Математика в древнем мире

Введение.

Каждый день на уроках математики мы узнаем о свойствах чисел, фигур, решаем задачи, а когда возвращаемся домой, повторяем материал и делаем домашнее задание. По большей части помощниками являются учебник и Интернет. Эти помощники и есть, самые главные источники информации в наше время. Из них можно узнать о многом: как складывать десятичные и обыкновенные дроби, где впервые начали решать задачи с помощью уравнений, как построить графики и какие они бывают. В моем проекте мы познакомимся с математикой древнего Египта, Вавилона, Греции и Индии, как считали в древнем мире.

Актуальность: выбранная мною тема актуальна, так как наука математика во все времена была востребованной, и способствовало развитию общества.

Целью проекта: изучить и проанализировать развитие математики в древнем мире, и показать, как используются открытия математиков древнего мира сейчас.

Передо мною стояли следующие задачи:

1. Изучить развитие математики древнего мира;

2. Выделить важнейшие открытия древних математиков;

3. Показать, на примерах, как математика древнего мира используется сейчас.

В истории математики традиционно выделяются несколько этапов развития математических знаний:

1. Формирования понятия геометрической фигуры и числа как идеализации реальных объектов и множеств однородных объектов. Появление счета и измерения, которые позволили сравнивать различные числа, длины, площади объемы.

2. Изобретение арифметических операций. Накопление эмпирическим путем (методом проб и ошибок) знаний о свойствах арифметических действий, о способах измерения площадей и объемов простых фигур и тел. В этом направлении далеко продвинулись шумеро-вавилонские, китайские и индийские математики древности.

3. Появление в древней Греции дедуктивной математической системы, показавшей как получать новые математические истины на основе уже имеющихся. Венцом достижений древнегреческой математики стали «Начала» Евклида, игравшие роль стандарта математической строгости в течение двух тысячелетий.

4. Математики стран ислама не только сохранили античные достижения, но и смогли осуществить их синтез с открытиями индийских математиков, которые в теории чисел продвинулись дальше греков.

1.Математика в древнем Египте.

В IV – I тысячелетиях до нашей в странах древнего Востока устанавливается рабовладельческий строй. Рабовладельческий строй давал возможность вести большие строительные работы, совершенствовать орудия труда, развивать ремесла в торговле. Производительные силы общества развивались медленно, так как у рабов не было заинтересованности в повышении производительности своего труда и, поэтому, господствовал примитивный ручной труд. Наиболее крупными и значительными среди первых рабовладельческих государств были Египет, Вавилон, государства в Индии и Китае.

В Египте строительство больших зданий (дворцов и храмов),строились крепости, корабли, оросительные каналы и гробницы-пирамиды. Также, нужно было измерять длины и площади, объемы, время, считать и собирать налоги, составлять календари и т.д. Все это требовало вычислений и расчетов, т.е. помощи математики.

Египтяне писали на папирусе – бумаге, которая была склеена из стеблей высушенного водного растения, называвшегося также папирусом. Эту бумагу скатывали в виде свитка, большой длины. Материал был недолговечен и только благодаря тому, что в Египте принято складывать папирусы в пирамиды знатных людей, часть исписанных папирусов сохранилось до наших дней. Наиболее крупными среди папирусов математического содержания являются папирус Ринда, который содержит 84 решенных задачи.

Все письма и приказы фараона составляли царские писцы, они же вели математические расчеты и вычисления. Большинство папирусов математического содержания были сборниками задач для школ писцов.

В различные периоды в Египте применялись три разных вида письменности, и поэтому, этому существовали три вида записи чисел. Применявшиеся в древности обозначения чисел были более или менее пригодны для записи результата счета. Для записи выполнения арифметических действий она не годилась.

Со сложением и вычитанием у египтян затруднений не было. Египетскому писцу чтобы сложить одно число с другим достаточно было перерисовать столько раз « , сколько он встречается в обоих записях вместе, а затем сделать тоже самое со знаком « |» . Сложнее было с умножением. И тут египтяне придумали интересный выход: они заменили умножение на любое число удвоением, т.е. сложением числа с самим собой. Например, если надо было умножить число 42 на 5 , то поступали так: умножали 42 сначала на 2, потом еще на 2. Записывали столбиком (конечно, в своих обозначениях чисел):

1. 4 2

2. 84

4 168

Так как 5=4+1, то для получения ответа оставалось сложить числа, стоящие в правом столбике против цифр 1 и 4. Сложив, 168 и 42 получали ответ 210. Таким образом можно было умножить число 42 на 7:

42 7=42 (4+2+1)=168+84+42=294.

