России, Махачкала
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Был в сети 01.11.2020 04:25
Мужаидов Нурмагомед Магомедзагирович
Информационные системы (по отраслям)
5 лет
3 375
17 686 
Местоположение
Специализация
Математика.(12)СПО
Категория:
Математика
07.12.2019 12:42
Просмотр содержимого документа
«Математика.(12)СПО»
Тождественные преобразования алгебраических выражений
Комментарий. Задания на тождественные преобразования алгебраических выражений часто встречаются в вариантах экзаменов, проводимых в форме ЕГЭ как в качестве отдельных заданий, так и в качестве компонентов заданий (например, при решении алгебраических уравнений и неравенств). Для их выполнения требуется умение применять формулы сокращенного умножения, разложения квадратного трехчлена на множители и знать определения и свойства степеней, уметь выделять полный квадрат.
Формулы для справок
Действия с дробями:
| Сложение | Вычитание | Умножение | Деление |
|
|
|
|
|
Перестановка членов пропорции:
|
|
|
|
|
Производные пропорции
Дана пропорция 
, справедливы следующие пропорции:
|
|
|
Формулы сокращенного умножения:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| где x1 и x2 — корни уравнения |
|
Формулы корней квадратного уравнения:
|
| ||
| D 0 | D = 0 | D |
|
|
| Среди действительных чисел корней нет |
Формулы корней приведенного квадратного уравнения:
|
| ||
| D0 0 | D0 = 0 | D0 |
|
|
| Среди действительных чисел корней нет |
Теорема Виета
. В приведенном квадратном уравнении 
сумма корней равна коэффициенту при x, взятому с противоположным знаком, а их произведение — свободному члену:
Если задано квадратное уравнение в общем виде 
, то делением уравнения на можно свести к приведенному, где , 
Действия со степенями:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При работе с модулями используют различные свойства модулей, например:
|
|
|
|
|
|
Действия с корнями (корни предполагаются арифметическими):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства числовых неравенств
|
| пусть c 0, тогда |
|
|
|
|
|
|
| пусть a 0 b 0, тогда |
|
|
|
|
|
и 
Пояснения
Алгебраическим выражением называется выражение, в котором числа и буквы соединены действиями сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень или извлечения арифметического корня.
Равенство, обе части которого принимают одинаковые числовые значения при любых допустимых значениях входящих в него букв, называется тождеством .
Например, каждая из формул сокращенного умножения представляет собой тождество, ибо левая и правая части каждого из равенств:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равны друг другу при любых значениях a и b. При этом одно выражение преобразуется в другое, ему тождественно равное.
При выполнении тождественных преобразований алгебраических выражений необходимо знать порядок выполнения действий, действия с дробями и степенными выражениями, формулы сокращенного умножения и др.
Следует иметь в виду, что при тождественных преобразованиях остаются неизменными:
1) величина допустимых изменений буквенных величин;
2) область допустимых значений каждой из буквенных величин.
Первое из этих требований является обязательным при всех преобразованиях, имеющих целью упрощение выражения или приведение его к нужному виду. Если надо, например, дополнить квадратный трехчлен 
до полного квадрата, то, прибавив к нему число 9, необходимо такое же число и вычесть, т.е.:
Тождественные преобразования последнего выражения можно продолжить и привести исходное выражение к произведению двучленов:
Второе требование — неизменность областей допустимых значений — не всегда выполняется при обычно применяемых нами преобразованиях. Сократив, например, дробь 
на разность a - 1 и написав равенство 
, мы замечаем, что нарушено второе требование, которому должно удовлетворять тождественное преобразование: правая часть равенства имеет смысл при любых значениях , а левая только при условии, что a ≠ 1, т.е. произошло изменение области допустимых значений величины a. Следовательно, преобразование в данном случае не является тождественным.
Однако это не значит, что мы должны отказываться от таких преобразований, которые изменяют области допустимых значений величин. Напротив, мы ими часто пользуемся и при упрощении выражений и при решении уравнений. Нужно только при каждом таком преобразовании указать, как изменились области допустимых значений буквенных величин.
Порядок выполнения действий:
1) действия с одночленами;
2) действия в скобках;
3) умножение или деление (в порядке появления);
4) сложение или вычитание (в порядке появления).
Обыкновенная дробь — число вида 
; a — целое число, b — натуральное число. Две дроби равны, если a ∙ d = b ∙ c. Основное свойство дробей: 
, где c — любое отличное от нуля действительное число.
В пропорции a и d — крайние члены, b и c — средние члены.
Основное свойство пропорции: a ∙ d = b ∙ c (в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов).
Модуль (абсолютное значение) действительного числа a обозначается символом 
. По определению модуль действительного числа a является неотрицательным числом:
При действиях с радикалами следует иметь в виду, что правила, по которым они выполняются, безоговорочно верны лишь для арифметических корней. По определению корень 
называется арифметическим лишь в том случае, если число a положительно или равно нулю, а также положительна или равна нулю и величина самого корня. Если этого не учитывать, то можно допустить ошибку. Например, равенство 
верно лишь при условии, что x ≥ 0. При x нужно писать так:
Аналогично равенство 
верно лишь в случае, если a ≥ b. При a оно неверно и нужно писать 
. Оба случая можно охватить такой записью: 
.
Пример 1.1.
Упростите выражение 
.
Решение
Применим свойства степеней (умножение степеней с одинаковым основанием и деление степеней с одинаковым основанием): 
.
Ответ: 
Пример 1.2.
Сократив дробь 
вычислите ее значение, если 
.
Решение
Для того чтобы сократить дробь, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель этой дроби. Данное тождественное преобразование можно сделать разными способами.
Способ 1
Попробуем выполнить группировку в числителе, записав его следующим образом:
3m2 - 3mn + mn - n2 = 3m(m - n) + n(m - n) = (3m + n)(m - n).
Способ 2
Составим и решим уравнение 3m2 — 2mn — n2 = 0 как квадратное уравнение относительно m, считая n параметром.
Получаем, что:
Тогда
Аналогично разложим на множители знаменатель дроби:
6m2 - 7mn + n2 = (6m - n)(m - n).
Следовательно, есть возможность сокращения дроби на множитель (m - n), т.е.:
.
Из условия следует, что 
(воспользовались свойством пропорции). Значит, 
.
Ответ:
Комментарий. При тождественных преобразованиях иррациональных выражений в ряде случаев удобно выполнить замену переменных таким образом, чтобы для новых переменных получить рациональное выражение (другими словами, исключить иррациональность). При этом лучше просматриваются возможности для применения формул сокращенного умножения и другие способы упрощения рассматриваемого выражения.
Пример 1.3.
Сократите дробь: 
.
Решение
Так как дробь содержит выражения 
целесообразно выполнить замену переменных следующим образом:
Тогда, воспользовавшись формулой «разность квадратов» и сократив дробь, получаем:
Следует отметить, что другие варианты замены переменных, например, 
или 
не приводят к получение рационального выражения.
Ответ:
Комментарий. В выражениях, содержащих двойную иррациональность (корень из иррационального выражения) бывает полезным представление подкоренного выражения в виде полного квадрата (выделение полного квадрата). При этом используется формулы «квадрат суммы» или «квадрат разности». Подбор первого и второго слагаемого следует выполнять, ориентируясь на предполагаемое удвоенное произведение первого слагаемого на второе.
Пример 1.4.
Найдите значение выражения:
Решение
Этап 1
Преобразуем знаменатель:
8 = 5 + 3, 15 = 5 ∙ 3,
поэтому 
, то есть 
.
Следуя несколько иной логике, можно рассмотреть число 
в качестве возможного удвоенного произведения первого слагаемого на второе. Далее, используя свойство квадратного арифметического корня, представим его в виде произведения 
. Таким образом, получаем, что:
,
т.к. 
.
Этап 2
Раскроем скобки в числителе дроби:
.
Учитывая, что 150 = 25 ∙ 6, 90 = 9 ∙ 10, получаем следующее:
.
Далее приведем подобные слагаемые (первое и последнее, второе и третье), и, помня, что наша цель — разложить знаменатель дроби на множители для ее сокращения, вынесем за скобку множитель 
:
Тогда:
Заметим, что подкоренное выражение в знаменателе можно было записать и как 
, но 
а 
поэтому 
.
