Методическая разработка урока по теме "Методы вычисления неопределенного интеграла"

Учебный элемент.

Содержание учебного элемента.

Цель.

Рекомендации по выполнению задания.

УЭ № 1.

Тема: Методы вычисления неопределенного интеграла.

Цель: ознакомить с целями и задачами урока.

Учитель сообщает цели и задачи урока.

Внимательно слушайте учителя.

УЭ № 2

Цель: мотивировать предстоящую деятельность.

Заранее подготовленный ученик с помощью презентации (приложение 1 и приложение 2) рассказывает историю возникновения и применение интегрального исчисления.

Внимательно слушайте докладчика.

Делайте краткие записи по ходу выступления.

УЭ № 3

Цель: актуализация опорных знаний.

Фронтальный опрос.

Ответьте на вопросы:

• Сформулируйте определение первообразной функции.

• Сколько первообразных может иметь функция?

• Дайте определение понятию «неопределенный интеграл».

• Сформулируйте основные свойства неопределенного интеграла.

• Вспомните основные формулы интегрирования.

В случае затруднения обратитесь к учебнику.

Если возникли трудности, обратитесь к информационному блоку 1 к УЭ № 2

(приложение 3).

Если возникли трудности, обратитесь к информационному блоку 2 к УЭ № 2

(приложение 4).

УЭ № 4

Цель: изучение нового материала.

Индивидуальная работа над модулем «Основные методы вычисления неопределенного интеграла».

Метод №1: непосредственное интегрирование.

Непосредственное интегрирование основано на прямом использовании таблицы интегралов. Возможны случаи:

1. данный интеграл находится непосредственно по соответствующему табличному интегралу, например:

;

1. данный интеграл после применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким неопределенным

интегралам, например:

=

.

1. Данный интеграл после элементарных тождественных преобразований над подынтегральной функцией и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, например:

=

.

Метод №2: замена переменной.

Сущность интегрирования методом замены переменной (способом подстановки) заключается в преобразовании интеграла в интеграл , который легко вычисляется по какой-либо из основных формул интегрирования. Например: вычислим неопределенный интеграл методом замены переменной .

Решение:

Введем новую переменную . Дифференцируя, имеем , тогда . Подставив в данный интеграл вместо и , соответствующие выражения, получим:

.

Заменив его выражение через , находим

Метод №3: интегрирование по частям.

Интегрируя обе части равенства , получим ; ,

откуда . С помощью этой формулы вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла , если последний окажется проще исходного. Например, вычислить .

Пусть , . Тогда , . Следовательно, . Используя формулу интегрирования по частям, получаем:

Внимательно изучите текст.

Примеры запишите в рабочую тетрадь. В случае затруднения обратитесь к учителю.

УЭ №5

Цель: Закрепить изученный материал.

1. Один ученик решает у доски, группа выполняет работу самостоятельно. Затем результат проверяется и обсуждается.

Проанализировать задание, выбрать метод и вычислить неопределенный интеграл:

а)

б) ;

в)

2) Самостоятельная работа учащихся с последующей взаимопроверкой.

а)

б);

в)

3)Работа в группах. Каждая группа получает конверт с заданием (приложение 5). Распределите интегралы на три группы: непосредственное интегрирование, интегрирование методом замены переменной, интегрирование по частям. Укажите интегралы, которые можно решить несколькими способами (если такие существуют).

Решайте самостоятельно, ход решения сверяйте с результатом на доске.

Если возникнут затруднения, задавайте вопросы преподавателю или ученику, отвечающему у доски.

Решите задание самостоятельно.

Поменяйтесь тетрадями с соседом по парте и проверьте решение. Если испытываете трудности при проверке, обратитесь к учителю.

Оцените решение соседа.

Активно работайте в группах. Отстаивайте свое мнение и внимательно слушайте товарищей.

Если возникнут затруднения, обратитесь к теоретическому блоку УЭ № 3.

УЭ №6

Цель: обобщение материала, подведение итогов урока.

1. Обобщение материала. Устно ответьте на вопросы.

• Когда и с какого метода началось развитие интегрального исчисления?

• Какой математической задачей увлекся Кеплер?

• Кто считается основоположником современного интегрального исчисление?

• Назовите русских математиков, которые внесли вклад в развитие интегрального исчисления.

• Какие задачи можно решить с помощью интеграла?

• Назовите основные методы вычисления неопределенного интеграла.

• На чем основано непосредственное интегрирование?

• В чем сущность метода замены?

• В чем заключается интегрирование по частям?

1. Преподаватель выставляет оценки.

Если возникнут затруднения, обратитесь к своим записям в рабочих тетрадях.

УЭ №7

Цель: сообщить домашнее задание.

1. Вычислить неопределенный интеграл:

а) ;

б) в)

г)*

д)*

1. Подготовить доклад о русских ученых, которые внесли вклад в развитие интегрального исчисления.

Задание не является обязательным.