Материал для учащихся 10 класса по алгебре и началам математического анализа.Примеры решения иррациональных, логарифмических и тригонометрических уравнений.

Содержание.

1. Иррациональные уравнения……………………………………………….4

1. 1.1. Метод подстановки…………………………………………………4

1.2. Метод оценки левой и правой частей уравнения…………………5

1. Применение монотонности функции………………………………6

2. Использование геометрического смысла определенного интеграла……7

3.Логарифмические уравнения………………………………………………8

3.1. Метод оценки левой и правой частей уравнения…………………….8

3.2. Применение монотонности функции…………………………………9

3.3. Некоторые “интересные” логарифмические уравнения…………….9

4. Тригонометрические уравнения…………………………………………..10

1. 4.1. Метод оценки левой и правой частей уравнения……………………10

1. Уравнения, связанные с тригонометрическими уравнениями.……..11

1. Решение иррациональных уравнений.

1. Метод подстановки.

1.1.1 Решите уравнение .

Заметим, что знаки х под радикалом различные. Введем обозначение

, .

Тогда,

Выполним почленное сложение обеих частей уравнения .

Имеем систему уравнений

Т.к. а + в = 4, то

Значит: 9 – x = 8  х = 1. Ответ : х = 1.

1.1.2. Решите уравнение .

Введем обозначения: , ; , .

Значит:

Сложив почленно левую и правую части уравнений, имеем .

Имеем систему уравнений

а + в = 2, , , ,

.

Вернемся к системе уравнений:

, .

Решив уравнение относительно (ab), имеем ab = 9, ab = -1 (-1 посторонний корень, т.к. , .).

Данная система не имеет решений, значит, исходное уравнение также не имеет решения.

Ответ : нет решений.

1. Решите уравнение: .

Введем обозначение , где . Тогда ,.

, ,

.

Рассмотрим три случая:

1) . 2) . 3) .

- а + 1 - а + 2 = 1, а - 1 - а + 2 = 1, а - 1 + а - 2 = 1, a = 1, 1  [ 0;1 ). [ 1 ; 2 ). а = 2.

Решение: [ 1 ; 2 ].

Если , то , , .

Ответ: .

1.2. Метод оценки левой и правой частей (метод мажорант).

Метод мажорант – метод нахождения ограниченности функции.

Мажорирование – нахождение точек ограничения функции. М – мажоранта.

Если имеем f(x) = g(x) и известно ОДЗ, и если

, , то

1. Решите уравнение: .

ОДЗ: .

Рассмотрим правую часть уравнения.

Введем функцию . Графиком является парабола с вершиной А(3 ; 2 ).

Наименьшее значение функции у(3) = 2, то есть .

Рассмотрим левую часть уравнения.

Введем функцию . С помощью производной нетрудно найти максимум функции, которая дифференцируема на x  ( 2 ; 4 ).

.

при ,

,

, x=3.

g` + -

2 3 4

g

max

g(3) = 2.

Имеем, .

В результате , , то

Составим систему уравнений , исходя из вышеуказанных условий :

Решая первое уравнение системы , имеем х = 3. Подстановкой этого значения во второе уравнение, убеждаемся, что х = 3 есть решение системы.

Ответ: х = 3.

1.3. Применение монотонности функции.

1.3.1. Решите уравнение :

ОДЗ : , т.к .  .

Известно, что сумма возрастающих функций есть функция возрастающая.

Левая часть представляет собой возрастающую функцию. Правая часть – линейная функция (к=0). Графическая интерпретация подсказывает, что корень единственный. Найдем его подбором, имеем х = 1.

Доказательство:

Предположим имеется корень х₁ , больший 1, тогда выполняется

, т.к. х₁ 1,

,

,

.

.Делаем вывод, что корней больших единицы нет.

Аналогично, можно доказать, что нет корней, меньших единицы.

Значит x=1 – единственный корень.

Ответ: x = 1.

1.3.2. Решите уравнение:

ОДЗ: [ 0,5 ; + ), т.к . т.е. .

Преобразуем уравнение ,

,

.

Левая часть представляет собой возрастающую функцию ( произведение возрастающих функций ), правая часть – линейная функция ( к = 0). Геометрическая интерпретация показывает, что исходное уравнение должно иметь единственный корень, который можно найти подбором, х = 7.

Проверка:

Можно доказать, что других корней нет( см. пример выше).

Ответ: х = 7.

2. Использование геометрического смысла определенного интеграла.

2.2 . Вычислите :

ОДЗ: x[-1 ; 7 ].

