Механика жидкости и газов. Уравнение Бернулли.

“Suyuqlik va gazlar mexanikasi. Bernulli tenglamasi”

mavzusidagi nazariy mashg’ulotining texnologik xaritasi

1-Ilova

Mavzu: Suyuqlik va gazlar mexanikasi. Bernulli tenglamasi.

Rеja:

Reja:

1 . Suyuqlk va gazlarda bosim.

2.Tutash idishlar

3.Arximed kuchi

4. Uzluksizlik tenglamasi. Bernulli tenglamasi.

Tayanch tushunchalar:

Suyuqlik va gazlar; Suyuqlik va gazlarning laminar va turbulent oqimi; suyuqlik va gazlarda bosim; Paskal qonuni; gidrostatik bosim; Arximed qonuni; suyuqliklarning oqishi va oqim; Bernulli tenglamasi;

Mashg’ulot shiori:

“Insonlar bilimlarga qanday erishadi?”-degan savolga Aisferverg: Namoyish usulidan boshqa xech qanday usul bilan deb javob qiladi.

“Nima uchun” sxemasini tuzish qoidasi bilan tanishadilar. Alohida/kichik guruhlarda muammoni ifodalaydilar. “Nima uchun” so’rog’ini beradilar va chizadilar, shu savolga javob yozadilar. Bu jarayon muammoning dastlabki sababi aniqlashmaguncha davom etadi.

NIMA UCHUN sxemasi:

Muammoni dastlabki sabablarini aniqlash bo’yicha fikrlar zanjiri.

Tizimli, ijodiy, tahliliy fikrlarni rivojlantiradi va faollashtiradi.

Kichik guruhlarga birlashadilar, taqqoslaydilar, o’zlarining chizmalarini to’ldiradilar. Umumiy chizmaga keltiradilar.

Ish natijalarining taqdimoti

“NIMA UCHUN” usuli uchun ekspert varag’i:

Nima uchun qattiq jismlar mexanikasi o’quvchilar bilimlarini kengaytirish

da ustivor vazifa sifa- fatida qaralmoqda?

Nima uchun? Nima uchun? Nima uchun?

Nima uchun? Nima uchun?

3-Ilova

“Bumerang” metodida mashg’ulotni o’tkazish tartibi.

Ushbu texnoligiya bir necha bosqichda o’tkaziladi.

• O’quvchilarga mustaqil o’rganish uchun mavzu bo’yicha matnlar tarqatiladi;

• Berilgan matnlar o’quvchilar tomonidan yakka tartibda mustaqil o’rganiladi;

• Har bir guruh a’zolaridan yangi guruh tashkil etiladi;

• Yangi guruh a’zolarining har biri guruh ichida navbati bilan mustaqil o’rgangan matnlari bilan axborot almashadilar, ya’ni bir-birlariga so’zlab beradilar, matnni o’zlashtirib olishlariga erishadilar;

• Berilgan ma’lumotlarni o’zlashtirilganlik darajasini aniqlash uchun guruh ichida ichki nazorat o’tkaziladi, ya’ni guruh a’zolari bir-birlari bilan savol-javob qiladilar;

• Yangi guruh a’zolari dastlabki holatdagi guruhlariga qaytadilar;

• darsning qolgan jarayonida o’quvchilar bilimlarini baholash yoki to’plagan ballarini hisoblab boorish uchun har ir guruhda “guruh xisobchisi” tayinlanadi;

• O’quvchilar tomonidan barcha matnlar qay darajada o’zlashtirilganligini aniqlash maqsadida o’qituvchi o’quvchilarga savollar bilan murojaat etadilar, og’zaki so’rov o’tkazadilar;

Savollarga berilgan javoblar asosida guruhlarni to’plagan umumiy ballari aniqlqanadi;

• har bir guruh a’zosi tomonidan guruhdagi matnning mazmunini hayotga bog’lagan holda bittadan savol tuziladi;

• Guruhlar tomonidan tayyorlangan savollar orqali savol-javob tashkil etiladi. (“Guruh hisobchilari” berilgan javoblar bo’yicha, ballarni hisoblab boradilar);

• Guruh a’zolari tomonidan to’plangan umumiy ballar yig’indisi aniqlanadi;

• Guruhlar to’plagan umumiy ballar guruh a’zolari o’rtasida teng taqsimlanadi.

