Множество, операции над множествами и их свойства. Диаграммы Эйлера-Венна.

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Тема: Множество, операции над множествами и их свойства.

Диаграммы Эйлера-Венна.

Уважаемые учащиеся 10 класса!

Поздравляю вас с новым учебным годом!

В своей школьной жизни вы перешли на новую ступень – вы теперь старшеклассники!

Хочу пожелать Вам успехов в процессе освоения нового, удачи,

бодрости и здоровья, настоящей дружбы и радости открытий.

Самое главное, что хотелось бы пожелать – это терпения в новом

учебном году! Надеюсь, мы с Вами в скором времени встретимся!

Итак, начинаем…

Основные теоретические положения и примеры решения типовых заданий.

Понятие множества. Подмножества.

Понятие множества относится к аксиоматическим понятиям математики.

Множество – совокупность определённых, различимых между собой объектов, рассматриваемых как единое целое, и обладающая некоторым общим свойством.

Имеется три важных момента, характеризующих понятие множества:

1) объекты, входящие во множество, определённые – т.е. для каждого объекта можно однозначно сказать, принадлежит ли он данному множеству или нет;

2) объекты, входящие во множество, различимы между собой – т.е. во множестве не может быть двух или более одинаковых объектов;

3) все объекты, входящие во множество, мыслятся как единое целое – т.е. во множестве абстрагируются от свойств отдельных объектов, но говорят об общем свойстве множества, как единого целого; такое общее свойство называют характеристическим.

Например, можно говорить о множестве всех книг данной библиотеки, множестве всех вершин данного многоугольника, множестве всех натуральных чисел, множестве всех точек данной прямой.

Множества обозначаются прописными буквами латинского алфавита: A, B, C, D и т.д.

Объекты, входящие во множество, называют элементами.

Например:

– множество букв русского алфавита;

– множество натуральных чисел;

– множество учеников, сидящих на 1-м ряду.

Множество, состоящее из конечного числа элементов, называется конечным, в противном случае множество называется бесконечным.

Множество может содержать и всего лишь один элемент.

Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается ∅.

Множества А и S, рассмотренные выше, – конечные, а множество N – бесконечное.

Принадлежность элемента множеству записывается значком ∈. Например:

– буква «б» принадлежит множеству букв русского алфавита;

– буква «бета» не принадлежит множеству букв русского алфавита;

– число 5 принадлежит множеству натуральных чисел;

– число 5,5 – не принадлежит множеству натуральных чисел;

– Володя не сидит в первом ряду.

Таким образом, если множество содержит конечное число элементов, то оно может быть задано перечислением его элементов.

Множество может быть также задано при помощи правила, позволяющего определить, является ли данный объект элементом множества или нет. При записи правило, задающее множество, отделяется вертикальной чертой или двоеточием.

Например,

1) - множество чисел, принадлежащих отрезку (подразумевается множество действительных чисел, которые перечислить через запятую уже невозможно);

2) - множество рациональных чисел, то есть, чисел, представимых в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем.

Правило.

Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В одновременно является элементом множества А. Иными словами, множество В содержится во множестве А:

. Значок называют значком включения.

Например:

1. А – это множество букв русского алфавита. Обозначим через С – множество его гласных букв, которое будет подмножеством множества А. Тогда: .

2. Пусть заданы множества А = {1, 3, 5, 7} и B = {3, 5}. Очевидно, что В есть подмножество А, т.е. .

3. Множество N натуральных чисел является подмножеством множества Z целых чисел, т. е. .

4. 

Пустое множество является подмножеством любого множества..

Пример 1. Дано некоторое множество, состоящее из трёх элементов: . Найти все его под­множества.

Решение.

Во-первых, это – пустое множество ∅. Во-вторых, множества, содержащие по одному элементу: {а}, {b},{с}. В-третьих, множества, содержащие по два элемента: {а, b}, {b, с}, {а, с}. И, наконец, само множество {а, b, с}.

Ответ: ∅, {а}, {b},{с},{а, b}, {b, с}, {а, с},{а, b, с}.

Множества А и В считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Равенство множеств обозначают так: А = В.

ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ. ДИАГРАММЫ ЭЙЛЕРА-ВЕННА.

Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих и множеству А и множеству В одновременно. Обозначается .

Объединением множеств А и В называется такое множество, каждый элемент которого содержится хотя бы в одном из множеств А или В. Обозначается .

Разностью двух множеств А и В называется множество, содержащее лишь те элементы из А, которые не входят в В. Обозначается .

Если множество В – подмножество множества А ( ), то разность называется дополнением к В в множестве А.

Пример 2.

Дано:

а) , A = {1;3;4;5;9}, B = {2;4;5;10}.

б) , A = [-3;3), B = (2;10].

Найти: A∩B, A∪B, A\B, B\A,

Решение

1. A∩B = {4;5},

A∪B = {1;2;3;4;5;9;10}, A \ B = {1;3;9}, B \ A = {2;10}.

б) A∩B = (2;3), A∪B = [-3;10] , A\B = [-3,2], B\A = [3,10].

Пример 3. Пусть А – множество различных букв в слове «математика», а В – множество различных букв в слове «стереометрия». Найти пересечение и объединение множеств А и В.

Решение.

А = { м, а, т, е, и, к } В = { с, т, е, р, о, м, и, я }

А∩В = { м, т, е, и } А ∪ В = { м, а, т, е, и, к, с, р, о, я }.

Для иллюстрации операций над множествами часто используются диаграммы Эйлера – Венна. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, а внутри него – кругов, представляющих множества.

• объединение А∪В • пересечение А∩В • разность А\В

Круги, которыми изображаются множества, называются кругами Эйлера.

П ример 4. В классе английский язык изучают 25 человек, а немецкий – 27 человек, причем 18 человек изучают одновременно английский и немецкий языки.

Сколько человек в классе:

а) изучают иностранные языки?

б) изучают только английский язык?

в) изучают только немецкий язык?

Решение

А - множество школьников, изучающих английский язык, В – множество школьников, изучающих немецкий язык.

Изобразим эту ситуацию с помощью диаграммы. Два языка изучают 18 школьников, поставим это число в пересечение множеств А и В. Английский язык изучают 25 человек, но среди них 18 человек изучают и немецкий язык, значит, только английский язык изучают 7 человек, укажем это число на диаграмме. Аналогично, только немецкий язык изучают 27 – 18 = 9 человек. Поместим и это число на диаграмму. По диаграмме получаем:

а) 7 человек, б) 9 человек, в) 7 + 18 + 9 = 34 человека.

Домашнее задание.

Задания выполняются по вариантам (девочки – 1 вариант, мальчики – второй вариант).

Задание 1. Образуйте все подмножества множества букв в слове.

Задание 2. Данные множества задать перечислением всех своих элементов.

Задание 3.

Решите задачу используя круги Эйлера:

Из 52 школьников 23 собирают значки, 35 собирают марки, а 16 – и значки, и марки. Остальные не увлекаются коллекционированием. Сколько школьников не увлекаются коллекционированием?

Контрольные вопросы:

1. Какое множество называется конечным? пустым?

2. Что называется пересечением двух множеств?

3. Что такое диаграмма Эйлера-Венна?

7