Построениями на местности занимались землемеры, главным инструментом землемера была мерная веревка – веревка, на которой были завязаны узелки на расстоянии друга от друга, равной единицы от длины. С помощью этой веревки измеряли расстояние, проводили прямые, описывали окружности и даже строили прямые углы на местности. Построение прямого угла было основано на факте, что треугольник со сторонами 3,4 и 5 является прямоугольным. Такой треугольник в истории получил название египетского. Что касается теоремы Пифагора, она, по-видимому, египтянам была неизвестна. Египтяне знали первые правила вычисления площадей прямоугольников, треугольников и трапеций.

В папирусах можно найти немногочисленные задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии.

В целом уровень египетской математики был довольно низким. Математика в древнем Египте еще не была настоящей наукой, а скорее сборник правил и формул, полученных опытным путем. Доказательств в явной форме не было. Обучение математике было догматическим: при решении задач просто следовали по имеющимся образцам. Тем не менее египетская математика оказала значительное влияние на математические знания соседних народов, особенно Греции. Греки считали, что геометрия впервые появилась в Египте.

Математика древнего Вавилона.

О вавилонской науке мы знаем гораздо больше, чем о египетской. Так как папирус, на котором писали египтяне, был не прочным, и горючим материалом. Вавилоняне писали, выдавливая острой палочкой клинья на табличке из мягкой глины. Если писец делал ошибку, он мог стереть неправильную запись и внести исправление. Заполненные таблички обжигали в печи и они становилась твердыми как кирпич. До нас дошло большое количество таких табличек, сотни из которых были посвящены математике, ав десятках тысяч содержатся хозяйственные расчеты. Поэтому мы и знаем много о вавилонской математике. Учеными было установлено, что в те времена происходили международные математические съезды, на которые приезжали математики других стран. Ну что они обсуждали нам было не известно.

Вавилонянам математика была нужна и при строительстве дворцов и сооружений. Также она применялась в финансовых расчетах. Вавилонские купцы давали деньги в долг под высокие проценты чем разоряли крестьян и ремесленников, доводя их до рабства. Если долг не возвращался, то на следующий год необходимо было платить проценты не только на занятую сумму, но и за набежавшие проценты на эту сумму. Это требовало очень сложных математических расчетов. Как и в Египте, самыми учеными людьми в Вавилоне были жрецы.

В авилонская нумерация чисел также была клинописной. Основными знаками в ней были вертикальный клин и горизонтальный . Ниже приведем примеры записи чисел по вавилонской системе.

(т.е. 3721=3600+2 60+1)

З десь хорошо видно, что от 1 до 59 вавилонская система строилась по тому же принципу, что и в Египте. Но начиная с числа 60: один и тот же знак в зависимости от его позиции мог означать и 1, и 60, и 3600, а знак – и 10, и 600, и 36000. Такая система по своему типу была шестидесятиричной позиционной. Точнее, она была полупозиционной, так как не было знака для нуля; а знак для нуля появился, позднее, и не получил широкого распространения. Отсутствие знака для нуля было неудобно, но в задачах практического характера обычно по тексту было легко догадаться, каков порядок рассматриваемого числа.

Почему в Вавилоне в качестве основание системы счисления было выбрано число 60? Ответом на этот вопрос существует несколько гипотез. Наиболее распространенной представляется следующая. Население вавилонского царства было разнообразным, и вавилонская культура сложилась в результате слияния культур многих народов. следовательно, нужно было переводить меры одного народа в меры нескольких народов. Например, если у пяти народов применялись системы мер с основаниями 4, 5, 10, 12 и 20, то наиболее удобным числом для такого перевода было 60 – наименьшее общее кратное этих чисел.

Ш естидесятиричная система счисления распространялась и на дроби: знак мог означать так же или , а знак - = или .

