Методы решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными

Практическое занятие №23.

Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными и методы их решения.

Цель занятия:

• учить распознавать ДУ с разделяющимися переменными;

• учить вычислять ДУ с разделяющимися переменными;

• учить применять различные методы решения ДУ с разделяющимися переменными.

Пояснение к работе.

Среди обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка существуют такие, в которых возможно переменные x и y разнести по разные стороны знака равенства. В уравнениях вида   переменные уже разделены, а в ОДУ   переменные разделяются посредством преобразований. Кроме того, некоторые дифференциальные уравнения сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными после введения новых переменных.

Дифференциальные уравнения   называют уравнениями с разделенными переменными.

Название этого вида дифференциальных уравнений достаточно показательно: выражения, содержащие переменные x и y, разделены знаком равенства, то есть, находятся по разные стороны от него.

Будем считать, что функции f(y) и g(x) непрерывны.

Общим интегралом уравнения с разделенными переменными является равенство  . Если интегралы из этого равенства выражаются в элементарных функциях, то мы можем получить общее решение дифференциального уравнения как неявно заданную функцию Ф(x, y) = 0, а иногда получается выразить функцию y в явном виде.

Пример1. Найдите общее решение дифференциального уравнения с разделенными переменными .

Решение: Проинтегрируем обе части равенства:  . По сути, мы уже получили общее решение исходного дифференциального уравнения, так как свели задачу решения дифференциального уравнения к уже известной задаче нахождения неопределенных интегралов. Однако, эти неопределенные интегралы выражаются в элементарных функциях, и мы можем взять их, используя таблицу первообразных:
 
где С₁ и С₂ – произвольные постоянные.

Мы пришли к неявно заданной функции  , которая является общим решением исходного дифференциального уравнения с разделенными переменными. Ответ можно оставить в таком виде. Но в нашем случае искомую функцию y можно выразить явно через аргумент x. Итак,  , где  . То есть, функция   является общим решением исходного дифференциального уравнения.

Замечание.

Ответ можно записать в любом из трех видов   или  , или  . Но имейте в виду, что многие преподаватели наряду с Вашим умением решать дифференциальные уравнения хотят также проверить умение брать интегралы и преобразовывать выражения. Так что, если есть возможность, старайтесь ответ давать в виде явной функции y или в виде неявно заданной функции Ф(x, y) = 0.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

  .

Прежде чем продолжить, напомним, что   когда y является функцией аргумента x.

В дифференциальных уравнениях 

 или   

переменные могут быть разделены, проведением преобразований. Такие ОДУ называются дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными. Соответствующее ДУ с разделенными переменными запишется как

  .

При разделении переменных следует быть очень внимательными, чтобы проводимые преобразования были эквивалентными (чтобы f₂(y) и g₁(x) не обращались в ноль на интервале интегрирования). В противном случае можно потерять некоторые решения. Разберемся с этим на примере.

Пример 2. Найти все решения дифференциального уравнения 

Решение: Это уравнение с разделяющимися переменными, так как мы можем разделить x и y:

Для нулевой функции y исходное уравнение обращается в тождество

  , поэтому, y = 0 является решением дифференциального уравнения. Это решение мы могли упустить из виду.

Проинтегрируем дифференциальное уравнение с разделенными переменными

В преобразованиях мы заменили C₂ - C₁ на С.

Мы получили решение ДУ в виде неявно заданной функции 

На этом можно закончить. Однако в нашем случае функцию y можно выразить явно, проведя потенцирование полученного равенства:

Задание.

Решить дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными по вариантам.