Ответ:
Пример 1.5.
Укажите все номера целых чисел данного множества:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
.
Решение
Упростим запись каждого из данных чисел.
Воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем, получаем 
. Далее, выполним умножение показателей степеней для возведения степени в степень, 
. Так как целыми числами называются натуральные числа, им противоположенные и ноль, получаем, что число под номером 1 — целое.
Преобразуем выражение 
, используя выделение полного квадрата из выражения под знаком корня.
Видно, что число 
следует представить в виде произведения множителей 2, 3 и . Можно проверить, что другие способы разложения числа на множители не приводят к выделению полного квадрата (например, 2, 
, 1).
Таким образом, получаем, что 
.
Следовательно:
Для дальнейшего упрощения воспользуемся формулой «разность квадратов»:
— целое число.
Для преобразования выражения сначала исключим иррациональность из знаменателя первого слагаемого, умножив числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное к знаменателю:
Следовательно, — не является целым числом.
Выполним переход к одинаковому основанию 2 и запишем кубический корень в виде степени:
Далее для деления степеней с одинаковым основанием, вычислим разность показателей:
Выделим целую часть дроби, полученной в показателе 
, и запишем результат тождественных преобразований в виде произведения:
Таким образом, выражение под номером четыре — не целое число.
Представим основание в виде степени числа 4, тогда:
Используя правило возведения степени в степень, следует записать 
— целое число.
Ответ:
В экзаменах традиционной формы задачи на упрощение встречаются редко, но подобные навыки могут пригодиться и при решении заданий, сформулированных иначе.
Пример 1.6.
Найдите наименьшее значение выражения:
5x2 + 2y2 - 4xy - 4x - 8y + 19.
Представим формулу, задающую функцию, в виде выражения, в которое входят суммы полных квадратов:
5x2 + 2y2 - 4xy - 4x - 8y + 19 = (4х2 - 4ху + у2 ) + (х2 - 4х + 4) + (у2 - 8у + 16) - 1 = (2х - у)2 + (х - 2)2 + (у - 4)2 - 1.
Вспомним, что наименьшее значение квадрата любого выражения равно нулю. Следовательно, наименьшее значение каждого из первых трех слагаемых равно нулю, причем все они обращаются в 0 при х = 2 и у = 4. Таким образом, наименьшее значение функции равно -1 и достигается в точке (2; 4).
Ответ:
Пример 1.7.
Вычислить: .
Решение
Указанные действия следует выполнять, не пользуясь микрокалькулятором, не делая округлений и приближенных вычислений, так как предполагается, что все заданные числа являются точными.
Будем выполнять вычисления по действиям:
1) ;
2) ;
3) ;
4) 
.
Таким образом:
Ответ:
Пример 1.8.
Упростите выражение: 
при 
, a ≠ b и ab 0.
Решение
Покажем прежде, что при заданном условии все подкоренные выражения положительны:
,
Поскольку a – b ≠ 0, то (a – b)2 0; ab 0 по условию.
Следовательно, дробь 
положительна, т.е. x – 1 0, а, значит, и x + 1 0.
Теперь перейдем к упрощению заданного выражения. Освободимся от иррациональности в знаменателе:
Подставляя значение 
, получим:
По условию ab 0, значит, 
, поэтому 
Рассмотрим оба возможных случая:
1) если a2 b2 , другими словами, 
, то 
и 
;
2) если a2 2 , другими словами 
, то 
и 
.
Ответ.
Пример 1.9.
Сократите дробь:
.
Решение
С целью сокращения дроби разложим числитель и знаменатель на множители. Корни числителя x1 = 1; x2 = 4, поэтому имеем:
x2 – 5x + 4 = (x – 1) ∙ (x – 4).
Чтобы разложить знаменатель на множители, применим метод группировки:
x3 – x – 4x2 + 4 = (x3 – x) – (4x2 – 4) = x (x2 – 1) – 4 (x2 – 1) = (x2 – 1) (x – 4) = (x – 1) (x + 1) (x – 4).