Сложение и вычитание натуральных чисел и дробей выполнялись аналогично, как и в нашей десятичной позиционной системе. Для умножения и деления в Вавилоне широко применялись специальные таблицы.

Применялись следующие таблицы: таблицы умножения натуральных чисел (от чисел 1 1 до 59 59); таблица обратных чисел, с помощью которой деление заменялось умножением на число, обратное делителю; таблицы квадратов, кубов, квадратных и кубических корней и некоторые другие, таблица значений выражения n³ +n³.

Вавилоняне не владели в понятиями уравнения и неизвестного. Знаков действий и знаков равенства не применялись ни в арифметике, ни в алгебре. Также не рассматривались отрицательные и нулевые корни уравнений.

Для решения уравнения первого, второго и пятого типов применялись числовые таблицы – таблицы обратных чисел, умножения, квадратных и кубических корней. Для решения квадратных уравнений применялись алгоритмы.

В Вавилоне умели решать многие нетиповые уравнения и системы уравнений. Остановимся на других знаниях вавилонян по алгебре.

Вавилоняне были знакомы с арифметической и геометрической прогрессиями, они умели находить сумму членов арифметической и геометрической прогрессий (для геометрической прогрессии – только некоторых частных случаев). Они знали формулу суммы квадратов первых чисел натурального ряда. Вавилоняне умели извлекать квадратные корни по формуле.

,

где а и в - положительны, в - мало сравнительно с а. Самой этой формулы где и положительны, мало сравнительно с а. Самой этой формулы в явном виде мы в вавилонских текстах не найдем, но в таблице квадратных корней приводится, например, в качестве значения число 1 . Оно получено, вероятно, следующим образом:

(точное значение есть 1,4142).

Вавилоняне правильно вычисляли площадь прямоугольника, треугольника и трапеции, объем прямой призмы и прямоугольного кругового цилиндра. Длина окружности находилась по формуле 6R, а площадь круга - по формуле , где

Математики Вавилона были хорошо знакомы с подобием треугольников и с правильными многоугольниками. Им была известна и теорема Пифагора.

Они умели решать уравнение вида в натуральных числах, что связано с теоремой Пифагора. Позднее, такие прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами стали называть пифагоровыми. Уравнения решались с помощью формул

,

где а и в - любые натуральные числа, ав. Например, при а=4, в=3, получаем треугольник со сторонами х=7, у=24, z=25. В Вавилоне решались уравнения и в рациональных числах. Этот результат относится не только к геометрии, но и к теории чисел.

Вавилонская математика превосходила египетскую, несмотря на то, что Вавилон и Египет находились рядом и существовали почти в одно и тоже время. Но почему? Дело в том, что Египет был этнически однороден, а в Вавилоне было много народностей, которые внесли свой вклад в единую культуру Вавилонского царства. Вавилон находился на пересечении важнейших торговых путей Ближнего и Среднего Востока, и, поэтому, был хорошо знаком с культурой и наукой соседних государств, а Египет с его пустыней Сахарой торговые караваны обходили стороной.

Математика Древней Греции.

Математика стала настоящей наукой только у древних греков. Это было удивительно талантливый народ, у которого учатся многому даже спустя тысячи лет.

В древности Греция состояла из маленьких государств и поэтому каждый народ с окрестными деревнями был отдельным государством. Когда приходилось решать какой-нибудь государственный вопрос, греки собирались на площадь, обсуждали его, спорили, о том, как сделать лучше, а затем голосовали. Так как они были хорошими спорщиками, то таких собраниях им приходилось опровергать противников, рассуждать, доказывать свою точку зрения. Древние греки знали, что спор помогает найти самое лучшее, самое верное решение. Ими придумали такое изречение: «В споре рождается истина».

И в науке греки решили поступали так же, как на народном собрании. Они не только заучивали правила, но и доискивались причины: почему правильно делать так, а не иначе. Каждое правило греческие математики объясняли, доказывали, что оно верное. Стараясь найти в рассуждениях ошибки, они спорили друг с другом.

После доказательства одно правила – рассуждения вели к другому, более сложному, потом – к третьему, к четвертому. Из правил складывались законы, а из законов строилась наука математика.

