Математические исследования Омара Хайяма

Омар Хайям

Историческая справка

Омар Хайям Уроженец города Нишапура в Хорасане. Омар был сыном палаточника, также у него была младшая сестра Аиша. В 12 лет Омар стал учеником Нишапурской средней школы. Он блестяще закончил курс по мусульманскому праву и медицине получив квалификацию хакима, то есть врача. В возрасте шестнадцати лет Хайям потерял отца и мать из-за эпидемии. После Омар продал отцовский дом и мастерскую и отправился в Самарканд. В то время это был признанный на Востоке научный и культурный центр. В Самарканде Хайям становится вначале подмастерьем одного из учителей, но после нескольких выступлений на диспутах он настолько поражает всех своей учёностью, что его повышают до ранга наставника

Успехи Омара Хайяма

В 1074 году его пригласили в Исфахан, ко двору сельджукского султана Мелик-шаха I, где Омар становится духовным наставником султана. Через два года Мелик-шах назначил его руководителем дворцовой обсерватории, одной из крупнейших в мире. Работая на этой должности, Омар Хайям не только продолжал занятия математикой, но и стал известным астрономом. С группой учёных он разработал солнечный календарь, более точный, чем григорианский. Составил «Маликшахские астрономические таблицы», включавшие небольшой звездный каталог. Здесь же написал «Комментарии к трудностям во введениях книги Евклида».

Омар Хайям - математик

• Я познание сделал своим ремеслом,
• Я знаком с высшей правдой и низменным злом
• Все тугие узлы я распутал на свете.
• Кроме смерти, завязанной мертвым узлом .

Первый математический трактат Омара Хайяма «Трудности арифметики» пока не обнаружен. Из других работ известно, что он содержит сведения о разработанном Хайямом общем приеме извлечения корня любой степени с натуральным показателем «методом индийцев», т. е. с помощью правил ( a + b ) 2 и (а + b ) 3 . Основываясь на известных фактах, ученые предполагают, что Хайям открыл формулу возведения двучлена а + b в степень n .

(К сожалению, результаты работы математиков Востока не были известны в Европе до XVII в., поэтому их пришлось открывать заново.)

• Омар Хайям дал полную классификацию кубических уравнений, имеющих положительные корни. Он выделил 19 классов; из них 5 сводятся к линейным и квадратным (ах 3 = сх 2 , ах 3 = b х и др.). Для остальных 14 классов (ах 3 = а, ах 3 + b х = а и т. д.) Хайям указал метод решения с помощью конических сечений - параболы, равносторонней гиперболы, окружности. Например, он указывал, что при любых значениях а и b уравнение х 3 + b х = а имеет единственный положительный корень.
• (Теория решения кубических уравнений с помощью конических сечений была развита в Европе в XVII в. Декартом и другими учеными, которые не были знакомы с трудами О. Хайяма.)

Трактат О. Хайяма «Комментарии к трудным постулатам книги Евклида» написан им в 1077 году.

Первая часть посвящена теории параллельных линий. Он пытается разобраться с V постулатом Евклида. Мы знаем, что Евклид, живший примерно 365-300гг. до н.э. в своём знаменитом сочинении «Начало» изложил свой подход к построению геометрии. То есть сначала формулируются исходные положения - аксиомы, а затем на их основе путём логических рассуждений, доказываются другие утверждения.

Пятый постулат Евклида звучит так:

Через точку, не лежащую на данной

прямой, можно провести только

одну прямую, параллельную данной.

Многие математики, начиная с древних времён, предпринимали попытки доказать V постулат Евклида. Однако эти попытки каждый раз оказывались неудачными.

И лишь в XIX веке великий русский математик Николай Иванович Лобачевский доказал, что это утверждение нельзя доказать, а значит оно является аксиомой.

Стремясь доказать V постулат Евклида, Хайям сформулировал принцип:

«Две сходящиеся прямые пересекаются, и невозможно, чтобы две сходящиеся прямые расходились в направлении схождения». Используя свой принцип, Омар Хайям доказал V постулат.

И это в XI веке!

Несколько слов еще об одном трактате Омара

Хайяма - «Об искусстве определения

количества золота и серебра в состоящем

из них теле» . В нем рассмотрена известная

классическая задача, решенная Архимедом.

О своих занятиях наукой Омар Хайям пишет так:

О взаимосвязи геометрии с арифметикой Омар Хайям пишет так: «Геометрия нуждается в числах» . Этим он предвосхитил Декарта, создавшего аналитическую геометрию.

Не была познанья жажда чуждой сердца моего,

Мало тайн осталось в мире, недоступных для него.

Астрономия

Омар Хайям ввел в новый календарь високосные годы продолжительностью 366 дней каждые пять лет. Средняя продолжительность года была определена Омаром Хайямом в 365,2424 дня. Ошибка в расчетах его календаря составляла один день за 5000 лет. Точность этого календаря, названного "летоисчислением Малики", превышает точность современного григорианского календаря в 1,5 раза. Омар Хайям написал знаменитые астрологические альманах-таблицы "Зидж-Малик-шахи", которыми пользовались многие арабские астрологи. В нем были не только положения планет и звезд, но и астрологические трактовки их воздействия.

Алгебра

В ранних работах, посвящённых кубическим уравнениям, Омар Хайам обнаружил, что кубическое уравнение может иметь более одного решения и утверждал, что уравнение не может быть решено с помощью циркуля и линейки. Он также нашёл геометрическое решение кубического уравнения.  По сути Омар Хайам открыл или заложил фундамент открытия комплексных чисел.

Геометрическое решение кубического уравнения

Как показано на графике, для решения уравнения третьей степени , где  Омар Хайям построил параболу и окружность, имеющую в качестве диаметра отрезок положительной полуоси  x , и вертикальную прямую, проходящую через пересечение параболы и окружности. Решение определяется длиной горизонтального отрезка от начала координат до пересечения вертикальной прямой с осью  x .

Вывод

Омар Хайям внёс огромный вклад в развитие алгебры и астрологии. Именно благодаря этому гению были подробно изучены кубические уравнения и, в следствии, открыты комплексные числа, и заложены основы алгебры, как науки.