Методическая разработка программы курса по выбору ( факультатива) « Знай и повторяй математику» для 10 класса (Базовый профиль - 35 часов, углубленный профиль - 70 часов)

I.ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Программа курса по выбору (факультатива) «Знай и повторяй математику» предназначена для эффективной подготовки учащихся 10 класса к Государственной Итоговой аттестации по математике. Программа составлена на основании многолетнего опыта работы с учащимися старшей школы по подготовке их к ГИА и вступительным испытаниям по математике, в т.ч. и с использованием тестовых технологий в учебном процессе.

Основной целью данной программы является формирование математического аппарата для решения задач по математики, смежных предметов, окружающей реальности и способствует расширению кругозора учащихся, знакомя их с индукцией и дедукцией, обобщением и конкретизацией, анализом и синтезом, классификацией и систематизацией, абстрагированием, аналогией. Активное использование задач на всех этапах учебного процесса развивает творческие способности школьников.

Ключевая идея Программы состоит в систематической дополнительной работе с учащимися по повторению, обобщению и систематизации их знаний по основным темам школьной математики.

Структура и содержание программы соответствует формату и программным требованиям вступительных испытаний и содержанию заданий Государственной Итоговой аттестации по математике. В Программе приведены основные опорные факты из разделов, входящих в программные требования школьной программы по математике и являющиеся их содержательными линиями: числа и выражения; уравнения и неравенства; функции; элементы комбинаторики, начала теории вероятностей и элементы статистики; геометрия (планиметрия и стереометрия).

Без базовой математической подготовки невозможно стать образованным человеком, так как математика является языком науки и техники, с её помощью моделируются и изучаются явления и процессы, происходящие в природе.

При организации процесса обучения в рамках данной программы предполагается применением следующих педагогических технологий обучения: традиционной классно-урочной, игровых технологий, элементов проблемного обучения, технологии уровневой дифференциации, здоровьесберегающих технологий, развивающего обучения, коллективной системы обучения, ИКТ.

II. ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОВЕНИЯ курса по выбору (факультатива) «Знай и повторяй математику»

Требования к предметным результатам освоения базового курса математики отражают:

сформированность представлений о математике как части мировой культуры и о месте математики в современной цивилизации, о способах описания на математическом языке явлений реального мира;

сформированность представлений о математических понятиях как о важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать разные процессы и явления; понимание возможности аксиоматического построения математических теорий;

владение стандартными приёмами решения рациональных и иррациональных, показательных, степенных, тригонометрических уравнений и неравенств, их систем; использование готовых компьютерных программ, в том числе для поиска пути решения и иллюстрации решения уравнений и неравенств;

сформированность представлений об основных понятиях, идеях и методах математического анализа;

владение основными понятиями о плоских и пространственных геометрических фигурах, их основных свойствах;

сформированность умения распознавать на чертежах, моделях и в реальном мире геометрические фигуры; применение изученных свойств геометрических фигур и формул для решения геометрических задач и задач с практическим содержанием;

В результате изучения математики учащийся будет знать/понимать:

значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;

значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии

Занятия курса по выбору (факультатива) проводятся как правило, в виде спаренных уроков 1 раз в неделю. При недостаточном количестве или отсутствии часов школьного компонента возможна организация индивидуальной работы учащихся под руководством учителя в любом режиме. Повторение тем геометрии можно осуществлять параллельно с другими темами программы или в том порядке, какой имеется в программе. Возможна работа и по отдельным разделам программы.

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА ПО ПРОГРАММЕ курса по выбору (факультатива) «ЗНАЙ И ПОВТОРЯЙ МАТЕМАТИКУ» В 10 КЛАССЕ НА БАЗОВОМ УРОВНЕ (35 часов)

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА ПО ПРОГРАММЕ курса по выбору (факультатива) «ЗНАЙ И ПОВТОРЯЙ МАТЕМАТИКУ» В 10 КЛАССЕ НА УГЛУБЛЁННОМ УРОВНЕ ( 70 часов)

IV. СОДЕРЖАНИЕ ФАКУЛЬТАТИВНОГО КУРСА

Раздел 1. Числа и выражения

Т-1.Делимость целых чисел и признаки1) Определение делимости целого числа а на целое число в (в≠0)а в=с, тогда в с=а.2) Свойства делимости чисел.

