Методическая разработка урока по математике (ЕН) Решение прикладных задач с помощью матриц

Государственное автономное профессиональное

образовательное учреждение

«Казанский нефтехимический колледж имени В.П. Лушникова»

Методическая разработка урока по дисциплине

ЕН.01. Математика

Тема: «Решение прикладных задач с помощью матриц»

Маркина Людмила Андреевна,

КНХК им.В.П.Лушникова, преподаватель

Казань, 2022

Специальность: Монтаж, техническое обслуживание и ремонт промышленного оборудования (по отраслям)

Цель урока:

Научиться решать прикладные задачи с помощью матриц

Задачи:

- познакомить студентов с прикладными возможностями матриц

- обеспечить проверку усвоения учащимися изученного материала;

- создать условия для использования приобретенных знаний при решении задач разного содержания и уровня сложности;

- формировать навыки работы в команде, умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности, эффективно разрешать конфликты;

 - способствовать развитию навыков устной речи, умению грамотно вести диалог и аргументировать свои действия.

Тип урока: совершенствование знаний, умений и способов деятельности

Форма организации учебного процесса: урок-практикум

Методы: Поисковый, деятельный

Используемые образовательные технологии: Обучение в сотрудничестве (командная, групповая работа), информационно – коммуникационные технологии, игровые технологии, кейс-технологии.

Интерактивный материал: тест на платформе Онлайн Тест Пад, презентация, карточки с заданиями для работы в группах, метки для рефлексивной мишени, листы А3

Этапы урока

1. Организационный момент

1.1 Постановка цели и задач урока

2. Актуализация знаний, мотивация к деятельности

2.1 Повтор правил и определений

2.2 Опрос в виде теста на платформе Онлайн тест Пад

(ссылка: https://onlinetestpad.com/awhcpyou25unq)

3. Обобщение, систематизация и совершенствование знаний, умений и способов деятельности

3.1 Решение типовых задач электротехники и экономики

Отдых! Зарядка для глаз.

3.2 Решение кейсов, представление результатов (работа в группах)

4. Рефлексия

4.1 Подведение итогов урока (Метод «Рефлексивная мишень»)

4.2 Задание на дом

4.3 Выставление оценок

Конспект урока

1. Здравствуйте, ребята! Рада вас видеть! Как настроение. Готовы к занятию?

Мы продолжаем работать с матрицами. На прошлом уроке мы уже убедились, что с помощью матриц можно быстрее решать системы алгебраических уравнений. Сегодня перед нами стоит задача убедиться, что матрицы используются во многих областях жизни человека и облегчают расчеты не только для математиков, но и для людей других специальностей.

Откройте тетради, запишите тему урока: Решение прикладных задач с помощью матриц.

2. Прежде чем перейти к задачам, давайте повторим основные определения и правила действий с матрицами.

(Учитель задает вопросы, студенты устно отвечают)

- Что такое матрица?

- Какие виды матриц вы знаете?

- Какие действия определены над матрицами?

- Какие существуют способы вычисления определителя?

- Какие методы решения СЛАУ нам известны и в чем они заключаются?

Молодцы!

А теперь - опрос. Каждому из вас пришло приглашение на выполнение теста на платформе Онлайн Тест Пад. Проходим по ссылке, выполняем задания, отвечаем на вопросы.

Кто справился, вам задание:

Найти определитель различными способами

3. Вы – будущие специалисты монтажа, техники, хорошо знакомы с такими понятиями, как электрические цепи, ток, напряжение, ЭДС и пр. Для решения основных задач в своей области, в частности при расчете параметров электрических цепей, вы будете использовать уравнения Кирхгофа. Оказывается, записывая уравнения Кирхгофа в матричной форме, благодаря линейной алгебре и ее методам, значительно можно упростить процесс длительных расчетов, а значит, увеличить эффективность своей деятельности.

Задача 1

Дана электрическая цепь. Необходимо определить ток в ветвях, с помощью законов Кирхгофа. Сопротивления резисторов и ЭДС источников известны.

Небольшой экскурс в электротехнику - вспомним законы Кирхгофа.