Греческая математика семимильными шагами шла вперед, едва родившись. Греческой математике помогали чудесные сапоги-скороходы, которых у других народов не было. Сапоги-скороходы назывались «рассуждение» и «доказательство».

Письменность в Греции появилась в IX-VIII в. до н.э. Греки писали на папирусе, глиняных черепках и на дощечках, покрытых воском. Позже свои литературные и научные сочинения они стали писать на пергаменте – тщательно обработанной коже телят и ягнят.

Греческая нумерация была изобретена в IX-VII в. до н.э. в Аттике (полуостров древней Греции, где расположены Афины) и поэтому называлась аттической. Вот примеры записи натуральных чисел по этой системе:

Б уквы Г, , Н,Х,М – начальные буквы греческих слов, для чисел, 5,10,100,1000, 10000. Здесь хорошо видно, что система счисления была десятичной непозиционной. Она уступала вавилонской и была очень неудобна для письменных вычислений. Поэтому, греки при счете греки использовали абак. Он представлял собой доску, разграфленную на колонки, на которых раскладывались камешки по разрядному принципу.

Аттическая нумерация оказала большое влияние на римскую нумерацию, созданную по ее образцу. Абак также применялся и в Риме в качестве главного инструмента для счета, а в средние века абак примерялся во многих государств Западной Европы.

Позже , в IV-III в. до н.э. эта нумерация у древних греков сменилась – ионийской (Иония – область на побережье Малой Азии).

Ионийская система счисления была десятичной и непозиционной. В ней последовательные буквы греческого алфавита использовались для обозначения единиц от 1 до 9, десятков от 10 до 90 и сотен от 100 до 900. На числе 900 все буквы алфавита (включая три устаревшие, специально сохранившиеся для нумерации) исчерпывались.

В древней Греции первой научной школой была ионийская школа, которая существовала в VI в до н.э. в Ионии. Основателем этой школы Фалес Милетский, которого греки считали отцом греческой науки. Сам Фалес был выдающимся математиком, философом, и астрономом, а его школа была естественнонаучной и философской. Так как Фалес в молодости много путешествовал, и во время путешествий познакомился с математикой Египта и Вавилона. Позже он сам сделал важные математические открытия.

Фалес доказал следующие теоремы:

1. О равенстве вертикальных углов;

2. О том, что диаметр круга делит круг пополам;

3. О равенстве углов при основании равнобедренного треугольника;

4. О равенстве двух треугольников, имеющих равными сторону и два прилегающих угла;

5. О пересечении сторон угла параллельными прямыми (школьная теорема Фалеса) и др. Сами доказательства до нас не дошли.

В древней Греции, второй научной школой, более крупной была школа Пифагора, которая гораздо больше уделяло внимание математике. Школа Пифагора возникла в том же VI в. до н.э., но позже школы Фалеса.

Пифагор Самосский – самый крупный ученый VI в. до н.э. Родился он на острове Самос, Многие годы он провел в Египте и Вавилоне. Пифагор основал движение, расцвет которого приходится на период ок. 550-300 до н.э. Пифагорейцы создали чистую математику в форме геометрии и теории чисел. Они представляли целые числа в виде конфигурации из камешков или точек. Классифицировали эти числа в соответствии с формой возникающих фигур («фигурные числа»). Слово «калькуляция» (расчет, вычисление) начинается от греческого слова, означающего «камешек». Числа 3,6,10 и т.д. – они называли треугольными, так как число камешков можно разложить в виде треугольника, числа 4,9,16 и т.д. – квадратными, так как соответствующее число камешков можно разложить в виде квадрата и т.д.

Из самых простых геометрических конфигураций возникали свойства целых чисел. Так пифагорейцы обнаружили, что сумма двух последовательных треугольных чисел всегда равна квадратному числу.

Число, которое равно сумме всех своих собственных делителей, исключая само этого число, пифагорейцы называли совершенным. Примерами таких совершенных чисел могут служить целые числа: 6, 28, 496. Пифагорейцы называли два числа дружественными, если каждое из чисел, равно сумме делителей другого – такими числами являются числа - 220 и 284 – дружественные числа (и здесь само число исключается из собственных делителей).

Любое число для пифагорейцев представляло собой что-то большее, чем количественную величину. Число 2, согласно их точки зрения, означало различие и поэтому отождествлялось с их мнением. Четверка представляла справедливость, потому что это первое число, равное произведению двух одинаковых множителей.

Пифагорейцы также открыли, что сумма некоторых пар квадратных чисел есть квадратное число. Например, сумма 9 и 16 равна 25, а сумма 25 и 144 равна 169. Тройки чисел, такие как 3,4,5 или 5, 12, 13, называют пифагоровыми числами. Эти числа имеют геометрическую интерпретацию: если два числа из тройки приравнять к длинам катетам прямоугольного треугольника, то третье число будет равно длине его гипотенузе. Такое заключение, по-видимому, привело пифагорейцев к осознанию такого факта, известного современному обществу под названием теоремы Пифагора, согласно которой в любом прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

При рассмотрении прямоугольного треугольника с единичными катетами, пифагорейцы обнаружили, что длина его гипотенузы равна корню из двух, и это повергло их в смятение, ибо они тщетно пытались представить число в виде отношения двух целых чисел, что было крайне важно для их философии. Величины, непредставимые в виде отношения целых чисел, пифагорейцы назвали несоизмеримыми; современный термин – «иррациональные числа».

Огромный вклад в развитие древнегреческой математики внес Евклид. «Начала» Евклида являются самым выдающимся трудом во всей древнегреческой математике. В своих «Началах» Евклид использовал результаты своих многочисленных предшественников, которых можно было разделить на прямых и косвенных. К косвенным предшественникам Евклида можно отнести и двух философов – Платона и Аристотеля.

Одним из крупнейших философов IV в. до н.э был Платон. Платон основал в Афинах Академию – одновременно учебное и научное учреждение, в котором читались лекции и велись научные исследования. Платон в философии Платон был идеалистом и, хотя сам он не занимался математикой, но высоко ценил математику, так как она, по его мнению, развивала логическое мышление и давала примеры идей, не связанных с реальным миром. При входе в Академию была высечена надпись: «Пусть не входит сюда не обученный геометрии». Много известных математиков вышло из школы Платона. Двое из них (Леон и Фейдий) написали, значительно раньше Евклида, сочинение под названием «Начала»; в нем они, в частности, сформулировали некоторые аксиомы геометрии.

Некоторые крупные математики того времени, формально не входящие в Академию, были тесно с ней связаны.

Аристотель, один, из самых выдающихся философов IV в. до н.э., у которого нет чисто математических работ, но он является главным основоположником формальной логики. Аристотель читал лекции в «Ликее» - учебном заведении, основанном им в Греции.

Одним из крупнейших математиков IV в. до н.э (IV в. до н.э) являлся Евдокс Книдский. Он был так же выдающимся философом, географом, врачом и астрономом, оратором, возглавлял научную школу, которая имела свою собственную обсерваторию, в которой впервые в Греции велись астрономические наблюдения, впервые был составлен звездный каталог. С именем его именем связаны два важнейших открытия древнегреческой математики- построение теории пропорций для величин и создание метода исчерпывания. С пропорциями связывались такие представления: о красоте, порядке и гармонии, о созвучных аккордах в музыке. В «Началах» Евклида (III в. до н.э.), была подробно изложена теория отношений и пропорций где, в частности, показано доказательство основного свойства пропорции. Древние греки пользовались различными рычагами. Примерами рычагов могут служить: весло, лом, ножницы, качели, тачки и т.д. Выигрыш, который дает рычаг в определенном усилии, определяется пропорцией , где М и m – массы грузов, а L и l - «плечи» рычага.

Пропорция в природе, искусстве, архитектуре означает соблюдение в природе определенных соотношений между размерами отдельных частей растения, скульптуры, здания и также является непременным условием правильного и красивого изображения предмета.

«Божественной пропорцией» или золотым сечением древние математики и математики средневековья называли деление отрезка, при котором длина всего отрезка так относится к длине его большей части, как длина большей части к меньшей. Приближенно это отношение равно . Золотое сечение применяется чаще всего в произведениях искусства, архитектуре, встречается в природе.

