Методы решения тригонометрических уравнений

Тема занятия: Методы решения тригонометрических уравнений.

Цели:

• систематизировать, обобщить, расширить знания и умения учащихся, связанные с применением методов решения тригонометрических уравнений;

• содействовать развитию математического мышления учащихся;

• побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности.

Время:80 минут.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Метод обобщения: частично-поисковый. Тестовая проверка уровня знаний, работа по схеме, решение познавательных задач, системные обобщения, самопроверка, взаимопроверка.

Форма организации урока: индивидуальная, фронтальная, групповая.

Оборудование и источники информации: мультимедийный проектор; системно-обобщающая схема; карточки-задания, тест (у каждого ученика), лист учета знаний (учащийся строит график).

ХОД УРОКА

Орг. момент (3 мин.)

Приветствие

Слова преподавателя. Цитата к уроку: «Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и впоследствии подтвердить это, – что, следуя этому методу, мы достигнем цели». Лейбниц. Сегодня мы говорим о методах решения тригонометрических уравнений. Мы знаем, что правильно выбранный метод часто позволяет существенно упростить решение, поэтому все изученные нами методы всегда нужно держать в зоне своего внимания, чтобы решать конкретные задачи наиболее подходящим методом.

I этап. Проверка теоретического материала

• Установить соответствие между вопросами и ответами (3 ученика у доски).

Работа у доски.

Проверка соответствия между вопросами и ответами.

Вариант 1

Вариант 2.

Вариант 3.

• В это время ребята выполняют тест

Тест.

Определение общей формулы записи решения элементарных тригонометрических уравнений.

Вариант 1

Укажите общую формулу, по которой находятся все корни уравнения.

(*- правильный вариант ответа)

Вариант 2

Укажите общую формулу, по которой находятся все корни уравнения.

(*- правильный вариант ответа)

Тест проводится под копировальную бумагу. Копии решений теста сдаются на проверку. Проверка теста с помощью мультимедийного проектора (В это время 3 консультанта проверяют работу учащихся у доски и ставят оценку).

Сообщения учащихся

Сообщения учащихся

Первый учащийся.

«Тригонометрия»

Тригонометрия – математическая дисциплина, изучающая зависимость между сторонами и углами треугольника.

Казалось бы, тригонометрию можно считать лишь частью геометрии, однако тригонометрические функции, с помощью которых связываются элементы треугольника, - это объект изучения математического анализа, а тригонометрические уравнения – уравнения, в которых неизвестные являются аргументами тригонометрических функций, - изучаются методами алгебры. Таким образом, тригонометрия – раздел математики, использующий достижения других важных ее разделов.

Тригонометрия возникла из практических нужд человека. С ее помощью можно определить расстояние до недоступных предметов и вообще, существенно упрощать процесс геодезической съемки местности для составления географических карт.

Зачатки тригонометрических познаний зародились в древности. На раннем этапе тригонометрия развивалась в тесной связи с астрономией и являлась ее вспомогательным разделом.

Древнегреческие ученые разработали «Тригонометрию хорд», изложенную Птолемеем (II в.) в его работе «Альмагест». Птолемеем вывел соотношения между хордами в круге (выражавшиеся словесно ввиду отсутствия в то время математической символики), которые равносильны современным формулам для синуса половинного и двойного угла, суммы и разности двух углов:

Важный шаг в развитии тригонометрии был сделан индийскими учеными, которые заменили хорды синусами. Это нововведение перешло в VIII в. в арабоязычную математику стран Ближнего и Среднего Востока, где тригонометрия постепенно превратилась из раздела астрономии в самостоятельную математическую дисциплину. Помимо синуса были введены и другие тригонометрические функции, и для них были составлены таблицы.

Общепринятые понятия тригонометрии, а также обозначения и определения тригонометрических функций сформировались в процессе долгого исторического развития. Если, например, при введении основных тригонометрических понятий представляется естественным принимать радиус тригонометрического круга равным единице, то эта, казалось бы, простая идея была усвоена только в X – XI вв.

Лишь постепенно, благодаря введению новых понятий, а также в результате разработки и усовершенствования математической символики, тригонометрия приобрела современный вид, наиболее удобный для решения вычислительных задач. Окончательный вид она приобрела в XVIII в. в трудах Л. Эйлера.

Второй учащийся.

«Физическая задача»

Снаряд, вылетевший из орудия со скоростью V₀=15м/сек под углом 60 к горизонту, находился в полете 12 сек. Какова дальность полета?

Решение.

(м)

Ответ: 90 (м)

II. Основная часть

1. Учащимся предлагается провести классификацию тригонометрических уравнений по методам решения, согласно приведенной ниже таблице. Обсуждение проводится в группах и затем делается вывод.

   № п/п	Уравнение	№ метода решения	Методы
   1.		2(а)	1. Разложение на множители
   2.		3	2. Введение новой переменной: а) сведение к квадратному; б) введение вспомогательного аргумента.
   3.		2(б)	3. Сведение к однородному уравнению.
   4.		1	4. Использование свойств функций, входящих в уравнение.
   5.		2а	5. Оценка правой и левой части уравнения.
   6.		3	6. Решение уравнения по известным формулам.
   7.		4, 2(а)
   8.		6
   9.		5
   10.		1
   11.		6
   12.		6
   13.		5
   14.		3

2. Группам дается задание

I группа – №№ 1, 4, 6.
II группа – №№ 5, 8, 9.
III группа – №№ 2, 10, 13.

Учащиеся осуществляют проверку по готовым решениям, используя мультимедийный проектор

Проверка заданий по группам

1 группа.

2 группа.

3 группа.

№2. Ответ: .	№10. Ответ: , .
№13. Ответ:

1. Найди ошибки

А теперь попробуем, зная ход и методы решения тригонометрических уравнений, найти ошибки в решенных примерах, используя мультимедийный проектор.

Пример 1.

Решение.

Ответ: .

Пример 2.

Решение.

Ответ: .

Пример 3.

Решение.

      или      
 

Ответ: , .

Пример 4.

Решение.

      или    

Ответ: , .

1. Самостоятельная работа

Самостоятельная работа

Решения.

Учитель собирает копии решений.
Учащиеся осуществляют самопроверку по готовым решениям (используется мультимедийный проектор).
В дальнейшем учитель планирует индивидуальную работу с теми, кто допустил ошибки.

III. Итог

Задание на самоподготовку.

• ;

• ;

• ;

•  – решить различными способами.

Пояснения к самоподготовке заданию.

Подведение итогов урока.