Математика. Точки максимума и минимума функции + примеры

Экстремумами (максимумами и минимумами) функции называются значения функции в точках максимума и минимума.

Точки экстремума функции

Говорят, что в точке  максимум (минимум), если существует такая -окрестность точки  — , что для всех из этой окрестности, отличных от  выполняется  неравенство  .

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Необходимое условие существования экстремума функции. Пусть функция  дифференцируема в промежутке . Если в некоторой точке  функция  имеет экстремум, то в этой точке производная равна нулю: .

Достаточное условие существования экстремума функции. Если производная функции  равна нулю в точке  и при переходе через эту точку в сторону возрастания  меняет знак с «+» («-») на «-» («+»), то в точке  функция имеет максимум (минимум). Если же при переходе через точку  производная функции не меняет знак, то в этой точке функция  экстремума не имеет.

Для исследования функции на экстремум необходимо:

1.  найти критические точки функции;
2.  проверить, изменяет ли знак производная функции при переходе через критическую точку;
3.  вычислить значения максимума  или минимума .

Примеры исследования функции на экстремум

ПРИМЕР 1

Задание	Найти экстремум функции
Решение	Найдем критические точки функции, для этого вычислим производную заданной функции    приравняем её к нулю и найдем корни полученного квадратного уравнения    Получили две критические точки . Обозначим найденные корни на числовой оси и определим знак производной на полученных интервалах. В точке  производная меняет знак с «+» на «-», значит в этой точке максимум. Вычислим значение максимума    В точке  производная меняет знак с «-» на «+», значит,  — точка минимума. Значение минимума соответственно равно
Ответ

ПРИМЕР 2

Задание	Найти экстремум функции
Решение	Область определения функции  — вся числовая прямая, за исключением точки , то есть . Вычислим производную заданной функции и найдем критические точки    Приравниваем к нулю производную    Получаем одну критическую точку . Обозначим на числовой оси область определения функции и найденную критическую точку и определим знак производной на полученных интервалах В точке  производная меняет знак с «-» на «+», значит, в этой точке минимум. Значение минимума соответственно равно
Ответ

Инструкция "Как найти точку максимума и минимума"

Точки максимума и минимума являются точками экстремума функции, которые находятся по определенному алгоритму. Это является важным показателем при исследовании функции. Точка x0 является точкой минимума, если для всех x из определенной окрестности x0 выполняется неравенство f(x) ≥ f(x0) (для точки максимума справедливо обратное неравенство f(x) ≤ f(x0)). 1. Найдите производную функции. Производная характеризует изменение функции в определенной точке и определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента, который стремится к нулю. Для ее нахождения воспользуйтесь таблицей производных. Например, производная функции y = x3 будет равна y’ = x2.

2. Приравняйте данную производную к нулю (в данном случае x2=0).

3. Найдите значение переменной данного выражения. Это будут те значения, при которых данная производная будет равна 0. Для этого подставьте в выражение произвольные цифры вместо x, при которых все выражение станет нулевым. Например: 2-2x2= 0 (1-x)(1+x) = 0 x1= 1, x2 = -1

4. Полученные значения нанесите на координатную прямую и высчитайте знак производной для каждого из полученных промежутков. На координатной прямой отмечаются точки, которые принимаются за начало отсчета. Чтобы высчитать значение на промежутках подставьте произвольные значения, подходящие по критериям. Например, для предыдущей функции до промежутка -1 можно выбрать значение -2. На промежутке от -1 до 1 можно выбрать 0, а для значений больше 1 выберите 2. Подставьте данные цифры в производную и выясните знак производной. В данном случае производная с x = -2 будет равна -0,24, т.е. отрицательно и на данном промежутке будет стоять знак минус. Если x=0, то значение будет равно 2, а значит, на данном промежутке ставится  положительный знак. Если x=1, то производная также будет равна -0,24 и потому ставится минус.

5. Если при прохождении через точку на координатной прямой производная меняет свой знак с минуса на плюс, то это точка минимума, а если с плюса на минус, то это точка максимума.