“Bumerang” metodi uchun topshiriq:

1-Guruhga: Suyuqlk va gazlarda bosim.

2-Guruhga: Tutash idishlar

3-Guruhga: Arximed kuchi

4-Guruhga: Uzluksizlik tenglamasi.

Bernulli tenglamasi.

“Bumerang” metodi uchun

Tarqatma materiallar

1-Guruh uchun:

Suyuqlik va gazlarda bosim.

Kuchning yuzaga ta’sirini miqdor jihatidan tavsiflash uchun «bosim» deb ataluvchi kattalik qabul qilingan. Yuzaga tik yo’nalgan F kuchning P bosimi shu kuchning moduliga to’g’ri, kuch ta’sir qilayotgan S yuza kattaligiga teskari proporsional bo’ladi, ya’ni:

Birlik yuzaga tik ta’sir etayotgan kuchga son jihatdan teng bo’lgan fizik kattalikka bosim deyiladi. Bosim skalyar kattalikdir. XBS da bosim bir­ligi maxsus nomga ega bo’lib, Pa (Pas­kal) deb yuritiladi.

Kuchning gorizontal tashkil etuvchisi sirtga parallel yo’nalganligi uchun, u sirtga bosim bermaydi. Shuning uchun

Gidrostatik bosim. Qattiq jsimlarda bosim kuch yo’nali­shida uzatiladi. Suyuqlik va gazlarda bo­simning uzatilish mexanizmi Paskal qo­nu­niga ko’ra quyidagicha izohlanadi: berk idishda turgan suyuqlik yoki gazga be­ril­gan bosim suyuqlik va gazning har bir nuqtasiga o’zgarishsiz uzatiladi.

Suyuqlikning idish tubiga beradigan gidrostatik bosimi idish shakliga bog’­liq bo’lmasdan, balki suyuqlikning zich­li­gi va suyuqlik ustunining balandligi bilan aniqlanadi. Lekin suyuqlikning idish tubiga ta’sir etadigan bosim kuchi idish shakliga bog’liq bo’lar ekan. 2-rasm­da asosining yuzalari va suyuqlik ustunining balandliklari bir xil, ammo shakllari turlicha bo’lgan idishlar tas­vir­langan. 2-a rasmdagi holatda suyuqlik­ning idish tubiga ta’sir etadigan bosim ku­chi shu idishdagi suyuqlikning og’irli­gi­ga teng (F_b=mg). 2-b rasmdagi holatda suyuqlikning idish tubiga ta’sir etadi­gan bosim kuchi idishdagi suyuqlik og’ir­li­gi­­­dan katta (F_bmg) va 2-c holatda su­yuq­lik og’irligidan kichik (F_bmg) bo’la­di. Bunga gidrostatik paradoks deyiladi.

2-rasm

Atmosfera bosimi.

Yer sirtini azot, kislorod, va boshqa gazlar aralashmasidan iborat havo qobi­g’i o’rab olgan. Biz bu havo qobig’ini at­mo­s­fe­ra deb ataymiz. Xuddi idish ichida­gi suyuqlikning og’irligi tufayli bosim yuzaga kelganidek, havoning og’irligi tu­fay­li atmosfera bosimi yuzaga keladi. At­mosfera bosimining mavjudligini Ita­lyan olimi Torrichelli tajribada aniqlagan. Uning tajribasi quyidagidan iborat bo’lgan. U uzunligi 1 m, bir uchi berk bo’lgan shisha nayni simob bilan to’ldirib, ochiq uchini qattiq berkitib nayni simobli kosaga solgan va simob ichida nayning uchini ochgan. Bunda nay­da­gi simobning bir qismi kosaga oqib tush­gan(3-rasm).

Ochiq ko­sadagi simob sirtini yer at­mosfe­rasi bosib tu­ra­di. Atmosfera zar­ralari­ning og’irligi tufayli kosadagi simob sirtiga verti­kal pastga yo’nalgan atmosfera bosimi ta’sir qiladi. Bu bosim Paskal qonu­niga asosan suyuqlik bo’ylab barcha to­mon­ga, jumladan, naydagi simob ustuni­ning pastki asosiga ham o’zgarishsiz uza­ti­ladi. Kosadagi simob sirtiga ko’rsati­layotgan atmosfera bosi­mi nayda qolgan simob ustuni bosimi bilan muvozanat­lash­gan vaqtda naydan simobning oqib chi­qishi to’xtaydi. Simob ustuni baland­li­gini o’lchab atmosfera bosimini aniqlanadi. Dengiz sathi ba­landligidagi joy­larda atmosfera bosi­mi, o’rta hisob­da balandligi 760 mm bo’l­gan simob ustu­ni­ning bosimiga teng ekan. Bu bosim nor­­mal atmosfera bosi­mi deyiladi. Den­giz sathidan turlicha balandliklarda si­mob ustunining ba­land­ligi turlicha bo’lishligi tajribalar­da kuzatilgan. Den­­­giz sathidan har 12 m baland­lik­ka ko’tarilganda atmosfera bo­simi o’rtacha 1 mm simob ustuniga kama­yar ekan. Atmo­sfera bosimi ham XBS da Paskallarda o’lchanadi. Lekin at­mo­sfera bosimi haqi­da fikr yuritilgan­da o’lchov sistemasiga kirmagan milli­metr simob ustuni deb ataladigan o’lchov birligi ham qo’llani­ladi. Simobning zichligini bil­gan holda (4) ifodaga ko’ra 1 mm sim.ust.q133,3 Pa ga teng ekanligini topamiz. U holda nor­mal atmosfera bosimi quyidagiga teng:

P₀=1 atm=760 mm sim.ust. 101325 Pa

yoki P₀  10⁵ Pa. (5)

Berk idishdagi gazlarning yoki suyuq­lik­­lar­­ning bosimi manometrlar yordami­da, at­mosfera bosimi barometrlar yoki ane­ro­id­lar yordamida o’lchanadi. Atmosfe­ra bosimining o’zgarishiga qarab baland­lik­­ni o’lchaydigan asbobga altmetrlar deyi­ladi. Suyuqlik zichligini o’lchaydigan asbobga areometr deyiladi.

2-Guruh uchun:

Tutash idishlar.

Asoslari tutashgan ixtiyoriy shakldagi idishlarga tutash idishlar deyiladi. Tu­tash idishlarning biriga suyuqlik quyil­sa, asosi orqali suyuqlik bir idishdan ik­kinchisiga o’ta oladi. Tutash idishlar­ning biriga bir jinsli suyuqlik quyil­sa, uning barcha idishlariga suyuqlik sirti bir xil balandlikka erishguncha oqib o’tadi. Har qanday shakldagi tutash idishlarda tinch holatda bo’lgan bir jins­li suyuqlikning erkin sirti bir xil balandlikda bo’ladi h₁=h₂(1-a, rasm).

