Математика. Алгебраические уравнения высших степеней - 2. Однородные уравнения. Метод выделения полных квадратов.

Уравнение вида

 (3.1)

где  называется уравнением n-й степени.

Если  уравнение  называется линейным.

Если  уравнение  называется квадратным.

Если  уравнение называется однородным.

Основными методами решения уравнений типа (3.1) при  являются:

1) метод разложения многочлена в левой части уравнения (3.1) на множители и сведение к равносильной совокупности уравнений;

2) метод замены переменной, в результате применения которого уравнение (3.1) заменяется равносильным уравнением, степень которого ниже, чем n;

3) поиск корней среди делителей свободного члена.

Рассмотрим некоторые виды уравнений (3.1) и их решения.

Уравнения вида  решаются вынесением общего множителя  за скобки:

и сведением к совокупности:

Уравнение вида

  (3.2)

решается заменой  Получаем уравнение  которое решается, как квадратное. Находим его корни (если такие существуют) и возвращаемся к старой переменной.

При  уравнение (3.2) имеет вид:

 – биквадратное уравнение.

Уравнение  (3.3)

где  сводится к биквадратному уравнению заменой 

Уравнение  (3.4)

где  и А таковы, что  и  сводится к биквадратному уравнению заменой

или при  к уравнению

заменой 

Уравнение

 (3.5)

где  и  делением на  (так как  – не является корнем) сводится к равносильному ему уравнению:

далее заменой  оно сводится к квадратному уравнению.

Уравнение

где  и А таковы, что  сводится к уравнению вида (3.5) после попарного перемножения выражений в скобках:

Уравнения вида (3.6)

где  называются симметрическими уравнениями третьей степени.

Так как

то уравнение (3.5) равносильно совокупности уравнений:

Уравнения вида  (3.7)

где  называются симметрическими уравнениями четвертой степени.

Так как  не является корнем уравнения (3.7), то деление обеих частей уравнения (3.7) на  приводит его к уравнению

 или

Далее заменяем  и сводим его к квадратному уравнению.

Пример 1. Решить уравнение 

Решение. Выносим общий множитель за скобки:

Получаем совокупность уравнений

Ее решение дает три корня:

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Заменяем  и приходим к уравнению

Последнее уравнение имеет корни:

Возвращаемся к переменной х:

Решаем полученные квадратные уравнения и приходим к ответу: