Множества практика

Тема: Множества

Объединение и пересечение множеств

Теория

2.1. Вспомним, что объединением двух множеств и называется множество, образованное всеми элементами этих множеств. Объединение множеств обозначается с помощью знака . Так, объединение множеств и можно записать в виде .

Пример 1. Пусть — множество букв, используемых при записи слова прекрасная, то есть

,

а – множество букв, используемых при записи слова принцесса, то есть . Тогда

.

Пример 2. Пусть точки являются вершинами квадрата. Рассмотрим множество точек треугольника (напомним, что треугольник определяется как фигура, состоящая из трех точек и трех соединяющих их отрезков) и множество точек треугольника . Тогда множество выглядит так, как на рисунке 1.

2.2.** Рассматривают также объединения трех, четырех или любого конечного числа множеств. Например, если даны отрезки [0;1], [1;2], [2;3] и интервал (2;4). то объединением этих четырех множеств является полуинтервал [0;4).

Иногда рассматривают объединение бесконечной совокупности множеств. Например, объединение всех отрезков вида , где пробегает все натуральные числа, состоит из всех чисел всех этих отрезков и равно множеству (0;3).

2.3. Вспомним, что пересечением множеств и называется множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат как множеству , так и множеству . Пересечение множеств обозначается с помощью знака . Так, пересечение множеств и можно записать в виде .

Иногда пересечение множеств называют общей частью этих множеств.

Пример 3. Пусть и — множества из примера 1 пункта 2.1. Тогда = {а,е,н,п,р,с}.

Пример 4. Пусть — множество точек некоторой прямой , и — множество точек отличной от нее прямой , которая параллельна прямой . Тогда , так как две различные параллельные прямые не имеют общих точек.

Этот пример показывает, что пересечение двух непустых множеств может оказаться пустым множеством.

2.4.** Рассматривают также пересечения трех, четырех или любого конечного числа множеств. Например, пересечением множества четных чисел, множества натуральных чисел кратных 3 и множества натуральных чисел кратных 5 являются множество натуральных чисел кратных 30.

Иногда рассматривают пересечение бесконечной совокупности множеств. Например, пересечение всех интервалов вида , где пробегает все натуральные числа, состоит из всех чисел, общих для всех этих интервалов, и равно множеству [1;2].

Контрольные вопросы

1.** Что представляет из себя объединение всех множеств точек прямых плоскости, которые параллельны заданной прямой?

2. Что называется объединением двух множеств?

3. Что называется пересечением двух множеств?

4.** Что представляет из себя в координатной плоскости пересечение всех графиков прямо пропорциональных зависимостей?

Задачи и упражнения

1. Найдите и , если:

а) — множество положительных делителей числа 12, а — множество положительных делителей числа 18;

б) — множество букв в слове алгебра, а — множество букв в слове геометрия.

2. Найдите пересечения:

а) ;

б) ;

в) .

3. Покажите, что .

4. На рисунке 2 изображены два точечных множества: — круг с центром в точке радиуса и — круг того же радиуса с центром в точке . Какими фигурами изображаются множества и ?

5. Множество состоит из целых чисел, кратных двум, а множество - – из целых чисел, кратных трем. Из каких чисел состоит множество:

а) ; б) ?

6.** Множество состоит из чисел вида , а множество — из чисел вида , где и — произвольные целые числа. Из каких чисел состоит множество ?

7.** — множество направленных углов с вершиной и начальным лучом , кратных углу в , а — множество направленных углов с той же вершиной и тем же начальным лучом , кратных углу в . Из каких направленных углов состоит множество ?

8. Докажите, что если , то .

9. Докажите, что если , то .

10.** Докажите, что для любых множеств , и верно равенство

11. Какой фигурой изображаются обе части этого равенства, когда , и — круги радиуса 1 с центрами в вершинах равностороннего треугольника со стороной 1?

12.* Найдите пересечение , если:

а) , ;

б) , ;

в) , ;

г) , .

13.** Пусть и . Покажите, что тогда .

Ответы и указания