1-rasm

Agar tutash idishlarga bir-biri bilan ara­lashmaydigan, zichliklari ₁ va ₂ bo’l­­gan turlicha suyuqliklar solinsa, bu su­yuqliklar muvozanatda bo’lganda ular­ning satxlari bir xil balandlikda bo’l­maydi. Bunday holda idishlardagi suyuq­lik ustunlarining balandliklari suyuq­lik­larni ajratib turuvchi AB tekislik sathidan boshlab o’lchanadi (1-b, rasm). AB tekislik ikki suyuqlikning ajralish sathi deb ataladi. AB sathdan pastda tur­gan suyuqlik bir jinslidir, shuning uchun bu sathda ikkala idishdagi gidro­statik bosim bir xil bo’ladi, ya’ni:

₁ gh₁=₂ gh₂ (1)

va undan quyidagi ifodaga ega bo’lamiz:

(2)

Bu ifoda yordamida tutash idishlar qonu­nini ta’riflaymiz: tutash idishlardagi tur­li suyuqliklarning muvozanat holati­da suyuqliklarni ajratib turuvchi sath­dan boshlab o’lchanadigan ustunlar baland­lik­lari suyuqliklarning zichliklariga tes­kari proporsional bo’ladi.

Gidravlik mashina (gidravlik press). Gidravlik mashina diametrlari har xil bo’lgan, o’zaro nay bi­lan tutashgan ikki silinr va ular ichi­­da devorlariga jips tegib harakatla­na­digan porshenlardan iborat (2-rasm). Porshenlarning yuzasi S₁ va S₂ bo’lsin. Agar kichik porshenga katta­li­gi F₁ bo’lgan kuch per­pendikulyar yo’nalishda ta’­sir etsa, su­yuq­likda qo’­shim­cha P=F₁/S₁ bosim yuzaga keladi. Bu qo’shim­cha bosim Paskal qonuniga ko’ra ikkinchi porshenga uzatiladi.

Ikkinchi porshen tagida ham xuddi shunday bosim yuzaga keladi, ya’ni P=F₂/S₂. U hol­da Paskal qonuniga ko’ra quyidagi muno­sa­batga ega bo’lamiz:

yoki (3)

(3) ifodaga ko’ra gidravlik mashinada katta porshenining yuzi kichik porshen­ning yuzidan necha marta katta bo’lsa, gidravlik mashina kuch­dan shuncha marta yutuq beradi.

F₁ kuch ta’sirida kichik porshen h₁ ma­sofaga pastga siljisa ikkinchi idishdagi katta porshen h₂ masofaga yuqoriga ko’tariladi (2-rasm). Porshenlarning sil­jish masofa­lari nisbati ularning yuzalari nisbati­ga ham, kuchlar nisbatiga ham teskari pro­porsional bo’ladi, ya’ni:

yoki (4)

Demak, porshenlar yuzi bir-biridan necha marta farqlansa, gidravlik mashinada kat­ta porshenning ko’chishi kichik por­shen­ning ko’chishidan shuncha marta kichik bo’ladi.

3-Guruh uchun:

Arximed kuchi.

Agar bir bo’lak po’kakni suyuqlik ichi­da ushlab qo’yib yuborsak, uning suyuqlik sirtiga qalqib chiqqanini ko’ramiz. Bun­dan suyuqliklarda, unga botirilgan ji­sm­­ga ta’sir etuvchi ko’taruvchi kuch bor ekan­ligini aniqlaymiz. Faraz qilaylik, si­lindr shaklidagi jism suyuqlikka to’­liq botib turgan bo’lsin (1-rasm). Suyuq likka botiril­gan jism asosi­ning yuza­si S ga, ba­land­ligi esa h ga teng bo’lsin (h=h₂h₁). Jism­ning ust­­ki va pastki asoslariga ta’sir etuvchi

gidrostatik bosim quyi­dagi

tengliklar orqali aniqlanadi: P₁=_sgh₁ va P₂=_sgh₂ (1)

h₂h₁ bo’lganligi uchun P₂P₁ bo’lib quyi­dagi ifoda orqali aniqlanuvchi bosimlar farqi yuzaga keladi:

P=P₂P₁=_sg(h₂h₁) (2)

