Математика. Уравнения Лагранжа и Клеро. Численные методы решения дифференциальных уравнений. Метод Эйлера. Метод Рунге – Кутта. Дифференциальные уравнения высших порядков. Примеры.

Уравнение Клеро имеет вид

, (1)

Где  - известная функция  . Введем параметр  . Дифференцируя это равенство по  , имеем . Откуда  или

. (2)

Из первого равенства следует,  и общее решение уравнения Клеро имеет вид

. (3)

Это семейство прямых линий.

Уравнение Клеро имеет особое решение (огибающая семейства (3)), которое следует при исключении параметра  из системы

 (4)

Уравнение Лагранжа является обобщением уравнения Клеро

, (5)

Где  и  - известные функции  . Введем параметр  , тогда имеем . Отсюда

.

Данное уравнение можно записать в виде ЛДУ, если считать неизвестной функцию 

 . (6)

Общее решение этого уравнения запишем символически  . Если исключить параметр  из общего решения уравнения Лагранжа

 (7)

Получим общее решение уравнения Лагранжа (5) в виде .

Заметим, что при , когда , т. е.  имеем некоторые решения уравнения

. (5)

Если это решение не следует из общего , то оно будет особым.

Пример.

В уравнении Лагранжа  положив , имеем  . Дифференцируя это равенство по  , имеем . Найдем особые решения, положив . Откуда  или . Теперь найдем общее решение уравнения Лагранжа. Для этого рассмотрим уравнение (6) . Его общее решение  . Исключая параметр из системы

Находим общее решение уравнения Лагранжа: .

Замечание. Из двух предполагаемых особых решений  , следует оставить  , т. к. оно не следует из общего решения, а решение  не является особым, т. к. оно следует из общего решения при .