Тогда при x ≠ 1, x ≠ -1, x ≠ 4 будем иметь:
Ответ:
Пример 1.10.
Пользуясь теоремой Виета, вычислить 
, где x1 и x2 — корни уравнения 2x2 + 6x + 1 = 0.
Решение
Преобразуем исходное выражение в дробь 
. Числитель данного выражения может быть разложен, как сумма кубов двух выражений: 
. Выполним тождественные преобразования:
.
Воспользуемся теоремой Виета. Для начала убедимся, что дискриминант квадратного трехчлена 2x2 + 6x + 1 больше нуля.
Действительно, D = 62 – 4 ∙ 2 ∙ 1 = 36 – 8 = 28 0. Следовательно, у уравнения 2x2 + 6x + 1 = 0 имеются два действительных корня, и теорема Виета может быть применена.
Таким образом, 
, и 
. Поэтому, имеем:
.
Ответ:
Тождественные преобразования тригонометрических выражений
Комментарий. Цель данного раздела — проработать выполнение заданий на тождественные преобразования тригонометрических выражений, поскольку они встречаются в ЕГЭ как в качестве отдельных заданий, так и используются для решения тригонометрический уравнений и неравенств, а так же комбинированных заданий. Для решения задач на упрощение тригонометрических выражений требуется достаточно хорошо знать правила преобразования алгебраических выражений и тригонометрические формулы (уметь применять их как по одной, так и в комплексе).
Основные формулы тригонометрии
Перевод градусной меры угла в радианную и обратно.
Пусть α — градусная мера угла, β — радианная, тогда справедливы формулы:
|
|
|
Формулы зависимости между функциями одного и того же аргумента:
| 1. |
| 4. |
|
| 2. |
| 5. |
|
| 3. |
| 6. |
|
Формулы сложения.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формулы двойных и половинных углов.
| 1. |
| 5. |
|
| 2. |
| 6. |
|
| 3. |
| 7. |
|
| 4. |
| 8. |
|
Формулы преобразования суммы в произведение:
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
Формулы преобразования произведения в сумму:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формулы приведения:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| sin φ | - sin α | cos α | cos α | sin α | - sin α | - cos α | - cos α | - sin α | sin α |
| cos φ | cos α | sin α | - sin α | - cos α | - cos α | - sin α | sin α | cos α | cos α |
| tg φ | - tg α | ctg α | - ctg α | - tg α | tg α | ctg α | - ctg α | - tg α | tg α |
| ctg φ | - ctg α | tg α | - tg α | - ctg α | ctg α | tg α | - tg α | - ctg α | ctg α |
Рассмотрим сначала достаточно простые задания на применение формул тригонометрии.
Пример 2.1.
Вычислить значение sin α, если cos α = 0,3, α — угол в первой четверти.
Решение
Применим основное тригонометрическое тождество, связывающее тригонометрические функции 
.
Так как по условию задачи cos α = 0,3, то cos2α = 0,09. Значит, sin2α + 0,09 = 1, sin2α = 1 – 0,09 = 0,91. Решая уравнение sin2α = 0,91, получаем два случая (
), из которых, обращая внимание на то, какой четверти принадлежит искомый угол, следует выбрать один. Вспомним, что в первой четверти все тригонометрические функции имеют знак «+». Следовательно, 
.
Ответ:
Пример 2.2.
Вычислите значение tg α, если ctg α = 0,2.
Решение
Воспользуемся формулой, связывающей тригонометрические функции y = tg α, y = ctg α : tg α ∙ ctg α = 1. Подставляя заданное в условии значение 0,2, получаем, что tg α ∙ 0,2 = 1, откуда tg α = 5.
Ответ:
Пример 2.3.
Упростите выражения;
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
;
6) 
;
Решение
Данные задания — на применение формул сложения.
1) 
. Обратимся далее к таблице значений тригонометрических функций. Получаем, что 
.
2) .
3) Воспользуемся формулой «косинус суммы», тогда .
4) 
.
5) Применим формулу «тангенс суммы», получим .
6) .
Ответ:
Пример 2.4.
Вычислите:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
.
Решение
1) Воспользуемся свойством периодичности функции y = sin x, тогда 
.