Если а в и в с, то а с Если а в и в с, m и n – любые целые числа, то (m а+n в) с. (при m 1и n=±1)

Если а в и в с, то (а в) с

Если а в и k≠0, то а k в k

Если а в и а с, где в и с – взаимно простые числа, то а вс

3) Признаки делимости:

На 2; На 5; На 10k; На 4; На 8; На 3 и 9.

Если последняя цифра числа делится на 2 (т.е. четные); любое четное число n можно представить в виде: n=2k (k є Z), а нечетные числа n=2k + 1 (k є Z)

Последняя цифра числа 0 или 5

Число оканчивается на k нулей

Число, выраженное двумя последними цифрами данного числа, делится на 4

Число, выраженное тремя последними цифрами данного числа, делится на 8 Сумма цифр числа делится на 3 или на 9 соответственно.

Т-2. Проценты1) Определение процента

Сотая часть целого (которое принимают за 1)

2) Основные задачи на проценты:

-Нахождение процентов от числа р%от числа а: - Нахождение числа по данному значению его процентов

Если р% некоторого числа равно в, то это число равно в

- Нахождение процентного отношения двух чисел

Число а составляет от числа в.

- увеличение на р% (уменьшение на р%)

Если число увеличить (уменьшить) на р%, то получим число ,

- Формулы сложных процентов

Если А начальный вклад, р – годовые проценты, то на конец n-го года вклад составляет ⁿ

Т-3. Действительные числа.

1) Числовые множества:

- действительные числа R

Действительные числа, числа которые можно представить виде бесконечной десятичной дроби

- рациональные числа Q

Можно представить в виде несократимой дроби , где m– целое, n – натуральное число. Записываются в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

- иррациональные числа

Нельзя представить в виде несократимой дроби , где m– целое, n – натуральное число

Записываются в виде бесконечной непериодической десятичной дроби ( =1,4142135…

- целые числа Z

Включают натуральные числа, числа им противоположные и число 0.

-дробные числа

Числа, представляющие из себя целое число и части целой единицы ( ) - обыкновенная дробь; 1,37 – десятичная дробь: 1,37= = )

- натуральные числа N (целые положительные числа)

Натуральное число – основное неопределяемое понятие математики

- число 0

Число, которое при сложении с любым числом не изменяет его (а+0=а; 0+а=а), а при умножении на любое число дает в произведении 0 (0 а=0; а 0=0)

2) Пропорции, прямая и обратная пропорциональность. Пропорциональное деление числа.

- определение пропорции

Пропорция – равенство двух отношений: а в=с dили (а и d – крайние члены, в и с – средние члены)

- свойства пропорции

Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних ее членов

Если , то аd=вс.

Если , то а= , с= ,b= , d=

Если , то

- Масштаб

Масштаб – отношение расстояния на карте к соответствующему расстоянию на местности.

Например, масштаб 1:100000 означает, что 1 см на карте соответствует 100000 см= 1000м=1км на местности.

- прямо пропорциональные величины

Две величины прямо пропорциональны, если с увеличением (уменьшением) значений одной из них в несколько раз значение второй увеличивается (уменьшается)во столько же раз (k-коэффициент пропорциональности)

- обратно пропорциональные величины

Две величины обратно пропорциональны, если с увеличением (уменьшением) одной из них в несколько раз значение второй уменьшается (увеличивается) во столько же раз

- деление числа на части, пропорциональные данным числам

Числа у₁, у_2, у_3, пропорциональны числам х1, х2, х3, если

Разделить число на части, пропорциональные данным числам значит надо разделить его на сумму этих чисел и найденное частное умножить на каждое из них.

3) Модуль числа:

- определение

Модуль положительного числа – само это число.

Модуль отрицательного числа –число, ему противоположное.

Модуль 0 равно 0:

- геометрический смысл модуля:

• Свойства модуля:

Модуль любого числа - число неотрицательное.

Модули противоположных чисел равны. а Любое число не превышает свой модуль. Модуль произведения равен произведению модулей

(в Модуль дроби равен модулю числителя, деленному на модуль знаменателя (если знаменатель не равен нулю)

ⁿ, в частности Модуль степени числа равен той же степени модуля этого числа

²,

^2k

Т-4. Алгебраические выражения.

1)Основные законы алгебры а в=в а; а в=в а; а (в с)=(а в) с; а (в с)=(а в) с; а 0=а; а 1=а; а (-а)=0; а =1 (а 0); а(в с)=ав±ас; (а в)(с+d)=ac+ad+вc+вd.

