Математика. Последовательность. Арифметическая прогрессия

Последовательность. Арифметическая прогрессия

9 класс

30.05.21

Последовательности

3 типа заданий:

1. Выписать первые несколько членов последовательности по ее словесному описанию.

2. Выписать первые несколько членов и вычислить некоторый (любой) член последовательности по формуле  п -го члена.

3. По заданным первым членам последовательности составить формулу п -го члена последовательности.

• Как называются числа, образующие последовательность?
• Что значит «задать последовательность»?
• Какие способы задания последовательности вы знаете?

Числовая последовательность  — это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.

Способы задания:

Словесно  — когда правило последовательности объясняется словами: «Последовательность простых чисел: 4, 6, 10, 19, 21, 33...»

Аналитически  — когда указана формула ее n-го члена:

y n  = f(n).Последовательность y n  = C называют постоянной или стационарной.

Рекуррентно  — когда указывается правило, которое помогает вычислить n-й член последовательности, если известны её предыдущие члены. Арифметическая прогрессия — (a n ), задана таким соотношением: a 1  = a, a n+1 = a n  + d.

Последовательность Фибоначчи — когда каждое следующее число равно сумме двух предыдущих чисел: a n+1  = a n  + a n-1 .

Пример: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55...

Графически  — когда график последовательности состоит из точек с абсциссами 1, 2, 3, 4...

Последовательности

Назовите пропущенный член последовательности:

а) 1; 3; 5; *; 9; …

б) –10; 10; –10; 10; *; …

в)  а 1 ; …;  а п  – 2 ; *;  а п ; …

Последовательность задана формулой  п -го члена, найти ее член с заданным индексом:

г)   х п  = 5 п  – 2,  х 5  = *

д)   у п   =  п 3  –  п ,  у 3  = *

е)   b n  = (–1) n  ·  n ,  b 6  = *.

Последовательность задана несколькими первыми членами,

задайте формулу  п -го члена:

ж) 4; 8; 12; 16; …  х п  = * ( х п  = 4 п .)

з) 7; 7; 7; … а п  = * ( а п  = 7.)

Последовательности. Арифметическая прогрессия

• Последовательность – это… 
• Что называется арифметической прогрессией?
• Как задается арифметическая прогрессия?
• Назовите формулу  п -го члена арифметической прогрессии.
• В чем сущность рекуррентного способа задания последовательности?
• Можно ли одну и ту же последовательность задать различными способами?

0, то арифметическая прогрессия возрастающая , если  d  убывающая , если  d  = 0 – постоянная. " width="640"

Арифметическая прогрессия

- последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

1)  а 1  = 1,  d  = 1. ( а 1- первый член , d   - разность )

1; 2; 3; 4; … (последовательные натуральные числа).

2)  а 1  = 1,  d  = 2.

1; 3; 5; 7; … (последовательность положительных нечетных чисел).

3)  а 1  = –2,  d  = –2.

– 2; –4; –6; –8; –10; … (последовательность отрицательных четных чисел).

4)  а 1  = 7,  d  = 0.

7; 7; 7; 7; … (постоянная последовательность).

5)  а 1  = 1,  d  = 0,3.

1; 1,3; 1,6; 1,9; 2,2; …

если  d   0, то арифметическая прогрессия возрастающая ,

если  d  убывающая , если  d  = 0 – постоянная.

Для того чтобы найти любой член арифметической прогрессии (или задать ее), достаточно знать ее первый член и разность.

Например:

( а п ) – арифметическая прогрессия, где  а 1  = 2,  d  = 27.

Найти а 100 .

Пользуясь определением, нам нужно сделать 100 шагов. Это громоздко. Существует формула для нахождения любого члена арифметической прогрессии только по первому члену, разности и порядковому номеру искомого члена.

По определению арифметической прогрессии:

а 1

а 2  =  а 1  +  d

а 3  =  а 2  +  d  = ( а 1  +  d ) +  d  =  а 1  + 2 d

а 4  =  а 3  +  d  = ( а 1  + 2 d ) +  d  =  а 1  + 3 d

а 5  =  а 4  +  d  = ( а 1  + 3 d ) +  d  =  а 1  + 4 d

а 6  = … =  а 1  + 5 d

а 100  = … =  а 1  + 99 d

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Что как раз объясняет название «арифметическая» прогрессия.

Последовательности. Арифметическая прогрессия

Пример:

( с п ) – арифметическая прогрессия,

с 1  = 0,62,  d  = 0,24;  с 50  –?

с 50  =  с 1  +  d  (50 – 1) = 0,62 + 0,24 · 49 = 12,38.

Рекуррентная формула.

Выпишите пять первых членов последовательности ( с п ), если:

а)  с 1  = 3,  с п  + 1  =  с п  + 4;

б)  с 1  = 4,  с п  + 1  = 2 ·  с п .

в) у 1  = –3;  у п  + 1  –  у п  = 10.

Преобразовать: у п  + 1  =  у п  + 10.

Последовательности. Арифметическая прогрессия

3 типа заданий:

1) На «узнавание» арифметической прогрессии, определение ее первого члена и разности.

2) На нахождение  п -го члена арифметической прогрессии по определению и по формуле.

3) На запись формулы  п -го члена по первому члену и разности, решение задач на «косвенное» использование формулы  п -го члена (например, нахождение  п ).

Устно:

а) Является ли последовательность арифметической прогрессией:

• – 3,5; –7; –10,5; –14; –17,5; … 
• 5; 5; 5; 5; … 
• 2; 12; 22; 23; 32; … ? 

б) Найти члены арифметической прогрессии, обозначенные буквами:

• – 10; –7;  с 3 ;  с 4 ;  с 5 ;  с 6
• – 3,4; –1,4;  а 3 ;  а 4
• 12;  у 2 ; 20;  у 4 .

в) ( а п ) – арифметическая прогрессия. Является ли арифметической прогрессией последовательность:

• 12 а 1 ; 12 а 2 ; …; 12 а п ; …
• 3 а 1  + 1; 3 а 2  + 1; …; 12 а п  + 1; … ?

Математический диктант

Работа выполняется по вариантам (в квадратных скобках задание, относящееся ко второму варианту).

1) У арифметической прогрессии первый член 4 [6], второй член 6 [2]. Найдите разность  d .

2) У арифметической прогрессии первый член 6 [4], второй член 2 [6]. Найдите третий член.

3) Найдите десятый [восьмой] член арифметической прогрессии, если ее первый член равен 1, а разность 4 [5].

4) Является ли последовательность четных [нечетных] чисел арифметической прогрессией?

5)  а п  – арифметическая прогрессия. Выразите через  а 1  и  d:

а 10 ; 

а 2 k ; 

a k  + 3   [ a 20 ;  a k ;  a 2 k  + 1 ].

О т в е т ы:

1) 2 [–4];

2) –2 [8];

3) 37 [36];

4) Да [Да];

5)  а 10  =  а 1  + 9 d  [ а 20  =  а 1  + 19 d ];

а 2 k  =  а 1  +  d  (2 k  – 1) [ а k  =  а 1  +  d  ( k  – 1)];

a k  + 3  =  а 1  +  d  ( k  + 2) [ a 2 k  + 1  =  а 1  + 2 dk ].

О т в е т ы:

1) 2 –4;

2) –2 8;

3) 37 36;

4) Да Да;

5)  а 10  =  а 1  + 9 d  а 20  =  а 1  + 19 d ;

а 2 k  =  а 1  +  d  (2 k  – 1) а k  =  а 1  +  d  ( k  – 1);

a k  + 3  =  а 1  +  d  ( k  + 2) a 2 k  + 1  =  а 1  + 2 dk .