Законы Кирхгофа – правила, которые показывают, как соотносятся токи и напряжения в электрических цепях. Эти правила были сформулированы Густавом Кирхгофом в 1845 году.

П

I1

I3

I4

I5

Узел это точка, соединяющая ветви, ветвь - участок цепи между узлами.

I₁ – I₂ – I₃ + I₄ + I₅ = 0

Второй закон Кирхгофа – алгебраическая сумма ЭДС, действующая в замкнутом контуре, равна алгебраической сумме падений напряжения в этом контуре. 

Вернемся к нашей задаче.

Используя первый закон Кирхгофа, можно записать n-1 уравнений для цепи. В нашем случае количество узлов n=2, а значит нужно составить только одно уравнение.

Итак, I₃ – I₁ - I₂ = 0

Согласно второму закону получаем уравнения для первого и второго контуров цепи. Направления обхода выбраны произвольными (у нас- по часовой стрелке), при этом если направление тока через резистор совпадает с направлением обхода, берем со знаком плюс, и наоборот если не совпадает, то со знаком минус. Аналогично с источниками ЭДС.

На примере первого контура – ток I₃ и I₁ совпадают с направлением обхода контура (против часовой стрелки), ЭДС E₁ также совпадает, поэтому берем их со знаком плюс.

Уравнения для первого и второго контуров по второму закону будут: 

R₁I₁ + R₃I₃ = E₁

R₂I₂ + R₃I₃ = E₂

В се эти три уравнения образуют систему

R₁I₁ + R₃I₃ = E₁

R₂I₂ + R₃I₃ = E₂

I₃ – I₁ - I₂ = 0

Подставляем исходные значения, получаем систему:

1 00I₁ + 150I₃ = 75

150I₂ + 150I₃ = 100

-I₁ – I₂ + I₃ = 0

Разделим первую строку на 25, вторую – на 50, получим систему:

4 I₁ + 6I₃ = 3

4I₂ + 3I₃ = 2

-I₁ – I₂ + I₃ = 0

Решим СЛАУ по правилу Крамера:

∆ =   = 4·3·1 + 0·3·(-1) + 6·0·(-1) - 6·3·(-1) - 4 ·3·(-1) - 0·0·1 =  = 12 + 0 + 0 + 18 + 12 - 0 = 42

∆₁ =  = 3·3·1 + 0·3·0 + 6·2·(-1) - 6·3·0 - 3·3·(-1) - 0·2·1 = 

= 9 + 0 - 12 - 0 + 9 - 0 = 6

∆₂ =   = 4·2·1 + 3·3·(-1) + 6·0·0 - 6·2·(-1) - 4·3·0 - 3·0·1 = 

= 8 - 9 + 0 + 12 - 0 - 0 = 11

∆₃ =   = 4·3·0 + 0·2·(-1) + 3·0·(-1) - 3·3·(-1) - 4·2·(-1) - 0·0·0 =

 = 0 + 0 + 0 + 9 + 8 - 0 = 17

Тогда

I₁ =  _{ } = _{ } = 0,143

I₂  =  _{ } = _{ } = 0,262

I₃ =  _{ } = _{ } = 0,405

Задача решена.

Матрицы в экономике

С помощью матриц удобно записывать некоторые экономические зависимости. Например, таблица распределения ресурсов по отдельным отраслям экономики (усл. ед.)

может быть записана в компактной форме в виде матрицы распределения ресурсов по отраслям:

А =

В данной записи, например, матричный элемент       = 5,3   показывает, сколько электроэнергии употребляет промышленность, а элемент       = 2,1   - сколько трудовых ресурсов потребляет сельское хозяйство.

Матричные методы находят широкое применение в экономических расчетах.

Задача 2.

Предприятие производит следующие изделия: перчатки, сумки и портмоне. Для производства используется сырье 3-х видов. Известен расход сырья на единицу изделия и объем расхода сырья на 1 неделю (заданы в таблице). Необходимо найти еженедельный объем выпускаемой продукции каждого вида.