Древнегреческий математик Евклид (III в. до н.э.) в своей книге «Начала», которая была на протяжении двух тысяч лет главным учебником математики, доказал, что простых чисел бесконечно множество, т.е. за каждым простым числом следует большее простое число. Для нахождения простых чисел другой греческий математик того же времени Эратосфен придумал следующий способ. Все числа от 1 до какого-то числа он записывал в таблицу, а потом вычеркивал единицу, так как она не является ни простым ни составным числом, затем вычеркивал через одно все числа, идущие после 2 (числа, кратные 2, т.е. 4,6,8 и т.д.). Первым оставшимся числом после 2 было 3. Далее вычеркивались через два все числа, идущие после 3 (числа, кратные 3, т. е. 6,9,12 и т.д.). В конце концов оставались не вычеркнутыми только простые числа. Так как в Греции для записи чисел использовались таблички, покрытые воском, а числа не вычеркивали, а выкалывали иглой, то таблицы в конце вычислений напоминало решето. Поэтому метод Эратосфена называют решетом Эратосфена: в котором «отсеиваются» простые числа от составных. Итак, простыми числами от 2 до 60 являются 17 чисел: 2,3,5,7,11,13,19, 23, 29,31, 37,41,43,47, 53,59. Таким же образом и в настоящее время составляют таблицы простых чисел, но с помощью вычислительных машин.

«Начала» Евклида состоит из 13 книг (глав). Из них планиметрии посвящены книги I-VI и X , стереометрии – книги XI-XIII, арифметике и теории чисел – остальные VII-IX. Многие книги начинаются с определений. В начале первой книги излагаются 5 постулатов и 5 аксиом. Затем в каждой книге следуют предложения; всего в началах 470 предложений. В одной из книг Евклида «Начала» показан метод отыскания наибольшего общего делителя, который в дальнейшем получил название алгоритм делителя Евклида.

Со временем греческая математика поменяла свой стиль. Вместе с работами по теоретической математики, характерными для IV в. до н.э., типа «Начал» Евклида начали появляться работы по прикладной математике, которые были связанны с вычислением площадей фигур, объемом тел, длин кривых и др. Одним из представителей этого прикладного направления в математике был Архимед.

Самые первые научные работы Архимеда относились к механике. Архимед открыл законы плавания тел, правило равновесия рычага, изобрел «архимедов винт» для подъема воды на поля и т.д. Его основные работы относятся к математике. Он написал следующие научные труды по математике: «Измерение круга», «О спиралях», «О ширине и цилиндре», «О квадратуре параболы». Архимед первым более точно вычислил знаменитое число , которое приближенно равно 3,1415926535…

В конце IV – начало V в. также в Александрии жила первая в истории женщина – математик - Гипатия. Она была профессором философии в Александрийском музее и занималась математическими исследованиями. Она известна как автор комментариев к Апполонию и Диофанту и читала лекции по математике и физике и славилась одаренной красотой, умом и безупречной жизнью.

Математика в древней Индии

В Индии математика зародилась примерно тогда же, когда и в Египте, - пять с лишним тысяч лет назад. К началу нашего летоисчисления индийцы уже были замечательными математиками. Кое в чем они даже обогнали древних греков. Однако Индия была оторвана от других стран, - на пути лежали тысячи километров расстояния и высокие горы.

Индийские ученые сделали одно из важнейших открытий в математике. Они изобрели позиционную систему счисления – способ записи и чтения чисел. Чтобы назвать большое число, индийцам приходилось после каждой цифры произносить название разряда. Это было громоздко, неудобно, и индийцы стали поступать иначе. Например, число 278396 читали, так, два, семь, восемь, три, девять, шесть, - сколько цифр - столько слов, а если в числе не было какого-нибудь разряда, как, например, в числах 206 или 7013, то вместо названия цифры говорили слово «пусто». Чтобы не получалось путаницы, при записи на месте «пустого» разряда ставили точку. Позднее вместо точки стали рисовать кружок, который на языке хинди назывался «сунья», что означает «пустое место». Арабские математики перевели это слово на свой язык. Вместо «сунья» они стали говорить «сифр», а это уже знакомое нам слово. Слово «цифра» по наследству от арабов досталась и нам.

