Материализованный и внешнеречевой уровни сформированности деятельности в классе задач на арифметические зависимости

Материализованный и внешнеречевой уровни сформированности деятельности в классе задач на арифметические зависимости.

Материализованный уровень формирования деятельности представлен субъекту в форме конкретной задачи класса К₄.

Задача. Трёхзначное натуральное число записано в десятичной системе счисления. При делении суммы удвоенных первой и третей цифр на вторую получается третья цифра. Разность числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке равна 297. Двузначное число, записанное первой и второй цифрами на 15 меньше двузначного числа, записанного второй и третей цифрами. Найти натуральное число.

Решение задачи (последовательность действий):

1. Выделим динамические характеристики слагаемого из сотен:

- значение слагаемого из сотен («путь» )

- разряд («время»), t=2

- цифра разряда сотен («скорость»)

1. Выделим динамические характеристики слагаемого из десятков:

- значение слагаемого из десятков («путь» )

- разряд («время»), t=1

- цифра разряда десятков («скорость»)

1. Выделим динамические характеристики слагаемого из единиц:

- значение слагаемого из единиц («путь»)

- разряд («время»),t=0

- цифра разряда единиц («скорость»).

4. В относительно изолированном фрагменте задачи «При делении суммы удвоенных первой и третей цифр на вторую получается третья цифра» зафиксируем ситуацию I взаимной связи динамических характеристик для слагаемых из сотен, десятков, единиц (объектов 2, 1, 0).

1. В другом относительно изолированном фрагменте задачи: «Разность числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке равна 297» зафиксируем ситуацию II взаимной связи динамических характеристик для слагаемых из сотен, десятков, единиц (объектов 2, 1, 0):

1. В следующем относительно изолированном фрагменте задачи: «Двузначное число, записанное первой и второй цифрами на 15 меньше двузначного числа, записанного второй и третей цифрами» зафиксируем ситуацию III взаимной связи динамических характеристик для слагаемых из сотен, десятков, единиц (объектов 2, 1, 0):

1. Поставим цель – поиск неизвестных цифр разряда слагаемых из сотен, десятков, единиц на множестве {1,…,9}.

2. В качестве независимых переменных выберем переменные x – цифра разряда сотен, y - цифра разряда десятков, z - цифра разряда единиц, с учётом, что x, y, z{1,…,9}.

3. В установленной ситуации I с помощью введённых переменных фиксируем взаимные связи динамических характеристик слагаемых из сотен, десятков, единиц (объектов 2, 1, 0)

1. Охарактеризуем взаимную связь динамических характеристик ситуации I математической моделью – рациональным уравнением с тремя переменными: .

2. В установленной ситуации II с помощью введённых переменных фиксируем взаимные связи динамических характеристик слагаемых из сотен, десятков, единиц (объектов 2, 1, 0)

1. Охарактеризуем взаимную связь динамических характеристик ситуации II математической моделью – рациональным уравнением с тремя переменными:

(x∙10²+y∙10+z) − (z∙10²+y∙10+x) = 2∙10²+9∙10+7.

1. В установленной ситуации III с помощью введённых переменных фиксируем взаимные связи динамических характеристик слагаемых из сотен, десятков, единиц (объектов 2, 1, 0)

1. Охарактеризуем взаимную связь динамических характеристик ситуации III математической моделью – рациональным уравнением с тремя переменными:

(x∙10+y) + 15 = y∙10+ z.

1. Характеризуем неизвестные наборы значений переменных x, y, z как решение каждого из уравнений, и значит решения системы рациональных уравнений.

2. Строим математическую модель всех ситуаций данной задачи – систему трёх рациональных уравнений с тремя переменными:

(*)

1. Поставим задачу – решение системы (*) трёх рациональных уравнений с тремя переменными.

2. Актуализируем общий метод решения системы трёх рациональных уравнений с тремя переменными.

3. Решаем построенную систему (*) рациональных уравнений в соответствии с общим методом решения рациональных систем:

1. упрощаем второе уравнение системы:

1. упрощаем третье уравнение системы:

1. Из второго уравнения выразим x через z:

1. Из третьего уравнения выразим z:

1. Значение z подставим во второе уравнение и приведём подобные слагаемые:

1. Значение x подставим в третье уравнение и приведём подобные:

1. Значение z подставим в первое уравнение и решим его:

(y-5)∙y=2(y-2)+2(y-5)

y²-9y+14=0

y₁=2

y₂=7

(0,2,-3) - первое решение системы

(5,7,2) – второе решение системы

1. Так как x, y, z{1,…,9}, то набор (0,2,-3) не удовлетворяет условию задачи, а набор (5,7,2) удовлетворяет условию задачи.

2. В качестве решения задачи фиксируем набор (5,7,2) , который удовлетворяет условию исходной задачи с единицами измерения - цифра разряда.