Paskal qonuniga asosan, P bosim suyuq­likning hamma tomoniga, shu jumladan, past­dan yuqoriga qarab tik uzatiladi. Bu bo­simni yuzaga keltirgan kuch ham tik yuqo­riga yo’nalgan bo’ladi va bu kuch quyi­dagi ifoda yordamida aniqlanadi:

F=PS=_sg(h₂h₁)S=_sgV (3)

(3) ifodadagi _sV ko’paytma jism siqib chiqargan suyuqlikning massasiga teng. U holda (3) ifodani quyidagi ko’rinishda yozish mumkin:

F=m_sg (4)

Demak, suyuqlikka (gazga) botirilgan jismga pastdan yuqoriga qarab yo’nal­gan, jism siqib chiqargan suyuqlik og’ir­ligiga teng bo’lgan ko’tarish kuchi ta’sir qilar ekan. Bu kuchga Yunon olimi Arximed sharafiga Arximed kuchi deyiladi. Arximed kuchining son qiyma­ti quyidagi ifoda yordamida hisobla­nadi:

F_A=_sV_jg (5)

bunda, _s suyuqlik zichligi, V_j suyuq­likka botirilgan jismning hajmi.

Arximed kuchi F_A bilan jismning oirligi mg orasidagi ayirma ko’taruvchi kuch F_k deyiladi:

F_k=F_A mg (6)

Ko’taruvchi kuchning kattaligi va yo’nalishiga bog’liq ravishda suyuqlikka botirilgan jism uch holatda bo’lishi mumkin:

1.Arximed kuchi og’irlik kuchidan kichik bo’lsin, bunda ko’taruvchi kuch man­fiy: F_kF_A mg=_sV_jg_jV_jg=(_s_j)gV_j

Bu holda _s_j va jism suyuqlik tubiga tushadi, ya’ni cho’kadi.

2. Arximed kuchi son jihatdan jism­ning og’irligiga teng, bunda ko’taruvchi kuch nolga teng, F_k=0 F_A mg=(_s_j)gV_j=0

Bu holda _s=_j va jism suyuqlikka to’liq botgan holda suzib yuradi.

3. Arximed kuchi og’irlik kuchidan katta bo’lsin, bunda ko’taruvchi kuch mus­bat: F_k 0 F_A mg q (_s_j)gV_j 0

Bunda _s_j va suyuqlikka botirilgan jism undan qalqib chiqa boshlaydi. Ji­sm­ning og’irligi uning suyuqlikka botib turgan qismi miqdoridagi suyuqlik og’ir­li­giga tenglashgach jismning ko’tarilishi to’xtaydi. Suyuqlik ustida qalqib suza boshlayotgan jismga ta’sir etuvchi Arxi­med kuchining son qiymati uning og’irli­giga teng bo’ladi, ya’ni:

F_A=_sV_bg=m_jg (7)

Bunda V_b jismning suyuqlikka bot­­gan ­qismining haj­mi (2-rasm). Jismning mas­sasi m_j=_jV_j, (bu yerda V_j ji­sm­ning to’­­liq haj­mi) ekanli­gi­ni ino­­­bat­ga olib quyidagi ifo­daga ega bo’lamiz:

_sV_bg=_jV_j g yoki (8)

Suyuqlik va unda suzib yurgan jism zichliklari aniq bo’lsa (7) ifoda ko’ra jismning suyuqlikka botgan qismini aniqlash mumkin.

4-Guruh uchun:

Suyuqlik oqimining uzluk­sizlik teng­la­masi. Bernulli tenglamasi.

