Методическая разработка контрольной работы по математике для заочного отделения

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Московской области

«Колледж «Подмосковье»

Утверждено

на Методическом совете

Протокол № _ «__»______201_г

Методическая разработка

Методические указания и задания для контрольной работы

по дисциплине

ЕН .01.МАТЕМАТИКА

по специальности среднего профессионального образования

«Сервис на транспорте ( по видам транспорта)»

для студентов заочной формы обучения

Заместитель директора по УР __________________ /О. С. Пичужкина /

Преподаватель ___________________ /О.В.Мартынова/

Лобня 2020 г

СОДЕРЖАНИЕ

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Методические указания и задание для контрольной работы по дисциплине «Математика» предназначены для студентов заочной формы обучения, обучающимся по направлению среднего профессионального образования.  

Цель методических указаний:

оказание помощи студентам в выполнении контрольной работы по дисциплине «Математика». Настоящие методические указания содержат контрольные задания по математике, которые позволят студентам закрепить теорию по наиболее сложным разделам курса и направлены на формирование профессиональных компетенций.

Заочная форма обучения предполагает самостоятельную работу студента над учебным материалом: чтение учебников, использование Интернет-ресурсов, решение задач, выполнение контрольных заданий. В случае возникновения затруднений при самостоятельном изучении материала, студент может обратиться к преподавателю математики для получения устной консультации.

При выполнении контрольных работ студент должен руководствоваться следующими указаниями:

1. Контрольная работа выполняется в отдельной тетради в клетку, на титульном листе которой должны быть написаны фамилия студента, его инициалы, полный шифр, курс, специальность.

2. Задачи следует располагать в порядке номеров, указанных в заданиях. Перед решением задачи надо полностью переписать ее условие.

3. Ход решения каждой задачи студент обязан оформить аккуратно, в полном соответствии с порядком решения типичной задачи, приведенной в данных методических указаниях.

4. Решение задач геометрического содержания должно сопровождаться чертежами, выполненными аккуратно, с указанием осей координат и единиц масштаба.

5. На каждой странице тетради необходимо оставлять поля шириной 3-4 см для замечаний преподавателя.

6. Контрольная работа выполняется самостоятельно.

7. В случае незачета по контрольной работе студент обязан в кратчайший срок исправить все отмеченные ошибки и предоставить работу на повторную проверку.

8. Студент выполняет 1 вариант, если в списке его группы он стоит на четном месте и 2 вариант, если на нечетном.

СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ

Раздел 1. Элементы математического анализа.

Тема 1.1 Функция. Предел функции. Непрерывность функции.

Функция одной независимой переменной. Предел функции. Свойства пределов. Теоремы о пределах функции. Непрерывные функции и их свойства.

Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Сходящаяся последовательность. Число е.

Практическое занятие: Вычисление пределов функций в точке и на бесконечности.

Тема 1.2 Дифференциальное исчисление.

Задачи, приводящие к понятию производной. Понятие производной, ее физический и геометрический смысл.

Правила нахождения производных. Правила и формулы дифференцирования. Теоремы дифференцирования. Производные элементарных функций.

Применение производных к исследованию функций. Нахождение экстремума. Наибольшее и наименьшее значение. Дифференциал функции. Приближенные

вычисления.

Производные высших порядков. Механический смысл второй производной. Вогнутость кривой. Точки перегиба.

Правило нахождения точек перегиба. Дифференциал функции как главная часть ее приращения. Основные свойства дифференциала.

Практическое занятие: Вычисление производных элементарных функций в заданных точках. Применение производной к исследованию функции и построению графика.

Теоретический материал

Предел функции.

Вычисление предела функции. Пусть f(x) и (x) – функции, для которых существуют пределы при x (x):

Сформулируем основные теоремы о пределах:

1. Функция не может иметь более одного предела.

2. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.е.

3. Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, т.е.

В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

1. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, т.е.

,

Правила раскрытия неопределенностей: и

Правило раскрытия неопределенности . Чтобы раскрыть неопределенность надо числитель и знаменатель дроби разложить на множители так, чтобы можно было сократить.

Правило раскрытия неопределенности . Чтобы раскрыть неопределенность надо числитель и знаменатель дроби сократить на самую большую степень х в знаменателе

Определение производной функции

Производной функции f(x) (f'(x₀)) в точке x₀ называется число, к которому стремится разностное отношение , при ∆х стремящемся к нулю.

Основные правила дифференцирования

(f + g) ' = f '  + g ' 

(f − g) '  = f '  − g ' 

(f · g) ' = f' ·g + g'·f 

Формулы дифференцирования

Пример: Найти значение производной функции у = sin (4x – ) в точке х₀ =

Найдем производную данной функции по правилу дифференцирования сложной функции:

у′ = (sin (4x – ))′ = (4x – )′·cos(4x – ) = 4 cos(4x – )

у′ ( ) = 4 cos(4· – ) = 4 cos = 4· = 2 . Ответ: 2

Пример: y = x³ – 3x² + 5x + 2. Найти значение производной функции при y '(–1).

Найдем производную данной функции: y ' = 3x² – 6x+ 5. Следовательно, y'(–1) = 14. Ответ:14.

Пример: Найти производную данной функции y = ln x · cos x.

Найдем производную данной функции по правилу дифференцирования:

y ' = (ln x) ' cos x + ln x (cos x) ' =1/x∙cos x – ln x · sin x.

Пример: Найти производную данной функции y = .

Найдем производную данной функции по правилу дифференцирования:

y′ = = .

