Методическая разработка урока

Элемент занятия, время

Действия преподавателя

Действия обучаемого

Организационный момент

(5 минут)

Заполнение журнала и рапортички, сообщение темы и задач, плана занятия.

Слушают преподавателя, записывают дату и тему занятия.

Изучение

нового

материала

(40 минут)

Лекция по плану

При построении графиков функций с помощью производной пользуются планом:

1 Найти область определения функции и определить точки разрыва, если они имеются.

2 Выяснить является ли функция четной или нечетной, проверить ее на периодичность.

3 Определить точки пересечения графика функции с координатными осями, если это возможно.

4 Найти критические точки функции I рода.

Что называется критическими точками функции I рода?

(Критические точки I рода – это точки, в которых производная равна нулю или не существует).

5 Определить промежутки монотонности и экстремумы функции.

Алгоритм нахождения промежутков монотонности и экстремумов функции с помощью первой производной

1 Найти производную функции .

2 Найти все критические точки из области определения функции.

3 Установить знаки производной функции при переходе через критические точки и выписать точки экстремума.

Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с плюса на минус, то это точка максимум, если наоборот, то минимум

4. Указать промежутки возрастания и убывания функции.

Если на указанном промежутке производная положительна, то функция возрастает на этом промежутке, если отрицательна, то убывает.

5. Вычислить значения функции в каждой экстремальной точке.

Алгоритм исследования функции на экстремум с помощью второй производной

1 Найти первую производную функции .

2 Приравнять ее к нулю, найти действительные корни полученного уравнения ( т.е. критические точки ().

3 Найти вторую производную .

4 Во вторую производную подставить поочередно все критические значения; если при этой подстановке вторая производная окажется положительной, то в этой точке функция имеет минимум; если же вторая производная окажется отрицательной, то функция имеет максимум.

6 Определить промежутки выпуклости и вогнутости функции и точки перегиба.

Правило нахождения интервалов выпуклости функции и точек перегиба

1 Найти вторую производную функции и точки, в которых она равна нулю или не существует.

2 Определить интервалы, на которые область определения разбивается найденными точками.

3 Установить знаки второй производной в каждом из указанных интервалов. Если 0 – вогнута. Изменение знака указывает на наличие точки перегиба.

4 Найти координаты точек перегиба.

7 Найти точки разрыва (если они есть) и асимптоты.

8 Используя результаты исследования, соединить полученные точки плавной кривой. Иногда для большей точности графика находят несколько дополнительных точек, их координаты вычисляют, пользуясь уравнением кривой.

Слушают преподавателя, записывают теорию, отвечают на вопросы, строят графики функции, решают прикладные задачи, задают вопросы.

Закрепление материала

(35 минут)

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Задача №1.

Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой y = x³ в точке С (-2;-8).

Решение.

Найдем производную функции y = x³ в точке х = -2. Тогда у` = 3х<sup>2</sup>, у`(-2) = 3∙(-2)² = 12.

Задача №2.

Кривая задана уравнением у = х² +5х. Определить углы наклона касательных к положительному направлению оси ОХ, проведенных к кривой в точке с абсциссой х = -2.

Решение.

Найдем производную, обозначив угол наклона касательной в точке с абсциссой х = -2 через α, получим tg α = y´_x=-2 = 2(-2)+5 = 1, α = arctg 1 = π/4 = 45⁰.

Задача №3.

В какой точке касательная к кривой y = x²-1 параллельна оси ОХ.

Решение.

Так как прямая параллельна оси ОХ, то она образует с ней угол 0⁰ и её угловой коэффициент, равный тангенсу этого угла, равен нулю.

y´= 2х

2х=0 , х=0 у(0)= 0² – 1=-1 А(0; -1) – точка в которой касательная параллельна оси ОХ.

Ответ: А(0; -1)

Задача №4.

Тело движется прямолинейно по закону s(t) = 3t³ - 4t + 2. Найти скорость и ускорение в момент времени t = 3.

Если известен закон движения как функция времени, то скорость и ускорение – это соответственно первая и вторая производные по времени, то есть

υ = s’(t) = 9t² - 4, тогда υ _t=3 = s’(3 )= 9∙3² – 4 = 77.

а = s’’(t) = 18t, a _t=3 = s’’(3) = 18∙3= 54.

Ответ: 77 и 54.

Задача №5.

_{Исследовать функцию и построить ее график}

1.Область определения (-∞; +∞). Функция непрерывна во всей области определения.

2. Исследуем функцию на четность (нечетность). Вместо x положим –x Получим: у(-х)=

Функция не является ни четной, ни нечетной, так как

у (-х)≠у(х) и у (-х)≠ -у(х)

3.Найдем точки пересечения с осями:

С осью ОХ вычислить невозможно.

С осью ОУ х=0. у(0)=4 А(0;4)

4.Найдем критические точки: y´= 3х² -12

3х² -12=0 3(х² -4)=0 3(х -2) 3(х +2)=0

Слушают преподавателя, отвечают на вопросы, дополняют друг друга, решают задачи, строят графики функций.

Выдача

домашнего задания

(5 минут)

Домашнее задание

1. Выучить теорию Л.3, § 55-58

2. Решить задачи:

В каких точках угловой коэффициент касательной к кубической параболе равен 3?

Исследуйте функцию на экстремум .

Исследовать функцию и построить её график.

Слушают

инструктаж преподавателя,

записывают

домашнее задание, задают вопросы.

Подведение итогов

(10 минут)

Краткое обобщение изученного материала:

Ответы на вопросы.

1. Сформулируйте признаки возрастания (убывания) функции на интервале.

2. Дайте определение максимума и минимума функции.

3. Сформулируйте общее правило исследования функции на экстремум.

4. Дайте определение точек перегиба функции.

5.Сформулируйте общее правило исследования функции на наличие точек перегиба.

6.Расскажите план исследования функции на построение её графика.

Оценка работы группы в целом и каждым студентом в отдельности, выставление отметок и их обоснование, объявление плана следующего занятия.

Слушают преподавателя, отвечают на вопросы, оценивают

работу на занятии,

задают вопросы.