Древние индийцы с их высокой интеллектуальностью их склонностью к абстрактному мышлению, естественно должны были занять ведущее положение в математике. Европа заимствовала начатки арифметики и алгебры у арабов (чем объясняется название - арабские цифры), а арабы, в свою очередь, заимствовали их у Индии.

Поразительные успехи, достигнутые индийцами в математике, сейчас хорошо известны, и признано, что основы современной арифметики и алгебры были заложены еще в Древней Индии. Примитивный метод использования абак и применение римских и подобных им цифр долгое время задерживал прогресс, пока, наконец, десять индийских цифр, включая, знак нуль, не освободили человеческий разум от этих ограничений и не показали в новом свете значение чисел. Эти цифровые обозначения были единственными в своем роде и полностью отличались от всех иных обозначений, которые применялись в других странах. Сейчас они получили широкое распространение, и мы принимаем их как должное, однако в свое время они создали условия для революционного прогресса. Понадобилось много веков, чтобы эти цифровые обозначения пришли из Индии через Багдад в западный мир.

Практическая часть

Перед тем, как провести классный час я провела анкетирование:

1. Интересуетесь ли вы историей математики?

2. Математика какого периода вас интересует?

3. Каких известных ученых-математиков древнего мира вы знаете?

В результате моего исследования получила такие результаты:

1. Интересуетесь ли вы историей математики?

1. Математика какого периода вас интересует?

1. Каких известных ученых-математиков древнего мира вы знаете?

Дружественные числа: 220 и 284

Делители числа 220: 1,2,4,5,10,11, 20,22,44,55, 110.

Делители числа 284: 1,2,4,71,142.

Сумма делителей числа 220: 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 равна 284.

Сумма делителей числа 284: 1+2+4+71+142 равна 220.

Совершенные числа

Совершенные числа – это натуральные числа, которые равны сумме всех своих делителей, кроме самого себя.

Первое самое меньшее совершенное число – 6.

1+2+3=6

Второе по старшинству совершенное число – 28.

1+2+4+7+14=28

Третье совершенное число – 496.

1+2+4+8+16+31+62+124+248=496

Решето Эратосфена

Задача.

Пожарную лестницу длиной l м приставили к окну дома. Нижний конец лестницы отодвинут от стены на а метров. На какой высоте (в метрах) расположено окно, если l=25 м, a=7 м?

Задача.

В треугольнике KFP KF=FP=25, медиана FM=24. Найдите площадь треугольника KPF.

Задача.

Двускатную крышу дома, имеющего в основании прямоугольник, необходимо полностью покрыть рубероидом. Высота крыши равна 6 м, длина стен дома – 18м и 16м. найдите сколько квадратных метров рубероида нужно для покрытия этой крыши, если скаты крыши равны.

Задача

От высотного дома до столба натянут провод, который крепится на высоте 10 м от земли. Расстояние от дома до столба 15 м. найдите длину провода, если высота дома равна 18 м. Ответ дайте в метрах.

Древний способ умножения двузначного числа на двузначное число.

37 32

74 16

148 8

296 4

592 2

1184 1

47 37 (*) 94 18

188 9 (*)

376 4

752 2

1504 1 (*)

Заключение

В ходе выполнения данной работы, мною были прочитаны, рассмотрены книги, справочники, энциклопедии и сайты об истории чисел и цифр. Я узнала, как люди научились считать, как и когда появились цифры, которые мы используем в нашей жизни.

В ходе исследования я установила, что арабская запись чисел 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 наиболее удобна и проста. На сегодняшний день параллельно с арабскими цифрами используются и римские (для обозначения размеров одежды, веков и др.)

Изучив историю возникновения цифр, я узнала, что арабские цифры были заимствованы арабами в Индии. Они передали данный способ записи в Европу.

Мое исследование показало, что учиться в древние времена было тяжелее, так как использовались более сложные счисления.

Список использованной литературы:

1. Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. Москва, 1959.

2. Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. Москва, 1986.

3. Депман И.Я. Возникновение системы мер и способов измерения величин. Москва, Учпедгиз, 1956.

4. Депман И.Я., Н.Я. Виленкин «За страницами учебника математики» Москва,1989.

5. Математический энциклопедический словарь. Москва «Советская энциклопедия», 1988.