2) Правила раскрытия скобокa+(в+c)=a+ в c; a-(b + c)=a-b-c; a+(b-c)=a+ b-c; a-(b-c)= a- b +c;

3) Умножение одночлена на многочлен x (a+b)= x a+x b

4) Умножение многочлена на многочлен (а + в)(x+y)=ax+ay+вx+by

5) формулы сокращенного умножения

(а + в)(а-в)=а²-в²; (а ± в)²=а²±2ав+ в²; (а + в)(а²-ав +в²)= а³+в³; (а-в)(а²+ав +в²)= а³-в³;

(а ± в)³=а³±3а²в+3ав²±в³; (а + в + с)²= а²+в²+с²+2ав+2ас+2вс.

6) разложение многочлена на множители:

- вынесение общего множителя за скобки; ха + хв = х(а + в)

-способ группировки: х а+х в+у а+у в=(х·а+х·в)+(у·а+у·в)=х(а+в)+у(а+в)= =(а+в)(х+у)

- применение формул сокращенного умножения

а²-в²=(а+в)(а-в); а²±2ав+в²=(а±в)²; а³±3а²в+3ав²±в³=(а±в)³ а²+в²+с²+2ав+2ас+2вс= (а+в+с)².

- применение других формул

ах²+вх+с=а(х-х₁) (х-х₂), где х₁и х₂ корни уравнения ах²+вх+с=0

аⁿ-1=(a-1)(a^n-1+ a^n-2+…+a+1) а^2m+1=(a+1)(a^2m- a^2m-1- a^2m-2-…-a-1)

xⁿ –aⁿ=(x-a)(x^n-1+ ax^n-2+a²x^n-3+…+a^n-2x+a^n-1)

7) Выделение квадрата двучлена

ах²+вх+с=а(х+ )²+

Т-5. Корень n-й степени и его свойства

1) Квадратный корень

Квадратным корнем из числа а называют такое число в, квадрат которого равен а. Если а=в², то в=

2) Корень n-й степени

Корнем n-й степени из числа а называют такое число в, n-я степень которого равна а

Если а=в^n,n , то в=

3) Арифметический корень

Арифметический корень – неотрицательное значение корня

Тождества ( )²=а и )ⁿ=a.

4) Область допустимых значений (ОДЗ)

существует только при а≥0; (k );

5) Свойства корня n-й степени

Т-6. Степени

1) Степень с натуральным и целым показателем

Т-7. Прогрессии

1) Определения:

а) арифметической прогрессии

Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом (это число – разность d арифметической прогрессии)

б) геометрической прогрессии

Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему, умноженному на одно и то же число, отличное от нуля (это число – знаменатель qгеометрической прогрессии).

2) Обозначения

а) в арифметической прогрессии

a₁, a₂,a₃, …, a_n-1, a_n, a_n+1- арифметическая прогрессия

d= a₂ - a₁ = a₃- a₂ = a_n - a_n-1–разность прогрессии

б) в геометрической прогрессии

b₁, b₂, b₃, …, b_n-1, b_n, b_n+1–арифметическая прогрессия

q= = = … = –знаменатель прогрессии

3) Характеристическое свойство

а) арифметической прогрессии

a_n= – любой член арифметической прогрессии – равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов.

б) геометрической прогрессии

– квадрат любого члена геометрической прогрессии равен произведению предыдущего и последующего членов.

4) формулыn-го члена

а) арифметической прогрессии

a_n=a_n-1+d(по определению) a_n= a₁+d(n-1).

б) геометрической прогрессии

= (по определению)

=

5) формулы суммы n первых членов

а) арифметической прогрессии = = .

б) геометрической прогрессии = = ; = =

6) бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

а) определение

Бесконечная геометрическая прогрессия, у которой знаменатель

б) сумма членов

Cумма членов бесконечной геометрической прогрессии – это предел, к которому стремится сумма ее первых n членов, когда n :

S=lim Sn , формула для ее вычисления S =

n

Раздел 2. Уравнения и неравенства

Т-8 Рациональные уравнения

1) Определение уравнений

Уравнение–это равенство, содержащее неизвестное, обозначенное переменной.

Корень уравнения (решение уравнения) – это значение переменной, при которой уравнение обращается в верное числовое равенство.

Решить уравнение- значит найти все его корни или доказать, что их нет.

2) Линейные уравнения:

а) определение

Общий вид: ах=b, где а и b- некоторые числа, х-неизвестное число.

б) решение

1) а ≠0 – единственный корень х=

2) a=0 0x=b

3) Квадратные уравнения:

а) определение

Уравнение вида ах²+bx +c=0, где х - неизвестная переменная, а,b и с некоторые числа, причем а≠0

Если b=0 или с =0 – уравнение неполное: ах²=0,

ах²+bx=0, ах²+c=0

б) формулы корней полных квадратных уравнений

ах²+bx +c=0 (а ≠0) , где D = . (D – дискриминант)

При D 0 – два корня; D 0 – один корень; D 0 – не имеет корней.

в) приведенные квадратные уравнения

Если первый коэффициент равен 1:

х²+px +q=0. где D₁= – дискриминант

г) теорема Виета для приведенных квадратных уравнений

х²+px +q=0, х₁ и х₂ – его корни, тогда х₁ х₂ = q, х₁+ х₂ = - p.

д) уравнения, которые сводятся к квадратным

Если в уравнении переменная входит в одном и том же виде, то удобно соответствующее выражение с переменной обозначить новой переменной. Пример: биквадратное уравнение ах⁴+bx² +c=0 (а ≠0).

4) Дробно-рациональные уравнения

Схема решения:

1) Перенести все члены уравнения в левую часть;

2) выполнить все действия с алгебраическими дробями, т.е. получить уравнение, левая часть которой дробь, а правая – нуль;

3) использовать свойство равенства дроби нулю (дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель – не равен нулю) и приравнять числитель полученной дроби нулю;

4) решить получившееся уравнение;

5) проверить, все ли найденные решения удовлетворяют условие равенства дроби нулю (если получим в знаменателе нуль, то найденное число не является корнем данного уравнения).

Или другая схема решения (с помощью ОДЗ)

1) Определить ОДЗ данного уравнения;

2) Найти общий знаменатель всех дробей, которые входят в запись уравнения;

3) Умножить обе части уравнения на общий знаменатель (полученное уравнение равносильно заданному на ОДЗ)

4) Решить получившееся целое уравнение;

5) Отобрать из всех найденных решений те, которые входят в ОДЗ.

Т -9 Уравнения и неравенства с одной переменной

1) Определение неравенства с переменной

Неравенства с одной переменной – это два выражения с переменной, соединённых знаком:

Решением неравенства называют значения переменной, при которых неравенство превращается в верное числовое неравенство.

Решить неравенство – значит найти все его решения или доказать, что их нет.

2) Числовые промежутки3) Область допустимых значений (ОДЗ)

ОДЗ уравнения (или неравенства) – это общая область определения всех функций, которые имеются во всех частях уравнения (неравенства)

4) Уравнения - следствия

- Если каждый корень первого уравнения является корнем другого уравнения, то второе уравнение называется следствием первого.

- Если из правильного первого равенства вытекает правильность каждого

следующего, то получается уравнение- следствие.

При этом возможно появление посторонних корней. Поэтому при использовании уравнений – следствий обязательна проверка полученных корней в начальном уравнении.

5) Равносильные уравнения и неравенства:

а) Определение

Два уравнения (два неравенства) равносильны на некотором множестве, если на этом множестве они имеют одни и те же решения.

б) Теоремы о равносильности уравнений ( неравенств)

1.Если из одной части уравнения (неравенства) перенести в другую часть слагаемые с противоположным знаком, то получим уравнение(неравенство), равносильное данному на любом множестве.

2.Еслиобе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю (или на одну й ту же функцию, которая определена и не равна нулю на ОДЗ данного уравнения), то получим уравнение, равносильное данному на ОДЗ этого уравнения.

3. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, (или на одну й ту же функцию, которая определена и положительна на ОДЗ данного неравенства), не меняя знака неравенства, то получим неравенство, равносильное данному на ОДЗ этого неравенства.

4.Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, (или на одну й ту же функцию, которая определена и отрицательна на ОДЗ данного неравенства) и при этом поменять знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному на ОДЗ данного неравенства.

6) Схема поиска плана решения уравнений:

1. С помощью уравнений- следствий:

-преобразования, которые гарантируют сохранение правильности равенства;

- проверка корней подстановкой в начальное уравнение.

2. С помощью равносильных преобразований:

- учесть ОДЗ данного уравнения.

- сохранять на ОДЗ правильное равенство при прямых и обратных преобразованиях.