3. В процессе решения задачи основными этапами являются:

1) описание каждой из трёх ситуаций на языке динамических характеристик

2) описание динамических характеристик переменными

3) построение уравнений в качестве математических моделей выделенных ситуаций

4) построение системы как математической модели задачи

5) решение системы и интерпретация значений

Анализ решения задачи позволяет установить следующую систему действий по решению всякой задачи на арифметические зависимости класса К₄ - общий способ решения:

1. Выделим динамические характеристики слагаемого из сотен .

2. Выделим динамические характеристики слагаемого из десятков.

3. Выделим динамические характеристики слагаемого из единиц.

4. В относительно изолированном фрагменте задачи зафиксируем ситуацию I взаимной связи динамических характеристик слагаемых из сотен, десятков, единиц.

5. В другом относительно изолированном фрагменте задачи зафиксируем ситуацию II взаимной связи динамических объектов слагаемых из сотен, десятков, единиц .

6. В следующем относительно изолированном фрагменте задачи зафиксируем ситуацию III взаимной связи динамических характеристик слагаемых из сотен, десятков, единиц.

7. Поставим цель – поиск неизвестных динамических характеристик (цифр разрядов) на зафиксированном множестве значений, удовлетворяющих каждой из трёх выделенных ситуаций.

8. В качестве независимых переменных x, y, z выберем одни и те же неизвестные динамические характеристики слагаемых из сотен, десятков, единиц.

9. В установленной ситуации I с помощью введённых переменных фиксируем взаимные связи динамических характеристик слагаемых из сотен, десятков, единиц.

10. Охарактеризуем взаимную связь динамических характеристик ситуации I математической моделью – рациональным уравнением с тремя переменными.

11. В установленной ситуации II с помощью введённых переменных фиксируем взаимные связи динамических характеристик слагаемых из сотен, десятков, единиц.

12. Охарактеризуем взаимную связь динамических характеристик ситуации II математической моделью – рациональным уравнением с тремя переменными.

13. В установленной ситуации III с помощью введённых переменных фиксируем взаимные связи динамических характеристик слагаемых из сотен, десятков, единиц.

14. Охарактеризуем взаимную связь динамических характеристик ситуации III математической моделью – рациональным уравнением с тремя переменными.

15. Характеризуем неизвестные наборы значений переменных как решение каждого из уравнений, и значит решения системы рациональных уравнений.

16. Строим математическую модель всех ситуаций данной задачи – систему трёх рациональных уравнений с тремя переменными.

17. Поставим задачу – решение системы трёх рациональных уравнений с тремя переменными.

18. Актуализируем общий метод решения системы трёх рациональных уравнений с тремя переменными.

19. Решаем построенную систему рациональных уравнений в соответствии с общим методом решения рациональных систем.

20. Интерпретируем все решения системы в содержании данной задачи.

21. В качестве решения задачи фиксируем те наборы значений, которые удовлетворяют условию исходной задачи с указанием единиц измерения.

22. В процессе решения задачи основными этапами являются:

1) описание каждой из трёх ситуаций на языке динамических характеристик

2) описание динамических характеристик переменными

3) построение уравнений в качестве математических моделей выделенных ситуаций

4) построение системы как математической модели задачи

5) решение системы и интерпретация значений

Внешнеречевой уровень сформированности деятельности в классе задач К₄ на арифметические зависимости характеризуется включённостью общего способа деятельности вместе с процессом его конкретизации в системе следующих задач:

1. Выделить общий метод решения в классе задач К₄ на арифметические зависимости (трёхзначные числа в десятичной системе счисления).

2. Провести конкретизацию каждого действия общего способа решения в содержании следующей задачи:

Задача: Трёхзначное натуральное число записано в десятичной системе счисления. При делении числа на двузначное, записанное последними двумя цифрами, в частном получается 14 и в остатке 11. Разность квадрата первой цифры и суммы квадратов двух последних цифр равна 30. Разность двузначного числа, записанного первыми двумя цифрами и двузначного числа, записанного последними двумя цифрами равна 32. Найти натуральное число.

Решение:

1. о. Выделим динамические характеристики слагаемого из сотен.

к. Выделим динамические характеристики слагаемого из сотен:

- значение слагаемого из сотен («путь»)

- разряд («время»), t=2

- цифра разряда сотен («скорость»)

1. о. Выделим динамические характеристики слагаемого из десятков.

к. Выделим динамические характеристики слагаемого из десятков:

- значение слагаемого из десятков («путь»)

- разряд («время»), t=1

- цифра разряда десятков («скорость»)

1. о. Выделим динамические характеристики слагаемого из единиц.

к. Выделим динамические характеристики слагаемого из единиц:

- значение слагаемого из единиц («путь»)

- разряд («время»),t=0

- цифра разряда единиц («скорость»).

1. о. В относительно изолированном фрагменте задачи зафиксируем ситуацию I взаимной связи динамических характеристик слагаемых из сотен, десятков, единиц.

к. В относительно изолированном фрагменте задачи «при делении числа на двузначное, записанное последними двумя цифрами, в частном получается 14 и в остатке 11" зафиксируем ситуацию I взаимной связи динамических характеристик для слагаемых из сотен, десятков, единиц.