Составим математическую модель задачи. Пусть x – это объем производства перчаток, y – объем производства сумок и z - объем производства портмоне. С учетом нормы расходы каждого вида сырья на единицу изделия составим систему уравнений:

Решим данную систему по правилу Крамера

∆ = _{ }  = 6·0·4 + 2·1·3 + 0·1·2 - 0·0·3 - 6·1·2 - 2·1·4 = 0 + 6 + 0 - 0 - 12 - 8 = -14

∆₁ = _{ }  = 280·0·4 + 2·1·310 + 0·60·2 - 0·0·310 - 280·1·2 - 2·60·4 = 

= 0 + 620 + 0 - 0 - 560 - 480 = -420

∆₂ = _{ }  = 6·60·4 + 280·1·3 + 0·1·310 - 0·60·3 - 6·1·310 - 280·1·4 = 

= 1440 + 840 + 0 - 0 - 1860 - 1120 = -700

∆₃ = _{ } =  = 6·0·310 + 2·60·3 + 280·1·2 - 280·0·3 - 6·60·2 - 2·1·310 =

=  0 + 360 + 560 - 0 - 720 - 620 = -420

x  =  _{ } = _{ } = 30

y  =  _{ } = _{ } = 50

z  =  _{ } = _{ } = 30

Таким образом, еженедельный объем выпускаемой продукции, с учетом запасов сырья, составит 30 шт перчаток, 50 шт – сумок и 30 шт – портмоне.

Отдых! Зарядка для глаз

Следующее задание. Распределяемся на группы: техники монтажа, экономисты, математики-прикладники. Вам предлагаются кейсы. Необходимо: решить кейс, представить свою работу.

(Представление решенных кейсов)

4. Ребята, оцените сегодняшнее занятие, расставьте метки на мишени.

Домашнее задание:

Решить задачи:

1 (экономика)

Найти ежедневный объем выпуска каждого вида обуви.

2 (электротехника)

Дана электрическая схема.  ЭДС источника питания равна Е1=5 В, а сопротивления R1=100 Ом, R2=510 Ом, R3=10 кОм. Требуется рассчитать напряжения на резисторах и ток через каждый резистор.

Выставление оценок.

Спасибо за урок!

Список литературы

1. Бардушкин, В. В. Математика. Элементы высшей математики : учебник : в 2 томах. Том 2 / В.В. Бардушкин, А.А. Прокофьев. — Москва : КУРС : ИНФРА-М, 2022. — 368 с. — (Среднее профессиональное образование). - ISBN 978-5-906923-34-9. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1817031 – Режим доступа: по подписке.

2. Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / Н.Ш. Кремер [и др.] ; под ред. проф. Н.Ш. Кремера. - 3-е изд. - М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2017. - 479 с. — (Серия «Золотой фонд российских учебников») - ISBN 978-5-238-00991-9. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1028709 – Режим доступа: по подписке.

Приложение 1

Кейс 1

Дана электрическая цепь (рисунок). Параметры элементов электрической цепи следующие: R1=45 Ом, R2=15 Ом, R3=45 Ом, R1=75 Ом, E1=60 В, E2=450 В.

Определить токи в ветвях, с помощью законов Кирхгофа.

Кейс 2

Пусть  предприятие выпускает продукцию трех видов:    ,  ,   и использует сырье двух типов:   и   . Нормы расхода сырья характеризуются матрицей А = , где каждый элемент      (i = 1,2,3; j = 1,2)   показывает, сколько единиц сырья j-го типа расходуется на производство единицы продукции i-го вида. План выпуска продукции задан матрицей-строкой   С   = (100 80 130) , стоимость единицы каждого типа сырья (ден. ед.) - матрицей столбцом В =

Рассчитать общую стоимость сырья.

Кейс 3

В наличии имеются три комплекта игрушек.

1 комплект: 5 роботов, 7 кукол и 12 мячей стоят 2810 руб.

2 комплект: 9 роботов и 15 мячей стоят 1737 руб.

3 комплект: 12 кукол и 8 мячей стоят 3240 руб.

Определить цену робота, куклы, мяча.

Приложение 2