Выполним замену , при .

,

,

,

.

Используем геометрический смысл определенного интеграла. Криволинейной трапецией, площадь которой равна , является полукруг радиуса 4 и центром в точке (3;0), ограниченный осью абсцисс и графиком функции . Его площадь равна .

(Sкруга =, то Sполукр. ).

Ответ : 8

Для самостоятельной работы.

2.2. Вычислите Отв.: 4,5.

2.3. Вычислите Отв.: 2.

2.4. Вычислите Отв.: 4,5.

2.5. Вычислите Отв.: 2.

2.6. Вычислите Отв.:2.

2.7. Вычислите Отв.: 0,5.

1. Логарифмические уравнения.

   1. Метод оценки левой и правой частей.

3.1.1. Решите уравнение: log₂ (2х - х² + 15 ) = х² - 2х + 5.

Дадим оценку левой части уравнения.

2х - х² + 15 = - (х² - 2х - 15 ) = - ( ( х² - 2х + 1 ) - 1 - 15 ) = - ( х - 1 ) ² + 16 16.

Тогда log₂ (2х - х² + 15 )  4.

Оценим правую часть уравнения.

x² - 2х + 5 = (х² - 2х + 1 ) - 1 + 5 = (х - 1) ² + 4  4.

Исходное уравнение может иметь решение только при равенстве обеих частей четырем.

значит

Ответ: х = 1.

Для самостоятельной работы.

3.1.2. log₄ (6х - х ² + 7 ) = х² - 6х + 11 Отв.: х = 3.

3.1.3. log₅ ( 8x - x ² + 9 ) = x² - 8x + 18 Отв.: х = 6.

3.1.4. log₄ (2x - x ² + 3 ) = x ² - 2x + 2 Отв.: х = 1.

3.1.5. log₂ ( 6x - x² - 5 ) = x ² - 6x + 11 Отв.: х = 3.

3.2. Использование монотонности функции, подбор корней.

3.2.1. Решите уравнение : log₂ (2х - х² + 15 ) = х² - 2х + 5.

Выполним замену 2x - x ² + 15 = t, t0. Тогда x² - 2x + 5 = 20 - t, значит

log₂ t = 20 - t .

Функция y = log₂ t - возрастающая, а функция y = 20 - t - убывающая. Геометрическая интерпретация дает нам понять, что исходное уравнение имеет единственный корень, который нетрудно найти подбором t = 16.

Решив уравнение 2х - х² + 15 = 16, находим, что х = 1.

Проверкой убеждаемся в верности подобранного значения.

Ответ: х = 1.

3.3. Некоторые “интересные” логарифмические уравнения.

3.3.1. Решите уравнение .

ОДЗ: ( x - 15 ) cosx 0.

Перейдем к уравнению

, , ,

.

Перейдем к равносильному уравнению

(x - 15) (cos² x - 1) = 0,

x - 15 = 0, или cos² x = 1 ,

x = 15. cos x = 1 или cos x = -1,

x = 2 k, kZ . x =  + 2l, lZ.

Проверим найденные значения, подставив их в ОДЗ.

1) если x = 15 , то (15 - 15) cos 15 0,

0 0, неверно.

x = 15 – не является корнем уравнения.

2) если x = 2k, kZ, то (2 k - 15) l 0,

2k 15, заметим, что 15  5. Имеем

k 2,5 , kZ,

k = 3, 4, 5, … .

3) если x =  + 2l, lZ, то ( + 2l - 15 ) ( - 1 ) 0,

 + 2l

2l , заметим, что 15  5 .

Имеем: l

l = 1, 0 , -1, -2,… .

Ответ: х = 2k (k = 3,4,5,6,…); х =  +21(1 = 1,0, -1,- 2,…).

4.Тригонометрические уравнения.

4.1. Метод оценки левой и правой частей уравнения.

4.1.1. Решите уравнение cos3x cos2x = -1.

Первый способ..

0,5 ( cos x + cos 5x ) = -1, cos x + cos 5x = -2.

Поскольку cos x  - 1 , cos 5x  - 1, заключаем,­ что cos x + cos 5x -2, отсюда

следует система уравнений

cos x = -1,

cos 5x = - 1.

Решив уравнение cos x = -1, получим х =  + 2к ,где kZ.

Эти значения х являются также решениями уравнения cos 5x = -1, т.к.

cos 5x = cos 5 ( + 2k) = cos ( + 4 + 10k) = -1.

