План урока
Предмет: математика
Преподаватель: Амирханова А. К.
Дата проведении:__________
Тема урока: Решение задач повышенной сложности (факультативное занятие)
Цель: рассмотреть более сложные задачи.
Ход уроков
I. Сообщение темы и цели уроков
II. Изучение нового материала
Сначала еще раз приведем основные (пронумерованные) формулы (по группам).
Функции одного аргумента:
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1370.jpg)
Синус и косинус суммы и разности аргументов:
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1371.jpg)
Синус и косинус двойного аргумента:
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1372.jpg)
Формулы понижения степени:
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1373.jpg)
Преобразование сумм функций в произведения:
![](file:///C:\Users\amirk\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image005.jpg)
Преобразование произведений функций в суммы:
![](file:///C:\Users\amirk\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image006.jpg)
Теперь рассмотрим некоторые задачи.
Пример 1
Построим график функции у = |sin x|cos x + sin x|cos x|.
Раскроем знаки модулей по координатным четвертям.
I четверть
Тогда sin x ≥ 0, cos x ≥ 0 и у = sin x cos x + sin x cos x = 2 sin x cos x = sin 2x.
II четверть
Тогда sin x ≥ 0, cos x < 0 и у = sin x cos x - sin x cos x = 0.
III четверть
Тогда sinx < 0, cos x < 0 и у = -sin x cos x – sin x cos x = -2 sin cos x = - sin 2x.
IV четверть
Тогда sinx < 0, cos x ≥ 0 и y = -sin x cos x + sin x cos x = 0.
Теперь легко построить график данной функции.
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1376.jpg)
Пример 2
Построим график уравнения sin|y| = sin|x|.
Запишем равенство в виде sin|y| - sin|x| = 0 и преобразуем разность в произведение:
Получим совокупность уравнений
(тогда
) и
(тогда
). Придаваяn различные значения, строим линии
и ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1383.jpg)
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1384.jpg)
Пример 3
Упорядочим числа cos 1, cos 2, cos 3, cos 4, cos 5.
Учтем, что функция косинуса убывает на промежутке [0; π]. Числа 1, 2, 3 принадлежат этому промежутку. Так как функция косинуса четная и ее период равен 2π, то получим:
и
Теперь аргументы 2π - 4 и 2π - 5 также принадлежат промежутку [0; π]. Упорядочивая числа 1, 2, 3, 2π - 4 и 2π - 5, получим неравенство
откуда
или ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1389.jpg)
Пример 4
Найдем точки минимума и максимума функции ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1390.jpg)
Используя формулу для синуса двойного угла, преобразуем последнее слагаемое: ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1391.jpg)
Тогда функция имеет вид: y = 3 - 8 sin 8х. Так как -1 ≤ sin 8x ≤ 1, то 8 ≥ -8 sin 8x ≥ -8 и 11 ≥ 3 – 8 sin 8x ≥ -5, т. е. -5 ≤ у ≤ 11. Таким образом, ymin = -5. Минимум функции достигается при условии sin 8x = 1, откуда
Максимум функции ymax = 11 и достигается при условии sin 8x = -1, откуда
и ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1395.jpg)
Пример 5
Вычислим ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1396.jpg)
Вычтем и прибавим единицу к выражению А:
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1397.jpg)
Итак, А = 5.
Пример 6
Упростим выражение ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1398.jpg)
Сгруппируем слагаемые в числителе и знаменателе дроби А:
. Преобразуем суммы функций в скобках в произведения:
Поэтому А = tg 5а.
Пример 7
Упростим выражение ![](file:///C:\Users\amirk\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image033.jpg)
Начнем преобразования с внутреннего радикала и используем формулы понижения степени: ![](file:///C:\Users\amirk\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image034.jpg)
тогда ![](file:///C:\Users\amirk\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image036.jpg)
![](file:///C:\Users\amirk\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image037.jpg)
Теперь упростим:
![](file:///C:\Users\amirk\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image038.jpg)
![](file:///C:\Users\amirk\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image039.jpg)
В последнем случае знак модуля не ставится, так как cos a ≥ 0 и sin a ≥ 0.
Итак,
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1409.jpg)
Пример 8
Докажем, что
и вычислим ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1411.jpg)
Обозначим доказываемое выражение А и запишем:
![](file:///C:\Users\amirk\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image043.jpg)
В доказанном тождестве положим a = 10°, тогда
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1413.jpg)
Пример 9
Упростим выражение ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1414.jpg)
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1415.jpg)
Проведем преобразования с конца этого выражения: ![](file:///C:\Users\amirk\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image047.jpg)
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1417.jpg)
Полностью аналогично продолжаем цепочку равенств
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1418.jpg)
Итак, А = ctg а.
Пример 10
Вычислим ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1419.jpg)
Обозначим ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1420.jpg)
Найдем
Теперь легко найти ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1424.jpg)
III. Задание на уроках и на дом
1. Известно, что А, В, С - внутренние углы треугольника ABC. Докажите равенство:
![](file:///C:\Users\amirk\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image056.jpg)
2. Найдите значение выражения
если ![](file:///C:\Users\amirk\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image058.jpg)
Ответ: ![](file:///C:\Users\amirk\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image059.jpg)
3. Найдите значение выражения sin3 a - cos3 a, если sin a - cos a = a.
Ответ: ![](file:///C:\Users\amirk\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image060.jpg)
4. Найдите ctg β, если ![](file:///C:\Users\amirk\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image061.jpg)
Ответ: ![](file:///C:\Users\amirk\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image062.jpg)
5. Найдите tg β, если ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1432.jpg)
Ответ: ![](file:///C:\Users\amirk\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image064.jpg)
6. Вычислите:
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1434.jpg)
![](file:///C:\Users\amirk\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image066.jpg)
Ответы: а, б) 1/32.
7. Найдите наименьшее значение выражения при ![](file:///C:\Users\amirk\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image067.jpg)
![](file:///C:\Users\amirk\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image068.jpg)
Ответы: ![](file:///C:\Users\amirk\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image069.jpg)
8. Найдите сумму:
![](file:///C:\Users\amirk\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image070.jpg)
Ответы: ![](file:///C:\Users\amirk\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image071.jpg)
![](file:///C:\Users\amirk\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image072.jpg)
9. Вычислите:
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1442.jpg)
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1443.jpg)
Ответы: ![](file:///C:\Users\amirk\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image075.jpg)
![](file:///C:\Users\amirk\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image076.jpg)
IV. Подведение итогов уроков
Просмотр содержимого документа
«Тема урока: Решение задач повышенной сложности (факультативное занятие)»
План урока
Предмет: математика
Преподаватель: Амирханова А. К.
Дата проведении:__________
Тема урока: Решение задач повышенной сложности (факультативное занятие)
Цель: рассмотреть более сложные задачи.
Ход уроков
I. Сообщение темы и цели уроков
II. Изучение нового материала
Сначала еще раз приведем основные (пронумерованные) формулы (по группам).
Функции одного аргумента:
Синус и косинус суммы и разности аргументов:
Синус и косинус двойного аргумента:
Формулы понижения степени:
Преобразование сумм функций в произведения:
Преобразование произведений функций в суммы:
Теперь рассмотрим некоторые задачи.
Пример 1
Построим график функции у = |sin x|cos x + sin x|cos x|.
Раскроем знаки модулей по координатным четвертям.
I четверть
Тогда sin x ≥ 0, cos x ≥ 0 и у = sin x cos x + sin x cos x = 2 sin x cos x = sin 2x.
II четверть
Тогда sin x ≥ 0, cos x sin x cos x - sin x cos x = 0.
III четверть
Тогда sinx и у = -sin x cos x – sin x cos x = -2 sin cos x = - sin 2x.
IV четверть
Тогда sinx и y = -sin x cos x + sin x cos x = 0.
Теперь легко построить график данной функции.
Пример 2
Построим график уравнения sin|y| = sin|x|.
Запишем равенство в виде sin|y| - sin|x| = 0 и преобразуем разность в произведение:
Получим совокупность уравнений
(тогда
) и
(тогда
). Придаваяn различные значения, строим линии
и
Пример 3
Упорядочим числа cos 1, cos 2, cos 3, cos 4, cos 5.
Учтем, что функция косинуса убывает на промежутке [0; π]. Числа 1, 2, 3 принадлежат этому промежутку. Так как функция косинуса четная и ее период равен 2π, то получим:
и
Теперь аргументы 2π - 4 и 2π - 5 также принадлежат промежутку [0; π]. Упорядочивая числа 1, 2, 3, 2π - 4 и 2π - 5, получим неравенство
откуда
или
Пример 4
Найдем точки минимума и максимума функции
Используя формулу для синуса двойного угла, преобразуем последнее слагаемое:
Тогда функция имеет вид: y = 3 - 8 sin 8х. Так как -1 ≤ sin 8x ≤ 1, то 8 ≥ -8 sin 8x ≥ -8 и 11 ≥ 3 – 8 sin 8x ≥ -5, т. е. -5 ≤ у ≤ 11. Таким образом, ymin = -5. Минимум функции достигается при условии sin 8x = 1, откуда
Максимум функции ymax = 11 и достигается при условии sin 8x = -1, откуда
и
Пример 5
Вычислим
Вычтем и прибавим единицу к выражению А:
Итак, А = 5.
Пример 6
Упростим выражение
Сгруппируем слагаемые в числителе и знаменателе дроби А:
. Преобразуем суммы функций в скобках в произведения:
Поэтому А = tg 5а.
Пример 7
Упростим выражение
Начнем преобразования с внутреннего радикала и используем формулы понижения степени:
тогда
Теперь упростим:
В последнем случае знак модуля не ставится, так как cos a ≥ 0 и sin a ≥ 0.
Итак,
Пример 8
Докажем, что
и вычислим
Обозначим доказываемое выражение А и запишем:
В доказанном тождестве положим a = 10°, тогда
Пример 9
Упростим выражение
Проведем преобразования с конца этого выражения:
Полностью аналогично продолжаем цепочку равенств
Итак, А = ctg а.
Пример 10
Вычислим
Обозначим
Найдем
Теперь легко найти
III. Задание на уроках и на дом
1. Известно, что А, В, С - внутренние углы треугольника ABC. Докажите равенство:
2. Найдите значение выражения
если
Ответ:
3. Найдите значение выражения sin3 a - cos3 a, если sin a - cos a = a.
Ответ:
4. Найдите ctg β, если
Ответ:
5. Найдите tg β, если
Ответ:
6. Вычислите:
Ответы: а, б) 1/32.
7. Найдите наименьшее значение выражения при
Ответы:
8. Найдите сумму:
Ответы:
9. Вычислите:
Ответы:
IV. Подведение итогов уроков