Методы решения задач с параметрами

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение 

«Центр образования № 1» г. Белгорода имени Героя Российской Федерации

Антона Геннадьевича Копейкина

Методы решения задач с параметрами

Понятийный аппарат

• Параметр – величина, характеризующая какое-нибудь основное свойство машины, устройства, системы или явления, процесса.
• Параметр – величина, входящая в математическую формулу и сохраняющую своё постоянное значение лишь в условиях данной задачи.

Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.

Многообразие заданий с параметрами охватывает весь курс школьной математики, но подавляющая часть из них относится к одному из четырех типов:

• уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству;
• уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров);
• уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений);
• уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения .

Методы решения задач с параметрами

Функциональный (аналитический) метод,

в котором могут быть и геометрические, и алгебраические элементы,

Метод решения, основанный на построении и исследовании геометрической модели данной задачи

Алгебраический метод решения –

способ прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра;

Алгебраические выражения и параметр как переменная

Упростите выражение

и вычислите его значение при x = 1 + α, где 0

Решение: = =

= = + .

По условию: x = 1 + α, где 0

Получаем 0 x – 1 = α

+ = + = - = 2.

Ответ: 2

Алгебраические выражения и параметр как переменная

Задачи для самостоятельного решения:

 

• При каких значениях параметра a значение выражения 3 равно 30?

• При каких значениях параметра a значение выражения равно 0,5?

• При каком значении параметра b значение выражения равно 3?

• Найдите значение выражения , если .

• Пусть (x0; y0) – решение системы уравнений

3 Рассмотрим все возможные случаи: a 0 ; x ; x  ;  . a 0 ; x а = 0 ; 0 3; решений нет. Ответ: при a 0 x  ;  , при a 0 x  -   , при а = 0 решений нет. " width="640"

Линейные уравнения и неравенства

Для каждого значения

 

параметра а решите неравенство аx 3

Рассмотрим все возможные случаи:

• a 0 ; x ; x  ;  .
• a 0 ; x
• а = 0 ; 0 3; решений нет.

Ответ: при a 0 x  ;  , при a 0 x  -   , при а = 0 решений нет.

𝟐𝒂 . Для каждого значения параметра a решите неравенство 𝟏𝟐𝒂𝒙−𝟏𝟒≥𝟔𝒂^𝟐 𝒙−𝟕𝒂 . " width="640"

Линейные уравнения и неравенства

Задачи для самостоятельного решения:

• Решите уравнение 𝒙+𝟏𝟐𝒂−𝒂^𝟐=𝟕(𝒙−𝟒) при всех значениях параметра a.

• Решите уравнение 𝟓𝒂(𝒙+𝟐𝒂)+𝟑𝒂=𝟕−𝒙 при всех значениях параметра a.

• Для каждого значения параметра a решите неравенство 𝒂𝒙𝟐𝒂 .

• Для каждого значения параметра a решите неравенство 𝟏𝟐𝒂𝒙−𝟏𝟒≥𝟔𝒂^𝟐 𝒙−𝟕𝒂 .

Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к квадратным

 

При каких значениях параметра m уравнение

имеет единственный корень?

Разберем возможные случаи:

• при m = 0 уравнение становится линейным . Оно имеет единственный корень x = 0,2.
• при m уравнение квадратное, оно имеет корень при D = 0.

дискриминант D =

m = 6,25.

уравнение имеет единственный корень при

Ответ: 0; 6,25.

Деление окружности на равные части при помощи таблицы хорд

 

Найдите все значения параметра p , при которых корни квадратного уравнения

а) разного знака б) положительные в) отрицательные

Вычислим дискриминант данного уравнения:

Деление окружности на 5 равных частей

 

а) по условию корни разного знака следовательно,

б) по условию корни положительные , т.е.

Получаем

в) по условию корни отрицательные , т.е.

Получаем и 8. Таких p нет .

Ответ: а) , б)