Математика. Тригонометрические функции. Примеры + решения.

Тригонометрические функции – это математические функции, зависящие от угла. Определяют тригонометрические функции обычно как отношения сторон прямоугольного треугольника или длины определённых отрезков в единичной окружности.

Определения и формулы всех тригонометрических функций

Рассмотрим произвольный прямоугольный треугольник , углы  и  – острые. (рис. 1). Тогда  – гипотенуза (это сторона противолежащая прямому углу), самая длинная сторона в прямоугольном треугольнике. Катет  – это катет, являющийся противолежащим по отношению к углу . Катет  – это катет, прилежащий к углу .

Рис. 1

ОПРЕДЕЛЕНИЕСинусом угла  называется отношение противолежащего катета  к гипотенузе  или

Это отношение не зависит от выбора , содержащего угол , так как все такие треугольники подобны.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Косинусом угла  называется отношение прилежащего катета  к гипотенузе  или

Замечание 1. Катет AC, прилежащий к углу , является противолежащим по отношению к углу . Аналогично с катетом , он противолежащий для угла  и прилежащий к углу . Таким образом, синус одного острого угла в треугольнике равен косинусу второго его острого угла, и наоборот:

ОПРЕДЕЛЕНИЕТангенсом угла  называется отношение противолежащего катета  к прилежащему катету AC или

Также тангенс выражается через косинус и синус следующим образом:

ОПРЕДЕЛЕНИЕКотангенсом угла  называется отношение прилежащего катета AC к противолежащему катету  или

Котангенс выражается через косину и синус следующим образом:

Замечание 2. Котангенс одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен тангенсу второго его острого угла, и наоборот:

Секансом угла  называется отношение гипотенузы  к прилежащему катету или

ОПРЕДЕЛЕНИЕСеканс выражается через косинус следующим образом:

Косекансом угла  называется отношение гипотенузы  к противолежащему катету  или

Косеканс можно выразить через синус:

Обратные тригонометрические функции

Основные обратные тригонометрические функции:

1.  – арксинус;

2.  – арккосинус;

3.  – арктангенс;

4.  – арккотангенс.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Арксинусом числа x, где , называется такое число  из промежутка , синус которого равен x.

Арксинус является нечетной функцией, то есть: .

ПРИМЕР 1

Задание	Найти значения обратных тригонометрических функций:
Решение	1) Вычислим значение , для этого нам нужно найти такой угол  из промежутка , чтобы . Воспользуемся таблицей значений синуса:    Выбираем в строке значений синуса значение, равное  и определяем, что этому значению соответствует угол . Так как , то получаем: . 2) Вычислим значение  Рис. 1 Первый способ. Найдем угол  из промежутка , такой что . Воспользуемся тригонометрическим кругом (рис. 1). Значениям синуса соответствуют точки на оси . Отметим на ней значение . Этому значению соответствует  и , но промежутку принадлежит только . Таким образом, . Второй способ. Используем то, что функция арксинус нечетная, тогда . А  найдем, используя  таблицу значений синуса:  при . Тогда окончательно имеем .
Ответ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Арккосинус числа x, где , называется такое число  из промежутка , косинус которого равен x.

Для арккосинуса справедливо следующее равенство

ПРИМЕР 2

Задание	Найти значения обратных тригонометрических функций:
Решение	Для вычисления значение , необходимо найти такой угол  из промежутка , чтобы . Воспользуемся таблицей значений косинуса:    Выбираем в строке значений косинуса значение, равное  и определяем, что ему соответствует угол . Так как , то получаем: . Вычислим значение . Рис. 2 Первый способ. Найдем угол  из промежутка , такой что . Воспользуемся тригонометрическим кругом (рис. 2). Значениям косинуса соответствуют точки на оси . Отметим на ней значение . Значению  соответствует два угла  и . Промежутку  принадлежит только , тогда, . Второй способ. Воспользуемся равенством . Тогда . Найдем , используя таблицу значений клсинуса. Получим, что значению  соответствует . Тогда используя последнее равенство
	Ответ:       Таблица синусов и косинусов   Таблица 1 С помощью этой таблицы можно найти стандартные значение синуса или косинуса. Искомое значение будет лежать на пересечении столбца соответствующего заданному аргументу (в радианах или в градусах) и строки соответствующей заданной функции.