Методика обучения элементам тригонометрии для обучающихся по профессиям: Повар, кондитер; Токарь-универсал; Автомеханик; Сварщик; Крановщик; Мастер отделочных строительных работ

Методика обучения элементам тригонометрии

для обучающихся по профессиям: Повар, кондитер; мастер отделочных строительных работ, токарь-универсал; автомеханик; сварщик; крановщик

Рабочая программа учебной дисциплины разработана на основе Федерального государственного образовательного стандарта (далее – ФГОС) по профессиям начального профессионального образования (далее НПО). Преподавание алгебры и начал анализа в группах ведется в основном по учебнику [2], выбранного из перечня рекомендуемых учебных изданий, как более доступного для обучающихся. Хотя при объяснении темы: «Радианная мера угла. Вращательное движение» пользуюсь еще и учебником под редакцией Мордковича, так как в нем приведены два макета окружности, без которых дальнейшее объяснение материала будет затруднено (см. гл.1.3).

Считается, что изучение тригонометрии на 1-ом курсе (10 класс) один из наиболее сложных процессов в изучении математики, тем более что на изучение раздела «Основы тригонометрии» в тематическом планировании отводится всего лишь 36-40 часов. Многим обучающимся непросто запомнить значения тригонометрических функций стандартных углов, значения стандартных углов в радианах за пределами прямого угла Большое количество формул для преобразования тригонометрических выражений и формул для определения корней тригонометрических уравнений, способы решения тригонометрических уравнений и неравенств, вызывают  порой серьёзные проблемы, особенно у обучающихся НПО. На своих уроках  в ходе изучения тригонометрии  предлагаю  ребятам, прежде всего, установить закономерность между значениями углов и значениями тригонометрических функций  этих углов. Не заучивать, как стихотворение, а понять, установить,  осознать связь между величинами. Учу  пользоваться единичной окружностью для определения всех этих величин.  Аналогично связь между тригонометрическими формулами и элементами  в формулах устанавливаем в ходе исследования, разрешения  возникающих  проблем, используя технологию проблемного обучения. В ходе рассуждений выводим формулы корней простейших тригонометрических уравнений для различных ситуаций, а также подходы к решению тригонометрических уравнений и неравенств.

С целью более качественного усвоения обучающимися знаний по тригонометрии я разработала карточки информаторы, которые помогают учащимся в освоении нового материала, а в дальнейшем помогают  им, вспомнить нужную информацию и способы её применения, при необходимости .
Предлагаю  основные из них:

1) Карточка-информатор содержит тригонометрический круг с указанием всех стандартных углов в пределах [-π; 2π] указаны значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса всех стандартных углов в пределах 2π радиан. Содержит информацию о  соотношении между градусной и радианной мерой углов, периодичности, чётности и нечётности тригонометрических функций. ( Приложение 2). Вторая сторона карточки содержит основные формулы тригонометрии, разбитые по блокам. Указан алгоритм использования формул приведения.  (Приложение 2а)

2) На  другой карточке содержится информация по решению тригонометрических уравнений. На одной стороне формулы корней всех видов  простейших тригонометрических уравнений и подходы к их определению. (Приложение 3) Другая сторона – алгоритмы решения основных групп тригонометрических уравнений: сводящихся к решению квадратных уравнений, однородные уравнения и сводящихся к произведению равному нулю. (Приложение3а)

А теперь более подробно остановлюсь на изложении методики изучения тригонометрии в группах первого курса НПО. В своей работе я, конечно, опираюсь на традиционную методику преподавания тригонометрии, описанной мною в главе 1.4, но есть отдельные моменты, разработанные лично мною, для облегчения восприятия нового материала обучающимися.