2) Так как период функции y = tg x равен π, получаем: 
.
3) Представим 75° в виде суммы двух «удобных» слагаемых: 75° = 45° + 30°. Следовательно, 
. Обратимся к табличным значениям тригонометрических функций, получим: .
4) . Окончательно получаем, что .
5) Для вычисления значения cos 15° представим 15° как 15° = 45° - 30° (или 15° = 60° - 45°). Тогда . Обратимся далее к табличным значениям тригонометрических функций. Получаем, что . Cледовательно, .
Ответ:
Отдельную группу заданий этого типа составляют задания на вычисление одних тригонометрических функций по известным другим.
Пример 2.5.
Известно, что sin α – cos α = 0,3. Найти:
1) sin2α ;
2) sin4α + cos4α ;
3) sin6α + cos6α .
Решение
1) Возведем в квадрат обе части заданного в условии примера равенства и используем формулу «квадрат разности», получаем, что:
sin2α - 2sinα cosα + cos2α = 0,09.
Вспомним основное тригонометрическое тождество и применим формулу синуса двойного угла:
1 - sin2α = 0,09, откуда:
sin2α = 1 - 0,09 = 0,91.
2) Воспользуемся полученным результатом для ответа на вопрос 2.
Для этого сумму sin4α + cos4α представим в специальном виде:
sin4α + cos4α = (sin4α + 2sin2α cos2α + cos4α ) — 2sin2α cos2α = (sin2α + cos2α )2 - 1/2 ∙ sin2 2α = 1 - 1/2 ∙ 0,91 = 0,545.
Комментарий. Специальный вид, использованный при решении данного примера, позволяет применить формулу «квадрат суммы» и использовать результат, полученный в пункте 1. При последующих преобразованиях использована формула синуса двойного угла.
3) Обратим внимание, что для вычисления значения выражение sin6α + cos6α можно представить в виде суммы кубов.
sin6α + cos6α = (sin2α )3 + (cos2α )3 = (sin2α + cos2α )(sin4α - sin2α cos2α + cos4α ) = 1 ∙ (0,545 – 1/4 ∙ 0,91) = 0,3175.
Ответ:
Пример 2.6.
Найти tgα, если 
Решение
Проверкой можно убедиться, что при cos α = 0 приведенное равенство неверно. Поэтому следует разделить числитель и знаменатель дроби на cos α (на основании основного свойства дроби):
, следовательно, 
тогда:
раскрывая скобки, приведем далее подобные слагаемые:
3tgα + 4 = 5tgα - 10, 2tgα = 14, получаем, что tgα = 7.
Ответ:
Пример 2.7.
Вычислить cos α, если cos2α = 3/4 и 
Решение
Как известно, 
. Выясним, в каких пределах лежит угол α и какой знак при этом имеет его косинус. Преобразуем заданное в условии задачи двойное неравенство. Разделив одновременно все три части двойного неравенства на 2, получим:
, то есть угол α располагается во второй четверти и, следовательно, cos α
В приведенной выше формуле выберем знак «минус»:
Ответ:
Комментарий. Следующая группа заданий — вычисление значений различных тригонометрических выражений с использованием тригонометрических формул.
Пример 2.8.
Найти значение выражения: .
Выполним упрощение каждой дроби по отдельности.
С целью сокращения дроби 
воспользуемся формулой «разность кубов» и получим:
.
Рассмотрим далее выражение 
. Нужно заметить, что первое третье слагаемые в сумме дают единицу в силу основного тригонометрического тождества. Таким образом:
.
Обратимся далее к преобразованию второй дроби. Применим одну из формул приведения: 
. Поэтому:
Тогда .
Окончательно получаем:
Ответ:
Пример 2.9.
Вычислить sin10° sin30° sin50° sin70°.
Используем формулу преобразования произведения тригонометрических функций в сумму: sin10° sin50° = 1/2 (cos40° - cos60°) = 1/2 cos 40° - 1/4. Подставим в первоначальное произведение это выражение и учтем, что sin30° = 1/2, получаем:
Ответ:
Комментарий. Для выполнения аналогичных заданий необходимо знание не только тригонометрических формул, но и табличных значений тригонометрических функций.
