Методическая разработка "Как научить решать стереометрические задачи. Нахождение расстояний и углов""

Задание 13: нахождение расстояний и углов Мастер-класс

Разработала: Бочкарева Н.А.

Учитель математики МОУ ИРМО «Пивоваровская СОШ»

2.11.2022

«Стереометрическая задача на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объёмов). Традиционная задача по стереометрии, связанная с нахождением длин, площадей (в том числе площадей сечений многогранников и тел вращения), углов (между двумя прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями), связанных с призмой, пирамидой, цилиндром, конусом или шаром. Не зная основных определений и признаков (параллельности прямой и плоскости, параллельности плоскостей, перпендикулярности прямой и плоскости, перпендикулярности плоскостей, скрещивающихся прямых), нет смысла браться за задание 13. »

ФАКТЫ

Борис Трошин

• Формулы объёма пирамиды;
• Теорема о трех перпендикулярах;
• Формула ,

где - площадь проекции фигуры, -площадь фигуры, α- угол между плоскостями .

Расстояния от точки до плоскости

• В кубе АВСD А 1 В 1 С 1 D 1 с ребром равным 6, найти расстояние от вершины В 1 до плоскости, проходящей через вершины А 1 , C 1 и D .

.

=

Ответ:

Расстояния от точки до плоскости

• В правильной треугольной призме  АВСА′B′C′  сторона основания  АВ  равна 6, а боковое ребро  АА′  равно 3. На ребре  АВ  отмечена точка  К  так, что  АК  = 1. Точки  М  и  L  — середины рёбер  А′С′  и  В′С′  соответственно. Плоскость γ параллельна прямой  АС  и содержит точки  К  и  L .
• а) Докажите, что прямая  ВМ  перпендикулярна плоскости γ.
• б) Найдите расстояние от точки  С  до плоскости γ.

Расстояния от точки до плоскости

• В правильной треугольной призме  АВСА′B′C′  сторона основания  АВ  равна 6, а боковое ребро  АА′  равно 3. На ребре  АВ  отмечена точка  К  так, что  АК  = 1. Точки  М  и  L  — середины рёбер  А′С′  и  В′С′  соответственно. Плоскость γ параллельна прямой  АС  и содержит точки  К  и  L .
• а) Докажите, что прямая  ВМ  перпендикулярна плоскости γ.
• б) Найдите расстояние от точки  С  до плоскости γ.

• КР =5
• h = =

• =

В

К

Р

С  

A

3

L

R

T

R

3 -1

A

Р

В

1

К

К

H

5

Отсюда

Ответ:

Расстояние между скрещивающимися прямыми

В кубе  ABCDA 1 B 1 C 1 D 1  все ребра равны 6.

а) Докажите, что угол между прямыми  AC  и  BC 1  равен 60°.

б) Найдите расстояние между прямыми  AC  и  BC 1 .

D 1

C 1

Задача сводиться к нахождению расстояние от точки В до плоскости ACD 1.

B 1

A 1

B 1

.

D

D

С

B

A

=

Нахождение углов между плоскостями

«Площадь ортогональной проекции плоской фигуры равна произведению площади этой фигуры на косинус угла между плоскостью фигуры и плоскостью проектирования, то есть имеет место равенство »

Нахождение углов между плоскостями

Все рёбра правильной треугольной призмы  ABCA 1 B 1 C 1  имеют длину 6. Точки  M  и  N — середины рёбер  AA 1  и  A 1 C 1  соответственно.

а) Докажите, что прямые  BM  и  MN  перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями  BMN  и  ABB 1 .

Решение:

а) Рассмотрим треугольник

, где ВН –высота равностороннего треугольника

3

3

3

угол ВМN = 90 0

6

Нахождение углов между плоскостями

Все рёбра правильной треугольной призмы  ABCA 1 B 1 C 1  имеют длину 6. Точки  M  и  N — середины рёбер  AA 1  и  A 1 C 1  соответственно.

а) Докажите, что прямые  BM  и  MN  перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями  BMN  и  ABB 1 .

Решение:

Треугольник ВРМ ортогональная проекция треугольника ВNM на плоскость ABВ 1

4,5

1.5

3

6

3

Ответ:

6

Выводы:

• Расстояния от точки до плоскости

Цель: увидеть пирамиду и найти ее объём

• Расстояние между скрещивающимися прямыми

Построить плоскость параллельную одной из прямых

Найти расстояние от ЛЮБОЙ ТОЧКИ этой прямой до плоскости

• Нахождение углов между плоскостями

Спроектировать треугольник на плоскость

Расстояния от точки до плоскости

1. В основании четырёхугольной пирамиды  SABCD  лежит прямоугольник  ABCD  со сторонами  AB  = 12 и ВС=   Длины боковых рёбер пирамиды  SA  = 5,  SB  = 13,  SD  = 10.

а) Докажите, что  SA  — высота пирамиды.

б) Найдите расстояние от вершины  A  до плоскости  SBC .

Ответ:  

Расстояния от точки до плоскости

2. В правильной четырёхугольной пирамиде  SABCD  все рёбра равны 5. На рёбрах  SA ,  AB ,  BC  взяты точки  P ,  Q ,  R  соответственно так, что  PA = AQ = RC  = 2.

а) Докажите, что плоскость  PQR  перпендикулярна ребру  SD .

б) Найдите расстояние от вершины  D  до плоскости  PQR .

=

Расстояние между скрещивающимися прямыми

• 3. В правильной четырёхугольной пирамиде  PABCD  сторона основания  ABCD  равна 12, боковое ребро  PA  ―  Через вершину  A  проведена плоскость α, перпендикулярная прямой  PC  и пересекающая ребро  PC  в точке  K .
• а) Докажите, что плоскость α делит высоту  PH  пирамиды  PABCD  в отношении 2 : 1, считая от вершины  P .
• б) Найдите расстояние между прямыми  PH  и  BK .

,

Расстояние между скрещивающимися прямыми

• 4.Основанием прямой треугольной призмы  ABCA 1 B 1 C 1  является прямоугольный треугольник  ABC  с прямым углом  C . Грань  ACC 1 A 1  является квадратом.
• а) Докажите, что прямые  CA 1  и  AB 1  перпендикулярны.
• б) Найдите расстояние между прямыми  CA 1  и  AB 1 , если  AC  = 4,  BC  = 7.

=

,

Нахождение углов между плоскостями

• 5. В правильной треугольной призме  ABCA 1 B 1 C 1  стороны основания равны 4, боковые рёбра равны 7, точка  D  — середина ребра  BB 1 .
• а) Пусть прямые  C 1 D  и  BC  пересекаются в точке  E . Докажите, что угол  EAC  — прямой.
• б) Найдите угол между плоскостями  ABC  и  ADC 1 .
• Решение:

Треугольник АВС ортогональная проекция треугольника АDC 1

Треугольник ADC 1 равнобедренный

Ответ: arccos .

Нахождение углов между плоскостями

• 6 Дан куб  ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .
• а) Докажите, что прямая  BD 1  перпендикулярна плоскости  ACB 1 .
• б) Найдите угол между плоскостями  AD 1 C 1  и  A 1 D 1 C .

Проекция точки А 1 на плоскость AD 1 C 1 есть точка О

O

.

Ответ: 60 0

Когда вам покажется, что цель недостижима, не изменяйте цель — изменяйте свой план действий .

© Конфуций.