Изучение тригонометрии на 1-ом курсе начинается с темы: «Радианная мера угла» (1 час) и «Вращательное движение»(1 час). А затем вводится понятие синуса, косинуса, тангенса и котангенса(2 часа) (методика изучения этого материала приведена в гл.1.4.) Перед изучением темы я предлагаю вспомнить, с какими стандартными углами им приходилось работать в ходе изучения геометрии в школе. Обучающиеся обычно сразу же называют значения углов: 30⁰, 45⁰, 60⁰, 90⁰. С введением тригонометрической окружности все ограничения на углы отпадают. Именно, с изучения тригонометрической окружности я и начинаю объяснение нового материала, опираясь на учебник под редакцией Мордковича. Знакомлю ребят с числовой окружностью на конкретном примере В результате новый материал воспринимается ими намного легче. Делаю упор на то, что на числовой окружности углы измеряются в радианах. Например, полный оборот — 360° — обозначается как 2π радиан (так как длина L окружности радиусом R вычисляется по формуле L=2πR. Если R=1, то L =2π). А всеми любимый (или ненавидимый) угол 45° равен π/4 радиан. У многих возникает вопрос: при чем здесь число π? Ведь π ≈ 3,14. Так вот, чтобы избежать путаницы, запомните простое, но очень важное правил: во всех тригонометрических функциях — синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе — можно без ущерба для здоровья заменять число π на 180°. Пишется это так: π → 180°. Обращаю внимание на то, что: данное правило работает только для тригонометрических функций! Например, мы спокойно можем записать sin π = sin 180°. Вводится понятие угла в 1 радиан. Выводится формула перевода радианной меры угла в градусную

1 рад=, отсюда угол в α рад =

И наоборот, перевод градусной меры в радианную: 1⁰=

Закрепляем приобретенные знания на практике, решая упражнения в учебнике (№407, № 408)

Для проверки уровня усвоения знаний и способности применять их на практике предлагаю карточки-задания для самостоятельного решения.

Задача № 1

Перейдите от радианной меры угла к градусной (значение тригонометрических функций вычислять не надо):

1. sin π/3;

2. cos 7π/6;

3. tg π;

4. sin π/4;

5. tg 2π/3;

6. ctg π/2;

7. sin 3π/2;

8. cos 5π/4.

Решение

Итак, перед нами восемь тригонометрических функций, аргументы которых заданы в радианах. Мы можем перейти от радианной меры аргументов к градусной по правилу: π → 180°. Имеем:

1. sin π/3 = sin 180/3 = sin 60°;

2. cos 7π/6 = cos (7 · 180/6) = cos 210°;

3. tg π = tg 180°;

4. sin π/4 = sin 180/4 = sin 45°;

5. tg 2π/3 = tg (2 · 180/3) = tg 120°;

6. ctg π/2 = ctg 180/2 = ctg 90°;

7. sin 3π/2 = sin (3 · 180/2) = sin 270°;

8. cos 5π/4 = cos (5 · 180/4) = cos 225°.

Ответ:

sin 60°; cos 210°; tg 180°; sin 45°; tg 120°; ctg 90°; sin 270°; cos 225°.

Итак, вместо непонятного множителя π мы получаем вполне вменяемое число, которое можно умножать и делить по стандартным правилам.

Теперь, когда мы умеем заменять радианную меру углов градусной, попробуем переписать всю тригонометрическую окружность. Основные правила останутся прежними: «нулевой градус» совпадает с положительным направлением оси ОХ, а углы откладываются в направлении против часовой стрелки. Но числа, стоящие на границах координатных четвертей, станут другими. Взгляните:

Отныне вместо непонятных «пи» и «пи-пополам» используем простую и понятную шкалу:

1. α ∈ (0°; 90°) ⇒ это угол I координатной четверти;

2. α ∈ (90°; 180°) ⇒ II координатная четверть;

3. α ∈ (180°; 270°) ⇒ III координатная четверть;

4. α ∈ (270°; 360°) ⇒ IV координатная четверть.

Хорошая новость состоит в том, что эти правила очень быстро откладываются в голове — стоит лишь немного потренироваться. Если же память на числа плохая, советую одну маленькую хитрость. Взгляните еще раз на границы координатных четвертей: 90°, 180°, 270° и 360°. Первая из них — 90° — это прямой угол, знакомый еще из курса средней школы. Его вы точно не забудете. Остальные углы отличаются друг от друга на эти же самые 90°. Взгляните: 90° + 90° = 180°; 180° + 90° = 270°; 270° + 90° = 360°. Таким образом, даже если вы забудете эти числа, их всегда можно восстановить, если просто запомнить, что прямой угол — это 90°. Определив, таким образом, в какой четверти лежит угол, можно с легкостью безошибочно установить знаки тригонометрических функций. Этим самым я подготавливаю почву для восприятия темы: «Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса» .