Таким образом , х =  + 2к , где kZ , - это все решения системы, а значит и исходного уравнения.

Ответ: х =  ( 2k + 1 ), kZ.

Второй способ.

Можно показать, что из исходного уравнения следует совокупность систем

cos 2x = - 1,

cos 3x = 1.

cos 2x = 1,

cos 3x = - 1.

Решив каждую систему уравнений , найдем объединение корней.

Ответ: x = ( 2к + 1 ), kZ.

Решите уравнения:

4.1.2. 2 cos 3x + 4 sin x/2 = 7. Ответ: нет решений.

4.1.3. 2 cos 3x + 4 sin x/2 = -8. Ответ: нет решений.

4.1.4. 3 cos 3x + cos x = 4. Ответ: х = 2к, kZ.

4.1.5. sin x sin 3 x = -1. Ответ: х = /2 + к, kZ.

4.1.6. cos⁸ x + sin⁷ x = 1. Ответ: х = m, mZ; х = /2 + 2n, nZ.

4.1.7. cos 3x + cos 5x/2 = 2.

Поскольку  cos 3x   1 и cos 5x/2  1 , то данное уравнение равносильно системе

cos 3x = 1, x = 2n / 3,

cos 5x/2 = 1; x = 4k / 5.

Ответ: 4m, mZ.

4.1.8. cos 2x + cos 3 x / 4 - 2 = 0. Ответ: 8к, kZ .

4.1.9. cos²(2 x + /3 ) + cos²(  / 12 - x ) = 0. Ответ: 7/12 + к, kZ.

4.1.10. cos 6x + sin 5x / 2 = 2. Ответ:  + 4к, kZ.

4.2. Уравнения, связанные с тригонометрическими уравнениями.

1. Решите уравнение  х + 5 sin x = x + 5.

Данное уравнение равносильно совокупности систем

x  - 5, или x

( x + 5 ) ( sin x - 1 ) = 1. ( x + 5 ) ( sin x + 1 ) = 0.

Решением первой системы является Решением второй системы являются

х = -5, а также корни уравнения корни уравнения sin x = -1

sin x = 1, удовлетворяющие удовлетворяющие условию

условию x  -5,т.е. х

sin x = 1, sin x = -1,

x = /2 + 2k, k  Z. x = - /2 + 2m, mZ.

/2 + 2k  -5, полагая - /2 + 2m

-5  5/3 , имеем -5  -5/3, имеем

/2 + 2к  - 5 /3, - /2 + 2m /3,

2к  -5/3 - /2, m Z.

к  -13/12, k  Z. m = -1 ,-2, -3,… .

к = -1, 0, 1, … .

Ответ: -5; /2 + 2к ( к = -1, 0, 1 ,…); -/2 + 2m ( = -1, -2, -3,…).

Для самостоятельного решения.

4.2.2.  х + 3  sin x = х + 3. Ответ: -3, /2 + 2к ( к = 0, 1, 2, …),

-/2 + 2m ( m = -1, -2, -3,…) .

4.2.3. 2 x - 6  cos x = x - 6. Ответ: 6, 4/3, 7/3, + /3 + 2к ( к = 2, 3, 4,…),

2/3 + 2m ( m = 0, -1, -2, …).

4.2.4. .

О Д З : ( x + 18 ) cos x  0.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

, =0.

Решим данное уравнение.(cosx  0,см. ОДЗ).

cos² x (x + 18) - (x + 18) = 0,

(cos² x - 1) (x + 18 ) = 0,

cos x = + 1, cos x = - 1, или x = - 18.

x = 2k, k  Z. x =  + 2m, m  Z.

Произведем отбор корней в соответствии с О Д З.

1) х = -18, ( 18 + 18 ) cos 18  0, cos 18  0 ( заметим, что угол, выраженный в радианах, принадлежит четвертой четверти, 18  5,7 ).

cos 18  0 - верно.

2) х = 2к, (2k + 18 ) cos2k  0,

т.к. cos 2k = 1, то

2k  - 18,

2k  - 5,7 ,

k  - 2,85

k = -2,-1, 0, 1,… .

3) х =  + 2m, ( + 2m + 18 ) cos ( + 2m )  0,

т.к. cos ( + 2m ) = -1, то

 +2m + 18  0,

 +2m  - 18,

2m  - 5,7  - ,

m  -3,35

m = -4, -5 , -6,… .

Ответ: - 18, 2к, к = -2, -1, 0, 1 ,…;  + 2m, m = -4, -5, -6, -7,… .