Определение дифференциала функции

С понятием производной тесно связано понятие дифференциала. Чтобы выяснить сущность этого понятия, рассмотрим функцию у =f(х), заданную в интервале (а, b) и имеющую в некоторой точке х этого интервала производную у' = f'΄(x). Придадим х приращение Δх, отличное от нуля, но не выводящее из интервала задания функции. Через Δy обозначим соответствующее приращение функции. Так как отношение при стремлении Δх к нулю стремится к производной у', а разность между переменной, имеющей предел, и этим пределом есть величина бесконечно малая, то величина - у' стремится к нулю вместе с Δх. Предыдущее равенство можно записать в форме Δy= у' Δx+α Δx, где α – стремится к нулю вместе с Δх.

Обозначив αΔх = β , мы видим, что при бесконечно малом Δх переменная β также есть бесконечно малая величина и притом стремящаяся к нулю быстрее, чем Δх, так как

= 0.

Таким образом, величина β есть бесконечно малая более высокого порядка, чем Δх. Это означает, что при весьма малых Δх величина β во много раз меньше, чем Δх. Доказательство этого факта имеется во многих руководствах по математическому анализу, но оно выходит за рамки нашей программы.

Таким образом, при малых Δх величиной β = α Δх часто пренебрегают и довольствуются приближенной формулой Δy = f '(x) Δx.

Определение. Дифференциалом или главной частью приращения функции у = f(х) в точке х, соответствующим приращению Δх, называется произведение производной f '(х), вычисленной в точке х, на Δх.

Дифференциал функции у =f(х) обозначается через dy или df(x). Таким образом, dу = у 'Δх или df(x) =f '(х) Δх.

Из определения дифференциала следует, что он является функцией двух независимых переменных – точки х и приращения Δх.

Одним из основных свойств дифференциала, которое имеет широкое применение на практике – это то, что, пренебрегая бесконечно малыми более высокого порядка, можно приближенно заменять Δу – приращение функции ее дифференциалом dy.

Решение типовых примеров

Вычислить пределы:

№ 1.

Для нахождения предела данной функции заменим аргумент х его предельным значением (выполним непосредственную подстановку):

=4·3 – 3²+8=12 – 9 + 8=11

№2. = .

Непосредственная подстановка приводит к неопределенности типа .

Чтобы раскрыть эту неопределенность, разложим числитель и знаменатель на множители и до перехода к пределу сократим дробь на множитель х-2.

Числитель – квадратный трехчлен разложим на множители:

2х² + х – 10 = 0

D = (1)² – 4·2· (– 10) = 1+80=81 (Если корень не извлекается нацело (получается дробное число с запятой), очень вероятно, что дискриминант вычислен неверно либо в задании опечатка)

= = 9

x₁ = = = 2. х₂ = = =

2х² + х – 10 =2 (х-2)(х+ )

= = = = . Ответ: .

№2.

Сначала мы смотрим на числитель и находим х в старшей степени. Старшая степень в числителе равна двум. Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим х в старшей степени. Старшая степень знаменателя равна двум. Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке. Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на х в старшей степени.

= = (Разделим числитель и знаменатель на х²) = = = = . Ответ: .

Исследовать заданную функцию методами дифференциального исчисления и построить эскиз графика. Исследование функций рекомендуется проводить по следующей схеме:

1) Найти область определения функции;

2) Найти производную функции;

3) Найти точки экстремума;

4) Определить промежутки монотонности функции;

5) Найти точки перегиба функции;

6) Определить промежутки выпуклости и вогнутости функции;

7) Найти значение функции в точках экстремума и перегиба;

Пример: Исследовать и построить график функции у = х⁴ – х².

1°. Область определения функции - интервал (–∞,∞). Точек разрыва нет.

2°. Здесь f(–x)=f(x), так как х входит только в четных степенях. Следовательно, функция четная и ее график симметричен относительно оси Оу.

3°. Чтобы определить точки пересечения графика с осью ординат, полагаем х = 0, тогда у = 0. Значит, кривая пересекает ось Оу в точке (0; 0).

Чтобы определить точки пересечения графика с осью абсцисс, полагаем у=0:

х⁴ – х² =0; х⁴–6х²=0; x²(x²–6)=0. Отсюда х²=0, x_1,2=0, т.е. две точки пересечения слились в одну точку касания; кривая в точке (0; 0) касается оси Ох. Далее, имеем х²–6=0, т.е. х_3,4= ≈±2,45. Итак, в начале координат О(0; 0) кривая пересекает ось Оу и касается оси Ох, а в точках А (–2,45; 0) и В (2,45; 0) пересекает ось Ох.

4°. Найдем критические точки функции:

y'=x³–3x; x³–3x=0; х(х²–3)=0; х₁=0; х₂,₃=± ≈±1,7. Эти точки разбивают область определения функции на интервалы (–∞; ), ( , 0), (0, ), ( , ∞).

5°. Исследуем критические точки с помощью второй производной.

Находим у" = 3х² – 3. При х = 0 получим у"_х=0=–3, т.е. у_max=0, и, значит, О(0; 0) - точка максимума. Далее при х= имеем = 6, т.е. y_min= ( )⁴– ( )²= –2,25. Таким образом, D ( ; –2,25) - точка минимума, а вследствие симметрии минимум достигается также в точке С(- ; –2,25). Составим таблицу:

6°. Имеем у"=3(x²–1) = 0, 3(х–1)(х+1) = 0, х₁,₂=±1. Точки х=–1 и х=1 разбивают область определения функции на интервалы (–∞,–1), (–1,1) и (1,∞). В интервалах (–∞,–1) и (1,∞) имеем у"0, т.е. здесь кривая вогнута, а в интервале (–1,1) имеем у"х= –1 и х= 1 получаем точки перегиба Е и F, ординаты которых одинаковы: у(–1) = у(1)= –1,25.

Составим таблицу:

7°. График изображен на рисунке.

Критерии оценивания

Перевод оценки