Рассмотрим далее примеры упрощения тригонометрических выражений с произвольным аргументом.
Пример 2.10.
Упростить выражение: 
.
Так как числитель заданной дроби имеем достаточно простой вид, начнем с упрощения знаменателя. Для этого применим представление 
:
.
Приведем полученную разность дробей к общему знаменателю:
.
Следовательно,
Ответ:
Пример 2.11.
Доказать тождество при
Комментарий. Задания на доказательство тождеств вполне можно воспринимать как задания на упрощение выражений, причем с готовым ответом в виде более простой и компактной части равенства.
Решение
В частности, в данном примере попробуем упростить левую часть, чтобы получить такое же выражение, как справа. Для этого помножим числитель и знаменатель подкоренного выражения на 1 + sin α:
.
Вспомнив, что 
, получаем 
Исследуем далее знак числителя и знаменателя подмодульного выражения:
sin α ≥ -1, тогда 1 + sin α ≥ 0 поэтому 
;
при 
следовательно, 
Таким образом:
Аналогичным образом преобразуем второе слагаемое левой части:
Тогда ,
что и требовалось доказать.
Пример 2.12.
Найти значение следующих тригонометрических выражений: sin 2α, cos 2α, tg 2α, если 
.
Решение
Выпишем формулы для вычисления искомых функций:
.
Из основного тригонометрического тождества вычислим:
Далее найдем значения искомых выражений:
Ответ:
Пример 2.13.
Доказать тождество .
Решение
Приведем левую часть к 1:
.
Тождество доказано.
Пример 2.14.
Вычислить значение выражения:
.
Решение
Обратим вниманием, что
Далее, используя формулы приведения, получим:
Воспользуемся табличными значениями и свойствами тригонометрических функций:
Итак, значение выражения равно 0.
Ответ:
Комментарий. Для выполнения заданий, связанных с обратными тригонометрическими функциями, нужно, во-первых, четко помнить определения этих понятий:
Удобно при решении таких задач сделать замену (например, α = arcsin x) и работать с более привычным объектом — углом α, лежащем в первой или четвертой четверти тригонометрического круга, синус которого равен х. При этом выясняется, что задача намного проще, чем казалось вначале.
Пример 2.15.
Вычислить cos(4arctg 5).
Решение
Пусть α = arctg5, тогда tg α = 5. Требуется найти cos4α. Вычислим вначале cos2α, используя универсальную подстановку:
Тогда получаем, что:
Ответ:
Пример 2.16.
Выразить через все обратные функции 
Решение
Пусть 
. Угол α лежит в четвертой четверти, следовательно, cos α 0.
Найдем все тригонометрические функции угла:
В четвертой четверти находятся арктангенсы отрицательных чисел, поэтому можно утверждать, что 
.
Но 
, так как арккосинусы положительных чисел принадлежат первой четверти. В силу четности косинуса cos (-α) = cos α, при этом 
, то есть 
, тогда 
.
Арккотангенсы отрицательных чисел расположены во второй четверти. Например, 
, следовательно, 
. Таким образом, угол α выражен через все обратные функции.
Ответ:
Пример 2.17.
Найти arcsin (sin 12).
Решение
По условию задачи требуется найти угол, синус которого равен синусу угла в 12 радиан и который принадлежит промежутку 
. Заметим, что 
, поэтому 
.
Поскольку 
, угол 12 - 4π является искомым углом: его синус равен sin 12, и он находится в области возможных значений арксинуса.
Ответ:
Пример 2.18.
Вычислить 
Решение
Введем два угла: 
Оба они лежат в первой четверти, значит, все их тригонометрические функции положительны. Мы знаем, что 
. Требуется найти синус суммы этих углов, а для этого нужно знать их синусы и косинусы.
Во-первых, 
Во-вторых, .
Следовательно,
Ответ:
Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений
Комментарий. Для выполнения заданий этой группы требуется хорошо знать свойства логарифмов и уметь их применять. Эта работа очень полезна для подготовки к решению логарифмических и показательных уравнений и неравенств. Рассмотрим далее задания, связанные с упрощением показательных и логарифмических выражений.
Формулы для справок
Вспомним основные свойства логарифмов.
.
Комментарий. Логарифм единицы по любому основанию равен нулю. Для того, чтобы убедиться в истинности данной формулы, достаточно вспомнить, что любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.
.
Комментарий. Логарифм равен единице в случае равенства чисел (выражений) — основания логарифма и выражения, стоящего под логарифмом.
.
Комментарий. Представленная формула является одним из вариантов записи определения логарифма.
.
.
.
.
.
Комментарий.
Данная формула называемая формулой перехода к новому основанию, имеет два важных следствия. Приравняем в формуле 
, тогда 
. Рассмотрим числитель полученной дроби. Поставим вопрос: в какую степень следует возвести число b, чтобы получить число b. Ответ — в первую степень, т.е. числитель рассматриваемой дроби равен единице. Таким образом, 
. В ряде задач полезно бывает полученную формулу записать в преобразованном виде: 
.
.
Комментарий. Предполагается, что во всех представленных формулах параметры принимают допустимые значения.
Пример 3.1
Вычислить 
Решение
Представим 
в виде степени числа 5, тогда 
Далее воспользуемся правилом умножения степеней одинаковым основанием (при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются):
.
Преобразуем полученную в процессе решения разность логарифмов (по одному основанию) и применим определение логарифма (зададим вопрос: В какую степень следует возвести основание логарифма 3, чтобы получить число, стоящее под логарифмом — 9?):
Ответ:
Пример 3.2.
Упростить выражение 
Решение
Упростим показатель степени подкоренного выражения:
Тогда
Ответ:
Пример 3.3.
Упростить выражение: 
Решение
Вначале упростим логарифмируемое выражение. Если Вы уже занимались упрощением алгебраических выражений, то вид первого множителя в знаменателе вызовет предположение, что перед нами полный квадрат. Действительно, 
Тогда:
Следовательно,
Ответ:
Пример 3.4.
Найти значение выражения 
Решение
Разделим на знаменатель каждое слагаемое числителя по отдельности:
Переходя далее в каждом слагаемом к новому основанию 18, получаем, что:
Преобразуем далее сумму логарифмов с одинаковым основанием в логарифм произведения и используем определение логарифма:
Ответ:
Пример 3.5.
Вычислить 
Решение
Для преобразования данного выражения перейдем во всех логарифмах к основанию 4:
.
Тогда выражение принимает вид:
Далее разложим на множители логарифмируемые выражения, выделяя в каждом из них множитель вида 4n :
28 = 4 ∙ 7, 112 = 16 ∙ 7 = 42 ∙ 7, 448 = 64 ∙ 7 = 43 ∙ 7.
Продолжим преобразование выражения, используя свойства логарифмов:
Ответ:
Пример 3.6.
Вычислить 
Решение
Представим числа 2 и 1 в виде: 
Тогда
Ответ:
Пример 3.7.
Найти 
если 
Решение
Обратим внимание на то, что в каждом логарифме (либо в основании, либо в аргументе) присутствует множитель 7. Поэтому перейдем к основанию 7 во всех логарифмах:
Обратим внимание, что 
, тогда:
Следовательно, для вычисления этого логарифма нужно знать значения и 
Воспользуемся формулами перехода к новому основанию:
Подставим далее найденные значения в преобразованное исходное выражение:
Ответ:
Пример 3.8.
Известно, что 
лежит между числами 8 и 13, а 
принимает целые значения. Найти количество этих значений.
Решение
Перейдем в обоих логарифмах к основанию b.
Для этого воспользуемся сначала формулой «логарифм частного»: 
. Обратим далее внимание, что 
.
Получаем, что
Решим методом интервалов неравенство: 
.
Для этого перейдем к систем нестрогих неравенств: .
Рассматривая каждое из записанных неравенств отдельно и впоследствии находя решение как пересечение множеств (решений первого и второго неравенств), получаем: 
Выполним преобразования полученного двойного неравенства.
Прибавим 1 ко всем частям неравенства: 
Поскольку 
его значения задаются неравенством:
или 
Следовательно, может принимать 6 целых значений – от 11 до 16.
Ответ:
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
