Математика. 3 - Неравенство Йенсена, Маркова, Чебышева, Гёльдера , Минковского

Неравенство Йенсена — простое и очень мощное неравенство. Из него можно получить, в частности, неравенства Коши, Коши — Буняковского — Шварца, Гёльдера и ряд других полезных неравенств. Определение.

Множество на плоскости называется выпуклым, если вместе с любой парой своих точек оно целиком содержит отрезок, их соединяющий.

С каждой функцией y = f(x), определённой на промежутке I, связаны некоторые множества точек координатной плоскости. Именно, наряду с графиком данной функции — множеством Γ = {(x, y) | x ∈ I, y = f(x)} рассмотрим суперграфик Γ+ = {(x, y) | x ∈ I, y > f(x)} (множество точек, расположенных над графиком, включая сам график). Аналогично определим субграфик Γ− = {(x, y) | x ∈ I, y 6 f(x)}.

Определение. Функция называется выпуклой, если её суперграфик — выпуклое множество. Функция называется вогнутой, если её субграфик — выпуклое множество.