Модель эпидемии при изучении производной

Sir-модель эпидемии Кермака-МакКендрика

Выполнила Бычкова Д.В .

История

• Существуют общепринятые обозначения для упомянутых выше групп. Первая группа обозначается латинской буквой S (от англ. succeptible– восприимчивые), вторая – I (от англ. ill– больные), а третья – R (от англ. recovered– выздоровевшие). Именно по этой причине модель и получила название SIR-модель. Впервые эта модель была упомянута в трудах британских ученых Kermack W.O. и McKendrick A.G., опубликованных в 1927. До сих пор она не утратила актуальности и часто применяется даже в современных исследованиях.

SIR-модель

• SIR модель включает разделение населения на три группы:
• S(t) — количество лиц восприимчивых к заболеванию,
• I (t)— количество инфицированных
• R (t) — количество лиц, которые выздоровели и имеют иммунитет.

Допущения модели:

• популяция замкнута и имеет постоянный размер N;
• промежуток времени, когда заболевший остается опасным для окружающих, распределен по экспоненциальному закону со средним 1/γ;
• контакты случайны и равновозможны.

SIR модель без учета жизненного цикла населения может быть описана следующей системой дифференциальных уравнений:

• β – коэффициент, который можно интерпретировать как скорость контакта, учитывающий вероятность получения болезни в случае контакта восприимчивого индивидуума с инфицированным;
• 𝛾 = 1/𝑇, где 𝑇 - время болезни, коэффициент можно интерпретировать как скорость выздоровления.
• Первое уравнение описывает динамику численности уязвимых к болезни.
• Второе уравнение описывает динамику численности заражённых особей: разность числа заражённых особей и числа выздоровевших особей.
• Третье уравнение описывает динамику выздоровления заражённой особи: с некоторой скоростью γ инфицированная особь выздоравливает

• Система не является линейной и не разрешима аналитически.

• -коэффициент распространения инфекции
• - сила действия инфекции

Модели с конкретными параметрами Сила действия инфекции 0,001 Число людей в городе 1000 Найдите коэффициент распространения инфекции.