А теперь разберем конкретные примеры.

Задача №2

Определите, в какой координатной четверти находится аргумент тригонометрической функции и знак этой функции:

1. sin 8π/9;

2. tg 12π/15;

3. cos 9π/10;

4. cos 7π/18;

5. sin 3π/5;

6. ctg 5π/3;

7. tg 4π/9;

8. cos 9π/20.

Решение

Для начала переведем все углы из радиан в градусы по правилу: π → 180°. А затем найдем координатную четверть, ориентируясь по границам: 90°, 180°, 270°, 360°. Имеем:

1. sin 8π/9 = sin (8 · 180/9) = sin 160°; т.к. 160° ∈ [90°; 180°], это II четверть; а »

2. tg 12π/15 = tg (12 · 180/15) = tg 144°; т.к. 144° ∈ [90°; 180°], это II четверть; а tg α во второй четверти имеет знак -

3. cos 9π/10 = cos (9 · 180/10) = cos 162°; т.к. 162° ∈ [90°; 180°], это II четверть; cos во второй четверти имеет знак «-

4. cos 7π/18 = cos (7 · 180/18) = cos 70°; т.к. 70° ∈ [0°; 90°], это I четверть; cos α во второй четверти имеет знак «+»

5. sin 3π/5 = sin (3 · 180/5) = sin 108°; т.к. 108° ∈ [90°; 180°], это II четверть; а »

6. ctg 5π/3 = ctg (5 · 180/3) = ctg 300°; т.к. 300° ∈ [270°; 360°], это IV четверть; ctg α в четвертой четверти имеет знак -

7. tg 4π/9 = tg (4 · 180/9) = tg 80°; т.к. 80° ∈ [0°; 90°], это I четверть;

tg α во второй четверти имеет знак «+»

1. cos 9π/20 = cos (9 · 180/20) = cos 81°; т.к. 81° ∈ [0°; 90°], это I четверть; cos во второй четверти имеет знак «+»

Ответы:

sin 8π/9, tg 12π/15, cos 9π/10 — это II координатная четверть; cos 7π/18 — это I координатная четверть; sin 3π/5 — это снова II координатная четверть; ctg 5π/3 — это вообще IV координатная четверть; tg 4π/9 и cos 9π/20 — это все I координатная четверть.

Как видите, далеко не всегда можно найти значение самой тригонометрической функции. Например, попробуйте вычислить cos 162° или sin 108°. Зато мы всегда можем определить, в какой координатной четверти находится данный угол.

До сих пор мы рассматривали углы α ∈ [0°; 360°]. Но что произойдет, если, например, угол α = 420°? А как насчет отрицательных углов? Предлагаю разобрать и такие задачи. Тем более, схема решения практически ничем не отличается от «стандартных» углов.

Итак, что если угол α 360°? Судя по тригонометрической окружности, точка сделает полный оборот — а затем пройдет еще чуть-чуть. Это самое «чуть-чуть» вычисляется очень просто. Достаточно отнять от исходного угла величину 360° (иногда это приходится делать несколько раз). С отрицательными углами работаем аналогично. Если добавлять к отрицательному углу величину 360°, мы очень скоро получим новый угол α ∈ [0°; 360°]. Таким образом, вся схема решения выглядит следующим образом:

1. Перейти от радианной меры угла к градусной. Для этого достаточно сделать замену: π → 180°;

2. Если полученный угол оказался больше 360°, отнимаем от него по 360° до тех пор, пока новый угол не окажется на отрезке [0°; 360°];

3. Аналогично, если угол будет отрицательным, увеличиваем его на 360° до тех пор, пока он не попадет в отрезок [0°; 360°];

4. Выясняем, в какой координатной четверти находится полученный угол, ориентируясь на стандартные границы: 90°, 180°, 270° и 360°.