1. о. В другом относительно изолированном фрагменте задачи зафиксируем ситуацию II взаимной связи динамических характеристик слагаемых из сотен, десятков, единиц.

к. В относительно изолированном фрагменте задачи «разность квадрата первой цифры и суммы квадратов двух последних цифр равна 30» зафиксируем ситуацию II взаимной связи динамических характеристик для слагаемых из сотен, десятков, единиц.

6. о. В следующем относительно изолированном фрагменте задачи зафиксируем ситуацию III взаимной связи динамических характеристик слагаемых из сотен, десятков, единиц.

к. В относительно изолированном фрагменте задачи «разность двузначного числа, записанного первыми двумя цифрами и двузначного числа, записанного последними двумя цифрами равна 32» зафиксируем ситуацию III взаимной связи динамических характеристик для слагаемых из сотен, десятков, единиц.

1. о. Поставим цель – поиск неизвестных динамических характеристик (цифр разряда) на зафиксированном множестве значений, удовлетворяющих каждой из трёх выделенных ситуаций.

к. Поставим цель – поиск неизвестных цифр разряда слагаемых из сотен, десятков, единиц на множестве {1,...,9}.

1. о. В качестве независимых переменных x, y, z выберем одни и те же неизвестные динамические характеристики слагаемых из сотен, десятков, единиц.

к. В качестве независимых переменных выберем x – цифра разряда сотен, y – цифра разряда десятков, z - цифра разряда единиц, с учётом, что x, y {1,...,9}, z {0,..,9}.

1. о. В установленной ситуации I с помощью введённых переменных фиксируем взаимные связи динамических характеристик слагаемых из сотен, десятков, единиц.

к. В установленной ситуации I с помощью введённых переменных фиксируем взаимные связи динамических характеристик слагаемых из сотен, десятков, единиц:

1. о. Охарактеризуем взаимную связь динамических характеристик ситуации I математической моделью – рациональным уравнением с тремя переменными.

к. Охарактеризуем взаимную связь динамических характеристик ситуации I математической моделью – рациональным уравнением с тремя переменными:

x∙10² + y∙10 + z = (y∙10 + z)∙(1∙10 + 4) + (1∙10 + 1)

1. о. В установленной ситуации II с помощью введённых переменных фиксируем взаимные связи динамических характеристик слагаемых из сотен, десятков, единиц.

к. В установленной ситуации II с помощью введённых переменных фиксируем взаимные связи динамических характеристик слагаемых из сотен, десятков, единиц:

1. о. Охарактеризуем взаимную связь динамических характеристик ситуации II математической моделью – рациональным уравнением с тремя переменными.

к. Охарактеризуем взаимную связь динамических характеристик ситуации II математической моделью – рациональным уравнением с тремя переменными:

x² - (y²+z²) = 30

1. о. В установленной ситуации III с помощью введённых переменных фиксируем взаимные связи динамических характеристик слагаемых из сотен, десятков, единиц.

к. В установленной ситуации III с помощью введённых переменных фиксируем взаимные связи динамических характеристик слагаемых из сотен, десятков, единиц:

1. о. Охарактеризуем взаимную связь динамических характеристик ситуации III математической моделью – рациональным уравнением с тремя переменными.

к. Охарактеризуем взаимную связь динамических характеристик ситуации III математической моделью – рациональным уравнением с тремя переменными:

(x∙10 + y) – (y∙10 + z) = 32

1. о. Характеризуем неизвестные наборы значений переменных как решение каждого из уравнений, и значит решения системы рациональных уравнений.

к. Характеризуем неизвестные наборы значений переменных как решение каждого из уравнений, и значит решения системы рациональных уравнений.

1. о. Строим математическую модель всех ситуаций данной задачи – систему трёх рациональных уравнений с тремя переменными.

к. Строим математическую модель всех ситуаций данной задачи – систему трёх рациональных уравнений с тремя переменными.

(*)

1. о. Поставим задачу – решение системы трёх рациональных уравнений с тремя переменными.

к. Поставим задачу – решение системы (*) трёх рациональных уравнений с тремя переменными.

1. о. Актуализируем общий метод решения системы трёх рациональных уравнений с тремя переменными.

к. Актуализируем общий метод решения системы трёх рациональных уравнений с тремя переменными.

1. о. Решаем построенную систему рациональных уравнений в соответствии с общим методом решения рациональных систем.

к. Решаем построенную систему (*) рациональных уравнений в соответствии с общим методом решения рациональных систем:

1. о. Интерпретируем все решения системы в содержании данной задачи.

1. о. В качестве решения задачи фиксируем те наборы значений, которые удовлетворяют условию исходной задачи с указанием единиц измерения.

1. В процессе решения задачи основными этапами являются:

1) описание каждой из трёх ситуаций на языке динамических характеристик

2) описание динамических характеристик переменными

3) построение уравнений в качестве математических моделей выделенных ситуаций

4) построение системы как математической модели задачи

5) решение системы и интерпретация значений

14