Механические колебания

22.10.2024

Механические колебания

Колебание — это изменение какой-либо физической величины, которое точно или приблизительно повторяется через определенные промежутки времени.

Повторяющиеся через равные промежутки времени

движения, при которых тело многократно и в разных

направлениях проходит положение равновесия,

называются механическими колебаниями .

Условия возникновения механических колебаний

• Вывести тело из положения устойчивого

равновесия.

• Должна возникнуть сила, стремящаяся

вернуть тело к положению равновесия

• Сила трения должна быть мала.

Незатухающие колебания возможны лишь при отсутствии трения.

затухающие

незатухающие

Виды механических колебаний

автоколебания

свободные

вынужденные

Колебания, возникающие в

системе под действием

внутренних сил

Незатухающие колебания, которые

могут существовать в системе

без воздействия на нее внешних периодических сил, за счет источника

энергии

Колебания, совершаемые

телами под

действием внешних

периодически

меняющихся сил

• Движение качелей  после однократного толчка. 
• Колебания груза на пружине  после её растяжения.
• Колебания струны  после её отклонения.
• Ветка дерева

Колебания маятника часов  за счёт постоянного действия тяжести заводной гири.

Колебание воздушного столба в трубе органа  при равномерной подаче воздуха в неё. 

Голосовые связки  при разговоре или пении.

Колебание иглы в швейной машинке

Колебания грудной клетки человека под действием периодических сокращений дыхательных мышц

Закон сохранения механической энергии

Величины, характеризующие колебательное движение

• Смещение – это отклонение колеблющейся точки от положения равновесия в данный момент времени.

X – смещение – [м]

Величины, характеризующие колебательное движение

2. Наибольшее (по модулю) отклонение колеблющегося тела от положения равновесия называется амплитудой колебаний .

(А , максимальное смещение от положения равновесия . )

[A] – м.

Величины, характеризующие колебательное движение

3. Период колебаний – время, в течении которого совершается одно

полное колебание. (T)

[T] - c

T

T – период колебаний, t- время, N – число колебаний

Величины, характеризующие колебательное движение

4. Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний .[ ν ] - Гц

ν

N = ν*t

t- время, N – число колебаний, ν – частота колебаний, Т – период колебаний.

Величины, характеризующие колебательное движение

5. Циклическая частота )— это величина, в 2π раз большая частоты.

Физический смысл циклической частоты заключается в том, что она показывает, какое число колебаний совершается за 2π секунд.

[] –

=2 

 – циклическая частота, Т – период колебаний, ν – частота колебаний

Величины, характеризующие колебательное движение

6. Физическая величина, которая показывает отклонение точки от положения равновесия в данный момент времени, называется фазой колебаний .

[φ] – рад.

φ=ωt

Таким образом,  колебательное движение характеризуется амплитудой, частотой (или периодом) и фазой .

Уравнение движения груза, подвешенного на пружине

Проекция ускорения тела прямо пропорционально его координате

взятой с противоположным знаком.

Уравнение свободных колебаний пружинного маятника

Уравнение свободных колебаний математического маятника

В природе и технике широко распространены колебания, называемые  гармоническими .

Гармоническими являются колебания, при которых изменения физических величин происходят по закону синуса или косинуса.

Уравнение гармонического колебания

x – координата колеблющегося тела -смещение тела от положения равновесия в данный момент времени

A – амплитуда колебания

• - циклическая частота

t – время

 0 - начальная фаза

x = A cos (  t +  0 ) x = A sin (  t +  0 )

Графиком гармонического колебания является синусоида

(или косинусоида). По графику колебаний можно определить все

характеристики колебательного движения.

косинусоида

синусоида

График косинуса в начальный момент имеет максимальное значение, а

график синуса имеет в начальный момент нулевое значение.

Если колебание начинаем исследовать из положения равновесия, то колебание

будет повторять синусоиду. Если колебание начинаем рассматривать из положения максимального отклонения, то колебание опишет косинус. Или такое колебание

можно описать формулой синуса с начальной фазой  0 = .

