брюсу Уиллису необходимо было решить головоломку с переливанием. До взрыва бомбы остается 2 минуты... В распоряжении у него 5-ти литровая и 3-х литровая бутылки и фонтан с водой. Чтобы обезвредить бомбу нужно положить на весы ровно 4 литра воды (4 кг), если больше или меньше, то бомба взорвется.
• Какие переливания нужно совершить Брюсу Уиллису, чтобы обезвредить бомбу?

ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ

«Имеются три бочонка: 16, 11 и 6 - ведёрные. 16 - ведёрный бочонок полон, 11 и 6 - ведёрные пусты. Требуется разделить квас поровну, используя только эти бочонки».

ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ

Капитан Немо плавал на своей подводной лодке «Наутилус» в Индийском океане. И вдруг на него нападают пираты и пробивают отсек лодки который должен заполнять балласт водой для погружения. Матросам нужно заполнить балласт водой вручную, как можно быстрее имея 10 тыс. и 6 тыс. бочки. А объём балласта 8 тыс. литров.

ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ

«Задаю тебе последнюю задачу, - сказала принцесса Иванушке»,- найдешь решение -выйду за тебя замуж.

Задача: У тебя три бочонка: 6-ти ведерный, 3-х ведерный и 4-х ведерный. Налей мне литр кваса из батюшкиных запасов.

ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ

На водонапорной башне в деревни 50 литров воды. Бабке Матрене нужно 8 литров воды для того чтобы сварить суп. Как водопроводчику с помощью 10 литровой бочки 4 литровым ведром отмерить 8 литров воды?

ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ

Кот Матроскин собрался съездить в гости к коту Леопольду и взять с собой 4 л молока. Но Шарик разбил мерный стакан, а у Матроскина только 2 пустых бочонка: трехлитровый и пятилитровый. И восьмилитровое ведро, наполненное молоком от любимой коровки. Как Матроскину отмерить 4 литра молока с помощью этих сосудов?

Условие разрешимости задач

• Если объемы двух меньших сосудов не имеют общего делителя (т. е. взаимно просты), а объем третьего сосуда больше или равен сумме объемов двух меньших, то с помощью этих трех сосудов можно отмерить любое целое число литров, начиная с 1 литра и кончая объемом среднего сосуда.
• Такая процедура невозможна, если объемы двух меньших сосудов имеют общий делитель. Так как в этом случае шар будет двигаться по одной и той же траектории.

Бильярд - в круге

Простейшая ограниченная выпуклая область с криволинейной границей на плоскости — круг.

Проблема бильярда в круге поддается полному исследованию.

Шар в круглом бильярде без луз

Рассмотрим шар в круге Q , ограниченном окружностью Г . Его траекториями являются вписанные в Г ломаные Po, Р1, Р2, Р3, Р4 .., обладающие свойством равенства в точках, Р1,Р2,Р3 .. углов падения и отражения, отсчитываемых от касательных или от радиусов. Из этого свойства следует, во-первых, что все звенья траектории равные между собой равны ; и во-вторых, что равны опирающиеся на них центральные углы.

Шар в круглом бильярде без луз

Шар в круглом бильярде без луз

Свойство:

любая бильярдная траектория в круге никогда не заходит внутрь некоторого концентрического круга, границы которого касаются всех ее звеньев.

Шар в круглом бильярде без луз

Получается, что вид бильярдной траектории в круге определяется числом α . А именно:

(а) если число α соизмеримо с π , т. е. α/ π является рациональным числом, то бильярдная траектория периодична;

(б) если α и π несоизмеримы, т. е. число иррационально, то отвечающая углу α траектория непериодична.

Метод математического бильярда

Впервые о математическом базисе бильярдной игры заговорил известный физик Гаспар Густав Кориолис в своей книге "Математическая теория явлений бильярдной игры" 1835-го года. Он использовал в своей работе элементы теории вероятностей, теории пределов и общего анализа.

Результаты исследований математиков Штайнхауза и Гарднера.

Для этого должен быть прямоугольный бильярдный стол с одними лишь угловыми лузами и целочисленными сторонами m и n (m, n - взаимно просты и обозначают ширину и длину бильярдного стола ). Шар, посланный из одной угловой лузы в другую под углом 45 градусов попадёт в другую лузу после m+n-2 касаний борта.

Результаты исследований математиков Штайнхауза и Гарднера.

На практике рассмотриваются только первых два случая, а именно:

1. Когда шар попадёт в лузу после одного касания о борт стола;

2. Когда шар попадёт

в лузу после трех

касаний о борт стола.

Применение математического бильярда

на практике

Законы о преломлении и отражении лучей из курса физики дают возможность проверить теорию математического бильярда.

Применение математического бильярда

на практике

Вместо бильярдного стола - небольшие коробочки соответствующих размеров исследований Штайнхауса и Гарднера. Вместо шара - обычный лазер и лазерный луч, отражавшийся от зеркал, т.к. зеркало- то место, где лазерный луч, т.е. шар должен касаться о борт стола. Зеркала должны стоять ровно перпендикулярно к коробочке.

Случай № 1

Случай № 2

Применение математического бильярда

на практике

Опираясь на данное правило и результат Штайнхауса и Гарднера, было определено, что действительно лазерный луч, т.е. шар, посланный из одной угловой лузы в другую под углом 45 градусов, попадёт в другую лузу после m+n-2 попаданий в зеркало, т.е. касаний о борт стола (коробочки).

Выводы

1. Метод математического бильярда возможен,

требует повышенного внимания и точных расчетов приложенной силы удара и необходим для игроков;

2. Применение рассмотренных методов решения задач позволяют повысить уровень игры;

3. Игра в бильярд интересна, но сложна и не допускает погрешностей.

спасибо за внимание!!!