Методическая разработка урока по теме ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. ПОНЯТИЕ О НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ

(Раздел «Начала математического анализа»)

Профессии: 15.01.20 Слесарь по контрольно-измерительным приборам и автоматике, 09.01.03 Мастер по обработке цифровой информации, 23.01.03 Автомеханик, 09.01.01 Наладчик аппаратного и программного обеспечения

Учебные группы: КИП-11, М-11, А-11, Н-11

Учебная дисциплина: ООПу.04 Математика

Тема учебного занятия: Предел функции. Понятие о непрерывности функции.

Тип урока: урок «открытия» новых знаний

Вид урока: лекция-беседа

Средства обучения:

• технические: мультимедийный проектор, персональный компьютер;

• информационно-коммуникационные: электронная презентация.

Цели урока:

методическая: использование объяснительно-иллюстративного метода обучения с целью формирования математического мышления студентов;

образовательная: создание условий для овладения знаниями о пределах функции, понятие о непрерывности функции.;

развивающая: развитие умений планировать, анализировать, выдвигать гипотезы по решению заданий, применять полученные знания для выполнения упражнений;

воспитательная: воспитание интереса к изучению математики, математической культуры студентов.

Прогнозируемые результаты:

1) предметные:

• сформированность знаний о вычислениях пределов функции;

• владение умением решать задачи на пределы функции;

2) метапредметные:

• регулятивные:

• умение ставить перед собой цель, видеть ожидаемый результат работы;

• умение рационально распределять рабочее время;

• умение объективно оценивать свои возможности, анализировать свои результаты, корректировать свои действия;

• владение навыками познавательной рефлексии;

• познавательные:

• умение осуществлять поиск и отбор необходимой информации;

• умение сопоставлять и анализировать, выделять в тексте базовые и вспомогательные концепты, опорные понятия, тезисы, структурировать их взаимосвязь;

• умение структурировать полученную информацию;

• умение анализировать и обобщать информацию;

• коммуникативные:

• умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности;

• умение выражать свои мысли с достаточной полнотой и точностью.

Образовательные технологии: традиционное обучение.

Формы организации обучения: фронтальная, индивидуальная.

Методы обучения и контроля:

• вербальные: беседа;

• практические: метод сравнения, метод анализа и структурирования.

• методы контроля и самоконтроля: устный контроль, самоконтроль.

Нормативный документ

Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (утв. приказом Министерства образования и науки Российской Федерации (Минобрнауки России) от 17 мая 2012 г. № 413 г.). – М.: Министерство образования и науки РФ, – 2012.

Образовательные ресурсы:

Основная литература

1. Башмаков М. И. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования. − М.: Издательский центр «Академия», 2018. – 256 с.

2. Башмаков М. И. Математика. Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. − М.: Издательский центр «Академия», 2014. – 416 с.

Дополнительная литература

1. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни).10—11 классы. Учебник. − М.: Просвещение, 2014. – 464 с.

2. Атанасян Л.С. Геометрия. 10 − 11 классы: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни / Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. – М.: Просвещение, 2013. – 255 с.

3. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие для техникумов / Н.В. Богомолов. – М.: Высш. шк., 2013. – 495 с.

4. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика (Книга 1): Учебное пособие. – М.: Издательство «Новая волна», 2013. – 656 с.

5. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика (Книга 2): Учебное пособие. – М.: Издательство «Новая волна», 2013. – 592 с.

6. Никольский С.М. Алгебра и начала анализа: учебник для 10 класса общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни / С.М. Никольский, М.К. Потапов. – М.: Просвещение, 2013. – 430 с.

7. Никольский С.М. Алгебра и начала анализа: учебник для 11 класса общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни / С.М. Никольский, М.К. Потапов. – М.: Просвещение, 2013. – 464 с.

Интернет-ресурсы:

1. Федеральный центр информационно-образовательных ресурсов [Электронный ресурс] URL: www. fcior. edu. ru

2. Единая коллекции цифровых образовательных ресурсов [Электронный ресурс] URL: www. school-collection. edu. ru

Научно-методические ресурсы:

1. Инновационные педагогические технологии: учебное пособие/ Михелькевич В.Н., Нестеренко В.М., Кравцова П.Г. – Самар. гос. тех. ун-т Самара, 2001. – 89 с.

2. Кульневич С.В., Лакоценина Т.П. Современный урок. Часть 1: Научно-практич. пособие для учителей, методистов, руководителей учебных заведений, студентов пед. заведений, слушателей ИПК. – Ростов н/Д: Учитель, 2005. – 288 с.

3. Кульневич С.В., Лакоценина Т.П. Современный урок. Часть 3: Научно-практич. пособие для учителей, методистов, руководителей учебных заведений, студентов пед. заведений, слушателей ИПК. – Ростов н/Д: Учитель, 2007. – 288 с.

4. Махмутов М.И. Проблемное обучение: Основные вопросы теории. – М.: Педагогика, 1975. – 368 с.

Основные термины и понятия: предел функции, непрерывность функции.

Содержание учебного материала:

1) Сформированность знаний о вычислениях пределов функции.

2) Закрепление теоретического материала по теме с помощью решения упражнений.

1. Этап мотивации (самоопределения) к учебной деятельности (2 мин)

Преподаватель приветствует студентов, создает деловую обстановку, настраивает на продуктивную мыслительную деятельность.

1. Этап актуализации опорных знаний. Целеполагание (15 мин)

Преподаватель задает вопросы студентам:

1. Какие вы знаете пределы функции?

2. Приведите пример предела функции.

Студенты отвечают на эти вопросы, вспоминая знания, полученные на предыдущем занятии.

Формулирование темы и целей учебного занятия.

1. Работа над новой темой («открытие» нового знания) (48 мин)

Алгоритм работы над «открытием» нового знания:

Формулирование преподавателем определений предела функции, понятия о непрерывности функции.

Предел функции на бесконечности

Рассмотрим несколько видов записи предела функции на бесконечности

1. Дана функция 𝑦=𝑓(𝑥), в области определения которой содержится луч [𝑎;+∞), и пусть прямая 𝑦=𝑏 является горизонтальной асимптотой графика функции 𝑦=𝑓(𝑥). 
В этом случае используется запись: 𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞𝑓(𝑥)=𝑏

(читают: предел функции 𝑦=𝑓(𝑥) при стремлении 𝑥 к плюс бесконечности равен 𝑏).

2.  Если дана функция 𝑦=𝑓(𝑥), в области определения которой содержится луч (−∞;𝑎], и прямая 𝑦=𝑏является горизонтальной асимптотой графика функции 𝑦=𝑓(𝑥), то в этом случае используется запись: 

(читают: предел функции 𝑦=𝑓(𝑥) при стремлении 𝑥 к минус бесконечности равен 𝑏).

3. Если одновременно выполняются соотношения:

 и   — то можно объединить их одной записью:  .

Но обычно используют более экономную запись: 

(читают: предел функции 𝑦=𝑓(𝑥) при стремлении 𝑥 к бесконечности равен 𝑏). 

В этом случае прямая 𝑦=𝑏 является горизонтальной асимптотой графика функции 𝑦=𝑓(𝑥) как бы с двух сторон.

Вычисление предела функции на бесконечности осуществляется по тем же правилам, что и вычисление предела последовательности. Приведём их (с соответствующими изменениями).

1. Для любого натурального показателя 𝑚 и любого коэффициента 𝑘 справедливо соотношение:

.

2. Если  ,  , то 

а) предел суммы равен сумме пределов:

;

б) предел произведения равен произведению пределов:

;

в) предел частного равен частному пределов (разумеется, при условии, что 𝑐≠0): 

;

г) постоянный множитель можно вынести за знак предела:

.

Предел функции в точке

Рассмотрим функцию, график которой изображён на рисунке:

Для заданного случая предел функции 𝑦=𝑓(𝑥) при стремлении 𝑥 к 𝑎 равен 𝑏. Записывают:  .

Содержательный смысл приведённой выше записи заключается в следующем: 
если значения аргумента выбираются всё ближе и ближе к значению 𝑥=𝑎, то значения функции всё меньше и меньше отличаются от предельного значения 𝑏. 

Можно сказать и так: 
в достаточно малой окрестности точки 𝑎 справедливо приближенное равенство 𝑓(𝑥)≈𝑏 (причём это приближенное равенство тем точнее, чем меньшая окрестность выбирается). 

При этом, подчеркнём, сама точка 𝑥=𝑎 исключается из рассмотрения.

Функцию 𝑦=𝑓(𝑥) называют непрерывной в точке 𝑥=𝑎, если выполняется соотношение:

.

 Иными словами, функцию 𝑦=𝑓(𝑥) называют непрерывной в точке 𝑥=𝑎, если предел функции 𝑦=𝑓(𝑥) при стремлении 𝑥 к 𝑎 равен значению функции в точке 𝑥=𝑎. 

Функцию 𝑦=𝑓(𝑥) называют непрерывной на промежутке 𝑋, если она непрерывна в каждой точке промежутка.

Eсли выражение 𝑓(𝑥) составлено из рациональных, иррациональных, тригонометрических и обратных тригонометрических выражений, то функция 𝑦=𝑓(𝑥) непрерывна в любой точке, в которой определено выражение 𝑓(𝑥).

Приращение аргумента. Приращение функции

Изучая поведение функции 𝑦=𝑓(𝑥) около конкретной точки 𝑥₀, важно знать, как меняется значение функции при изменении значения аргумента. Для этого используют понятия приращений аргумента и функции.

Пусть функция 𝑦=𝑓(𝑥) определена в точках 𝑥₀ и 𝑥₁. Разность 𝑥₁−𝑥₀ называют приращением аргумента (при переходе от точки 𝑥₀ к точке 𝑥₁), а разность 𝑓(𝑥₁)−𝑓(𝑥₀) называют приращением функции.

Приращение аргумента обозначают Δ𝑥 (читают: дельта икс; Δ — прописная буква греческого алфавита «дельта»; соответствующая строчная буква пишется так: δ). Приращение функции обозначают Δ𝑦 или Δ𝑓.

Итак, 𝑥₁−𝑥₀=Δ𝑥, значит, 𝑥₁=𝑥₀+Δ𝑥.

𝑓(𝑥₁)−𝑓(𝑥₀)=Δ𝑦, значит, Δ𝑦=𝑓(𝑥₀+Δ𝑥)−𝑓(𝑥₀).

Нельзя истолковывать термин «приращение» как «прирост».

Функция 𝑦=𝑓(𝑥) непрерывна в точке 𝑥=𝑎, если в этой точке выполняется следующее условие: если Δ𝑥→0, то Δ𝑦→0.

Использование правила Лопиталя

Правило Лопиталя для неопределённостей вида  .

Допустим, что функции 𝑓(𝑥) и 𝑔(𝑥) определены и имеют производные в некоторой окрестности точки a (за исключением, может быть, самой точки a), к тому же   и 𝑔′(𝑥)≠0. 

Значит, если существует предел (конечный или бесконечный) отношения производных  , то существует и предел деления функций: 

.

Такая же теорема справедлива для неопределённости вида  .

Пример:

1. ;

2.  .

1. Включение нового знания в систему имеющихся знаний (20 мин)

Неопределённость 0 × ∞

Неопределённости 0⋅∞ и ∞−∞ 

можно свести к неопределённостям   или  .

Если нужно вычислить предел  , где 𝑔(𝑥) стремится к нулю, а ℎ(𝑥) стремится к бесконечности, это произведение можно изменить так, чтобы получить одну из двух необходимых неопределённостей: 

Пример:

1. 

;

2. 

Неопределённость ∞ - ∞

Если нужно вычислить предел  , где функции 𝑔(𝑥) и ℎ(𝑥) стремятся к бесконечности (т. е. существует неопределённость ∞−∞), эту разность можно преобразовать в неопределённость 00 следующим образом (если невозможно вычислить предел более простым способом):

Пример:

1. 

.

2. 

.

Неопределённости со степенями

Допустим, что нужно вычислить предел 

В таком случае возможны эти 3 варианта:

1. обе функции — 𝑔(𝑥) и ℎ(𝑥) — стремятся к нулю — неопределённость  ;

2. функция 𝑔(𝑥) стремится к бесконечности, а функция ℎ(𝑥) стремится к нулю — неопределённость ∞⁰;

3. функция 𝑔(𝑥) стремится к одному, а функция ℎ(𝑥) стремится к бесконечности — неопределённость 1^∞.

В этих случаях нужно использовать преобразование  вычислить предел, находящийся в показателе степени (справляясь с неопределённостью 0⋅∞), и тогда возводить в степень.

Пример:

1. неопределённость 0⁰:

1. Неопределённость 1^∞:

1. Неопределённость ∞⁰:

.

1. Рефлексия. Подведение итогов учебного занятия (5 мин)

Беседа со студентами по содержанию занятия. Вопросы для беседы:

1. Какая была тема сегодняшнего занятия?

2. Что нового вы узнали?

3. Какая была цель занятия?

4. Что получилось у вас сегодня?

5. Что не получилось?

6. Достигли ли мы поставленной цели?

7. Инструктирование о выполнении домашнего задания

Лекция