Множества. Мощность. Счетные и несчетные множества.

Множества

Выполнили: Кучин Иван,

Тумба Наталья

студенты группы Б-4051,

кафедра ВМиИ, СурГПУ

Эквивалентные множества. Мощность

Мощностью  конечного множества называется число элементов в этом множестве.

  Мощность множества А будем обозначать  N (A) .

Эквивалентные множества. Мощность

Говорят, что между множествами А и В установлено  взаимно однозначное соответствие , если:

1)  каждому элементу множества А соответствует только один элемент множества В;

2)  каждый элемент множества В при этом соответствует некоторому элементу множества А;

3)  разным элементам множества А соответствуют разные элементы множества В.

Эквивалентные множества. Мощность

Множество A называется эквивалентным множеству B, если существует биекция f:А→B . В этом случае говорят также, что множество A имеет одинаковую мощность с множеством B. Обозначение: A~B.

Эквивалентные множества. Мощность

Теорема 1 :

• Всегда A~A;
• Если A~B, то B~A.
• Если A~B и B~C, то A~C.

Эквивалентные множества. Мощность

Теорема 1 :

• Если A1~B1, A2~B2,то

А1 х А2 ~ В1 х В2.

Эквивалентные множества. Мощность

• Tеорема 3 :

Пусть {Ax}x ∈ X и {By}y ∈ y - два семейcтва попарно непересекающихся множеств, и пусть существует такая биекция: f:X→Y , что Ax~Bf (x) для любого элемента x ∈ X . Тогда множества эквивалентны.

Эквивалентные множества. Мощность

Tеорема 4 :

Если A3 ⊂ A2 ⊂ A1 и A3~A1, то A2~A1.

Эквивалентные множества. Мощность

Теорема 5 (Теорема Кантора) :

• Множество X и его булеан (множество всех его подмножеств) Ɓ (X) не эквивалентны.

Счетные множества

• Множества, эквивалентные по числу элементов множеству

N={1, 2, 3, 4,…} 

называются  счетными  множествами.

Счетные множества

• Теорема 1 . Для того, чтобы множество А было счетным, необходимо и достаточно, чтобы его можно было представить в виде А={a1, a2, a3,…} (т.е. в так называемой  форме 

последовательности )

Счетные множества

• Теорема 2.  
• Из всякого  бесконечного  множества А можно выделить  счетное  множество.

Счетные множества

• Теорема 3.   Всякое бесконечное подмножество счетного множества тоже счетно.

Счетные множества

• Теорема 4.  Сумма  конечного числа  счетных множеств есть также счетное множество.

Счетные множества

• Теорема 5.  Сумма  счетного числа  конечных множеств есть конечное или счетное множество.

Счетные множества

• Теорема 6 .  Сумма счетного числа счетных множеств есть также счетное множество.

Счетные множества

• Теорема 7 . Если к бесконечному множеству добавить счетное или конечное множество, то это не изменит его мощности.

Счетные множества

• Теорема 8:  Объединение конечной или счётной совокупности конечных или счётных множеств конечно или счётно.

Счетные множества

• Теорема 9:   Множество всех алгебраических чисел счетно.

Счетные множества

• Теорема 10:  Если множество  B  

бесконечно, а  А  конечно или счетно, то

А U B ~ B . 

Пример 1.

Доказать, что следующее множество счетно:  {n∈N|n=2k,k∈N}.

Решение.

Установим взаимно однозначное соответствие между элементами этого множества и натуральными числами, например, упорядочив множество {n∈N|n=2k,k∈N} следующим образом: 2,4,6,8,...

а затем каждому элементу множества поставив в соответствие его порядковый номер в этой последовательности1,2,3,4,....

Таким образом заданное множество является счетным. 

Что и требовалось доказать.

Пример 2.

Доказать, что следующее множество счетно: {n∈N|n=2k,k∈N}.

Решение.

Множество {n∈N|n=2k,k∈N} упорядочим следующим образом:

21,22,23,24,...

далее каждому элементу множества поставив в соответствие его порядковый номер в этой последовательности. Таким образом, установлено взаимно однозначное соответствие между заданным множеством и множеством натуральных чисел. Следовательно, множество {n∈N|n=2k,k∈N}

  является счетным. 

Что и требовалось доказать.

Пример 3.

Пусть X1,X2,X3,...− счетные множества. Доказать, что их объеденение ⋃ (n∈N) X n − счетное множество.

Решение.

Пусть Xn={xn,1,xn,2,...,xn,l,...}. Тогда элементы множества  ⋃ (n∈N) X n  можно записать в виде следующей таблицы:

x1,1,x1,2,x1,3,⋯,x1,l,⋯

x2,1,x2,2,x2,3,⋯,x2,l,⋯

x3,1,x3,2,x3,3,⋯,x3,l,⋯

.....................................

xn,1,xn,2,xn,3,⋯,xn,l,⋯

...................................

Занумеруем элементы этой таблицы следующим образом: в качестве первого элемента берем элемент x1,1, следующие два элемента -- элементы стоящие на диагонали x1,2 и x2,1, затем считаем три элемента стоящие на следующей диагонали x3,1,x2,2 и x1,3 и так далее. Таким образом, каждому элементу множества  ⋃ (n∈N) X n  можно поставить в соответствие натуральное число (порядковый номер элемента, если их пересчитывать по указанной выше схеме). Следовательно, заданное множество счетное.

Что и требовалось доказать.

Пример 4.

Используя результат предыдущей задачи доказать, что множество всех рациональных чисел Q={x∈R|x=mn,n≠0,m,n∈Z}.

Решение.

Множество рациональных чисел можно представить как объединение счетных множеств Xn={nk|k∈N}={n1,n2,n3,⋯}.

Каждое множество X n  счетное, поскольку каждому элементу можно поставить в соответствие натуральное число, стоящее в знаменателе. Тогда множество Q={x∈R|x=mn,n≠0,m,n∈Z}=⋃ (n∈N) X n

так же является счетным, как было доказано в предыдущей задаче.

Что и требовалось доказать.

Несчетное множество

Множество, элементы которого невозможно пронумеровать.

Несчётное множество может быть только бесконечным. 

Счетные множества

Теорема 1. Множество всех бесконечных бинарных последовательностей, т.е. состоящих из 0 и 1, несчетно.

Счетные множества

Теорема 2. Множество всех действительных чисел интервала 0x

Список источников

• http://hijos.ru/izuchenie-matematiki
• https://ru.wikibooks.org/wiki