3. Применение свойств функций.

7) Схема поиска плана решения неравенств

1. С помощью равносильных преобразований:

- преобразования, которые гарантируют сохранение правильности неравенства.

- проверка корней подстановкой в начальное неравенство.

2. С помощью метода интервалов (f(x) :

- найти ОДЗ

- найти нули функции: f(x) .

- обозначить нули на ОДЗ и найти знак функции f(x) на каждом промежутке, на которые разбивается ОДЗ.

- записать ответ, учитывая знак данного неравенства.

Т-10. Системы уравнений

1) Понятие системы и её решений

-Если надо найти общие решения двух (и более) уравнений с одной или несколькими переменными, то говорят, что надо решить систему уравнений ( запись этих уравнений объединяют фигурною скобкой).

- Решением системы называют такое значение переменной или такой упорядоченный набор значений переменных (если их несколько), которые удовлетворяют все уравнения системы.

- Решить систему уравнений – значит найти все её решения или доказать, что их нет, ( если система не имеет решений, то её называют несовместимой)

2) Равносильность систем уравнений

- Две системы уравнений равносильны на некотором множестве, если на этом множестве они имеют одинаковые решения.

(ОДЗ системы называют общую область определения всех выражений, входящих в её запись.

Все равносильные преобразования систем выполняются на ОДЗ заданной системы).

- Если изменить порядок записи уравнений заданной системы, то получим систему, равносильную заданной. - Если одно из уравнений системы заменить на равносильное ему уравнение, то получим систему, равносильную данной 3) Основные способы решения систем уравнений:

- способ подстановки;

- способ сложения; - графический способ решения систем уравнений с двумя переменными.

Т -11 Решение уравнений и неравенств с модулями

Раздел 3. Функции

Т-12. Функция. Область определения и область значений. График функции.

1) Понятие функции

Функция – зависимость, при которой каждому значению переменной х (х – аргумент, независимая переменная) из некоторого множества D соответствует единственное значение переменной у (у – функция от х).

Множество D – область определения функции (для функций, заданных формулой, где ничего не сказано об области её определения, D – множество всех значений переменной, при которых заданная формула имеет смысл).

Область значений функции (множество Е) – это множество тех значений, которые может принимать сама функция при всех значениях аргумента из области определения.

2) График функции

График функции – множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значению аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции.

3) Нахождение области определения функции

Т-13. Свойства функций

1) Возрастающие и убывающие функции

Функцияf(x) возрастающая, если для и ) для всех .

Функцияf(x) убывающая, если для ) для всех .

2) Чётные и нечётные функции

Функцияf(x)- чётная, если для всех .

График чётной функции симметричен относительно оси Oy.

Функцияf(x) – нечетная, еслиf(-x) = -f(x)для всех .

График нечётной функции симметричен относительно начала координат/

3) Периодичность функции

Функция f(x) периодическая с периодом если для любогоx ( ) числа (x + T)и (x -T)также принадлежат и выполняется равенство:

ЕслиT – период функции, также периоды этой функции(k и T- наименьший её положительный период.

Функции иcosx имеют период T = 2

Функции и имеют период T =

Если функцияy = f(x) периодическая с периодомT, то функцияy = Af(kx + b) также периодическая с периодом , где A, k, и b некоторые числа и k Т-14 Обзор основных видов функции

1) Линейная функцияy = kx +b

2) Степенная функцияy =

Построение графиков функций и их свойства 3) Преобразование графика функцииy = f(x)

1) y = -f(x) - симметрия графика относительно оси Ох

2) y = f(-x) - симметрия графика относительно оси Оу

3) y = f(x-a) – параллельный перенос графика вдоль оси Ох

4) y =f(x) + c –параллельный перенос графика вдоль оси Оуна с единиц

5) y =kf(x) (k –растяжение или сжатие графика вдоль оси Оу (при k растяжение, при 0 1 -сжатие)

6) y = f( ( –растяжение или сжатие графика вдоль оси Ох ( при сжатие ,при растяжение)

7) y = –выше оси Ох (и на самой оси) график остается без изменений; ниже оси Ох- симметрично отображается относительно оси Ох.

8) y = f ) – правее оси Оу (и на самой оси) график остается без изменений; та же самая часть графика отображается симметрично относительно оси Оу.

Раздел 4. Геометрия

Т-15. Углы. Параллельные и перпендикулярные прямые

1) Понятие угла

Угол как фигура, образованная двумя лучами с общим началом(вершиной угла)

Плоский угол – часть плоскости, ограниченной двумя лучами с общим началом.