Suyuqlikning naydagi oqimini kuza­tay­lik. Nayning ko’ndalang kesimi turli joylarda turlicha bo’lganda, oqim tezligi shunga qarab o’zgarishi mumkin, ammo su­yuq­lik oqimi hech yerda uzilmaydi. Nay­ning ko’ndalang kesim yuzlari S₁ va S₂ bo’l­gan joylarni tanlab olaylik (1-rasm). Vaqt birligi ichida S₁ kesimdan o’ta­digan suyuqlik haj­mi S₁₁ ga teng, ₁su­yuqlikning S₁ kesimdan o’tayotgan joydagi tez­li­gi. Shuningdek vaqt birligi ichida S₂ ke­sim­dan o’tadigan suyuqlik hajmi S₂₂ ga teng, ₂suyuqlikning S₂ kesimdan o’tayot­gan joydagi tezligi. Siqilmas suyuqlik uchun S₁ kesimdan o’tgan suyuqlik hajmi S₂ kesimdan o’tgan suyuqlik hajmiga teng bo’ladi:

S₁₁= S₂₂ (1)

Siqilmas suyuqlikning oqim tezligi bilan oqim nayining ko’ndalang kesimi yuzining ko’paytmasi berilgan oqim na­yi uchun o’zgarmas kattalikdir. (1) mu­no­sa­bat­ga oqimning uzluksizlik tengla­masi deyiladi.

Daniil Bernulli suyuqliklarning naylardagi harakat qonunini kashf etdi. Bu qonun quyidagicha ta’riflanadi: nayning suyuqlik oqimining tezligi kichik bo’lgan kesimlarida suyuqlik bosimi katta bo’ladi va aksincha, tezlik katta bo’lgan kesimlarda bosim kichik bo’ladi.

Ko’ndalang kesim yuzasi har xil joy­la­rida turlicha bo’lgan, hamda gorizont­dan balandligi o’zgaruvchan quvurda oqayot­gan suyuqlik uchun Bernulli teng­­lamasini yozamiz:

(2)

₁- suyuqlikning S₁ ke­sim yuzidagi oqim tezli­gi, h₁- (S₁) ke­simning go­ri­zontdan balandligi, P₁- (S₁) ke­simdagi suyuqlik bosimi. Xuddi shunengdek, ₂- suyuq­likning S₂ ke­sim yuzidagi oqim tezli­gi, h₂- (S₂) ke­simning go­ri­zontdan balandli­gi, P₂- (S₂) ke­simdagi suyuqlik bosimi. Bernulli tenglamasi gorizontal joy­ash­an quvur uchun quyidagicha yoziladi:

yoki

Bu ifodadan quyidagi xulosaga kelamiz: agar suyuqlik turli ko’ndalang kesimli gorizontal joylashgan nay bo’ylab oqa­tgan bo’lsa, suyuqlikning tezligi nayning toraygan joylarida kattaroq bo’ladi, bosim esa nayning keng joylarida kattaroq bo’ladi. Bu xulosani isbotlash uchun, ko’ndalang kesimi turlicha bo’lgan nayga bir necha a, b manometrik nay­chalar o’rnatib oqimni kuzataylik (3-rasm). Naychadagi suyuqlik sathi nay ichidagi bosimni ko’rsatadi. Tajriba ko’rsa­tadiki naydagi suyuqlik bosimi quyidagi munosabatda bo’ladi: P_aP_b.

Idishdagi suyuqlik sathidan h baland­lik pastda joylashgan idishning kichik teshigidan (4-rasm) oqib chiqayotgan suyuq­lik­ning tezligi

(3)

formula bo’yicha hisoblanadi.

(3) formulani Torri­chelli keltirib chiqar­gan­ligi uchun Torrichel­li formulasi deyila­di.

Ko’ndalang kesim yuzasi S ga teng bo’lgan quvurdan suyuqlik  tezlik bilan oqib chiqayotgan bo’lsin. t vaqt ichida qu­vu­rdan oqib chiqqan suyuqlikning hajmi quyidagi ifoda orqali aniqlanadi:

V=St (4)

(4) tenglikning har ikkala tomonini suyuqlikning zichligiga ko’paytirsak, qu­vur­dan t vaqt ichida oqib chiqqan suyuq­lik­ning massasini aniqlash ifodasiga ega bo’lamiz:

m=St (5)