Математика. Решение задач на построение. Методы решения задач на построение.

Методы решения задач на построение

1. Метод геометрических мест точек

Сущность метода в следующем.

Пусть при поиске решения задачи мы пришли к выводу, что задача будет решена, если будет построена фигура, удовлетворяющая некоторым двум условиям.

Тогда: 1) устанавливается множество точек плоскости, удовлетворяющих только одному из условий;

2) строится множество точек, удовлетворяющих только второму условию задачи.

Пересечение этих точечных множеств определяет искомую фигуру.

2. Метод спрямления.

Сущность метода спрямления в том, что с целью открытия зависимости для решения данной задачи на построение на чертеже некоторые отрезки перекладывают так, чтобы вместо ломаной линии получился отрезок, равный сумме ли разности ее звеньев, и вместе с тем образовалась фигура, которая конструктивно связана с данной и легко может быть построена.

Метод спрямления применяется при решении таких задач на построение, в которых даны сумма или разность определенных отрезков, являющихся сторонами искомой фигуры или тесно связанных с ней (диагональ, высота, радиус вписанной окружности и др.).

3. Метод подобия

Сущность метода подобия при решении задач на построение состоит в следующем. Данная задача сводится к задаче на построение фигуры, подобной искомой, т.е. отбрасывается какое-нибудь одно из условий, характеризующих размеры исходной фигуры. Потом построенная вспомогательная фигура подвергается преобразованию подобия так, чтобы полученная в результате фигура удовлетворяла отброшенному условию.

4. Алгебраический метод.

Сущность алгебраического метода решения геометрических задач на построение состоит в следующем:

1) неизвестные величины, фигурирующие в условии задачи, обозначают буквами x, y, z…;

2) составляют уравнения, связывающие эти неизвестные с данными в задаче величинами а, b, c…;

3) решают составленные уравнения;

4) исследуют полученные ответы;

5) выполняют требуемые построения.

5. Метод параллельного переноса.

Сущность метода в том, что с помощью некоторого вектора отображают какой-нибудь отрезок или другую часть исследуемой фигуры и сводят анализ (построение) данной фигуры к анализу (построению) вспомогательной, более простой фигуры, затем выполняют обратный перенос и переходят к построению фигуры, указанной в задаче.

6. Метод осевой симметрии.

Сущность метода осевой симметрии состоит в следующем. Предполагается, что задача решена, при этом фигура F заменяется симметричной ей фигурой ' F относительно некоторой прямой l. После этого фигура ' F подчиняется тем же условиям, которым должна удовлетворять фигура F. В результате получаем новую задачу, которая решается одним из известных способов. Иногда есть необходимость возвращения к первоначальному условию задачи.

7. Метод поворота. Сущность метода состоит в том, что в результате поиска решения задачи замечают, что повернув какую-нибудь фигуру вокруг некоторого центра на некоторый угол, данную задачу можно свести к более простой, которая позволит построить искомую фигуру. Центр и угол поворота обычно выбирают так, чтобы в результате поворота совместились элементы одинаковой величины.