2) Виды углов

Прямой угол, острый угол, тупой угол, развернутый угол, больший развернутого угла

3) Биссектриса угла

Биссектриса угла – это луч, имеющий начало в вершине угла, лежащей в его внутренней области и делящий угол на два равных угла

4) Смежные и вертикальные углы

6) Параллельные прямые

1. Две прямые параллельны, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются: a

2. Через точку вне данной прямой можно провести одну прямую, параллельную данной.

3. Признаки параллельности прямых:

1) Если внутренние накрест лежащие или соответственные углы равны, то a

2) Если сумма внутренних односторонних углов равна 180 , то a

3) Если a⊥ с и b⊥c, то a ‖ b

4) Если a ‖ b, b ‖ c, то a ‖ c.

4.Свойства параллельных прямых и секущей

Если a ‖ b, а с- секущая, то

1) внутренние накрест лежащие углы равны;

2) соответственные углы равны;

3) сумма внутренних односторонних углов равна 180

4) если a ‖ b и c⊥a, то c⊥b

7) Перпендикулярные прямые

1. Две прямые перпендикулярные, если они пересекаются под прямым углом: a⊥b, ∠AOB= 90

2. Через данную точку можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной прямой.

3. Перпендикуляр к прямой – отрезок ОА, проведенный из точки О к прямой а под прямым углом (А – основание перпендикуляра, ОА – кратчайшее расстояние от точки О до прямой а.

Т-16. Треугольники, их виды и свойства.

Т-17. Подобие фигур.

1.Подобие треугольников

1) ∆ ABC ∆ A₁B₁C₁ , тогда∠A =∠A_{1 ,} ∠B =∠B_1, ∠C=∠C₁ и = = = = =k (k-коэффициент подобия)

2) = = k; = =

2.Признаки подобия треугольников

1) По двум равным углам:

∆ ABC ∆ A₁B₁C_1, если ∠A =∠A_{1 ,} ∠B =∠B₁

2) По двум пропорциональным сторонам и углу между ними:

∆ ABC ∆ A₁B₁C_1, если = и тогда∠B =∠B₁

3) По трём пропорциональным сторонам

∆ ABC ∆ A₁B₁C_1, если = =

4) Прямая, пересекающая две стороны треугольника и параллельная третьей его стороне , отсекает треугольник, подобный данному.

Т-18. Четырехугольники, их виды и свойства. Многоугольники.

1) Определение параллелограмма

Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны

2) Свойства параллелограмма

1) равенство противоположных сторон и углов;

2) диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника;

3) диагонали точкой пересечения делятся пополам;

4) ABCD– параллелограмма, ACи BD- его диагонали + B = 2

3) Признаки параллелограмма

ЧетырёхугольникABCD – параллелограмм, если

1) две стороны попарно равны и параллельны;

2) противоположные стороны попарно равны;

3) диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

4) Виды параллелограммов и их дополнительные свойства

1.Прямоугольник:

- диагонали прямоугольника равны.

2. Ромб:

-диагонали ромба перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.

3. Квадрат:

- имеет свойства любого из параллелограммов.

5) Трапеция

1.Определение трапеции, её элементы. Виды трапеции

2. Равнобокая трапеция и её свойства

1 ) ∠A =∠D;∠B =∠C. 2)AC=BD. 3)A = D = . 3.В прямоугольной трапеции высота равна боковой стороне, которая перпендикулярна основаниям.

4. Средняя линия трапеции MN :

- MN ‖ AD; MN‖ BC.

- MN = (BC + AD).

6) Многоугольники

1.Определение выпуклого многоугольника, его диагонали.

2.Углы многоугольника. Внешний угол при данной вершине.

3.Свойства:

- сумма всех внутренних углов вычисляется по формуле 180 ( n- число углов многоугольника);

- сумма всех внешних углов, взятых по одному при вершине, равна 360

Т-19. Окружность и круг, хорды, дуги, касательные и секущие. Углы в окружности.

1) Определение окружности, хорды, дуги.

2) Свойства дуги хорд 1.Равные дуги стягивают равные хорды и наоборот

Т-20. Вписанные и описанные многоугольники. Правильные многоугольники

Т-21. Площади треугольников и четырехугольников.

Т-22. Длина окружности и площадь круга