Задача

Найти: x, A, T,  ,  , 

Амплитуда

По графику T= 4c , A= 5м

Период колебаний

Частота колебаний

Циклическая частота

С помощью формул:  =  =2  = 2  *0,25 = 0,5  x=A sin (  t+  0 ) = 5sin(0,5  t)

Начальная фаза

Амплитуда – это максимальное отклонение от горизонтальной оси либо вверх, либо вниз. Горизонтальная ось проходит через уровень нуля на оси, на которой отмечены амплитуды.

Период колебаний – это горизонтальное расстояние между двумя похожими точками на графике

Удобно определять период, как расстояние между двумя соседними вершинами, либо между двумя впадинами

Частные случаи колебаний

Математический маятник — это материальная точка, подвешенная на длинной невесомой и нерастяжимой нити. Математический маятник — модель обычного (реального) маятника, представляющего собой небольшое тело, подвешенное на длинной нити.

Частные случаи колебаний

Математический маятник — это материальная точка, подвешенная на длинной невесомой и нерастяжимой нити. Математический маятник — модель обычного (реального) маятника, представляющего собой небольшое тело, подвешенное на длинной нити.

Частные случаи колебаний

Пружинный маятник — это колебательная система, состоящая из МТ массой m и пружины жесткостью k.

Скорость гармонических колебаний Скорость гармонических колебаний есть первая производная координаты по времени:

где ​ v ​ – мгновенное значение скорости, т. е. скорость в данный момент времени.

Амплитуда скорости  – максимальное значение скорости колебаний, это величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

Ускорение гармонических колебаний

Ускорение гармонических колебаний есть первая производная скорости по времени:

где ​ a ​ – мгновенное значение ускорения, т. е. ускорение в данный момент времени.

Амплитуда ускорения  – максимальное значение ускорения, это величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

Если тело совершает гармонические колебания, то сила, действующая на тело, тоже изменяется по гармоническому закону:

где ​ F ​ – мгновенное значение силы, действующей на тело, т. е. сила в данный момент времени.

Амплитуда силы  – максимальное значение силы, величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

Резонанс  - явление возрастания амплитуды колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к

собственной частоте колебательной системы.

Пример: качели

Примеры резонанса механических колебаний:

• Идя по доске, перекинутой через ров . Шаги человека попадают в резонанс с

собственным периодом системы (доски), и доска начинает сильно колебаться

(изгибаться вверх и вниз).

• Мост, по которому проходит войсковая часть или проезжает поезд .

Периоды колебаний обусловливаются ударами ног или колёс на стыках рельсов.

Например, в 1906 году в Петербурге обрушился Египетский мост через реку Фонтанку.

Это произошло при переходе через мост кавалерийского эскадрона, чей чёткий шаг

попал в резонанс с периодом моста.

• Качание корабля на воде . Если морские волны попадают в резонанс с периодом

корабля, то качка становится особенно сильной. Капитан меняет тогда скорость корабля или его курс.

• Раскачивание барабана стиральной машины . Когда скорость отжима меняется, то есть меняется частота вращения барабана, то при некоторых частотах вращение стабильно, а при некоторых — барабан сильно раскачивается, машина может чуть ли не подпрыгивать. Это и есть резонанс: частота вращения барабана двигателем совпала с собственной

частотой этих раскачиваний.

На рисунке изображены резонансные кривые для сред с разным трением. Чем меньше трение, тем выше и острее резонансная кривая.

Явление резонанса учитывается при периодически изменяющихся нагрузках в

машинах и различных сооружениях. Также резонанс используется в акустике, радиотехнике и т. д.

Какова длина математического маятника,

совершающего гармонические колебания с частотой 0,5 Гц на поверхности Луны? Ускорение свободного

падения на поверхности Луны 1,6 м/с 2 .

Частота колебаний крыльев вороны в полете равна в среднем 3 Гц. Сколько взмахов

крыльями сделает ворона, пролетев путь 650 м со скоростью 13 м/с?

Гармоническое колебание описывается уравнением                            Чему равны циклическая частота колебаний, линейная частота колебаний, начальная фаза колебаний?

Математический маятник длиной 0,99 м совершает 50 полных

колебаний за 1 мин 40 с. Чему равно ускорение свободного

падения в данном месте на поверхности Земли?

(Можно принять π 2  = 9,87.)

ДОМАШНЯЯ РАБОТА

Изучить главу Механические колебания

Остановились с вами на главе: Электромагнитные колебания.

Изучили параграфы: