Начальные сведения из стереометрии. Параллелепипед. Объём тела

Параллелепипед.

Объём тела

К учебнику Л.С.Атанасяна

Геометрия 7 - 9, Глава XIV, п. 125, 126, 9 класс

Автор: Софронова Наталия Андреевна,

учитель математики высшей категории

МОУ «Упшинская основная общеобразовательная школа»

Оршанского района Республики Марий Эл

Определение параллелепипеда

D 1

C 1

Четырехугольная призма , основаниями которой являются параллелограммы, называется параллелепипедом

A 1

B 1

ABCD – параллелограмм

A 1 B 1 C 1 D 1 – параллелограмм

C

D

АA 1 B 1 В

ВB 1 C 1 С

СС 1 D 1 D

DD 1 A 1 A

параллелограммы

A

B

Все шесть граней параллелепипеда - параллелограммы

Определение параллелепипеда

Если параллелепипед – прямой (боковые ребра перпендикулярны к плоскостям оснований), то его боковые грани - прямоугольники

D 1

C 1

A 1

B 1

ABCD – параллелограмм

A 1 B 1 C 1 D 1 – параллелограмм

АA 1 B 1 В

ВB 1 C 1 С

СС 1 D 1 D

DD 1 A 1 A

D

C

прямоугольники

B

A

Прямоугольный параллелепипеда

D 1

C 1

Если основания ми прямого параллелепипеда являются прямоугольники , то такой параллелепипед называется прямоугольным

B 1

A 1

ABCD – прямоугольник

A 1 B 1 C 1 D 1 – прямоугольник

АA 1 B 1 В

ВB 1 C 1 С

СС 1 D 1 D

DD 1 A 1 A

D

C

прямоугольники

B

A

ǁ

ǁ

∣

∣

Свойство диагоналей

параллелепипеда

D 1

C 1

Отрезок, соединяющий две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называется диагональю параллелепипеда: А 1 С, D 1 В, DВ 1 , АС 1

A 1

B 1

Четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам

D

C

A

B

Свойство диагоналей

параллелепипеда

D 1

С 1

ВА 1 D 1 C – параллелограмм

(Почему?)

А 1

В 1

О

А 1 C и D 1 В - диагонали

А 1 C ⋂ D 1 В = О

D

С

А 1 О = ОC; D 1 О = ОВ

В

А

Свойство диагоналей

параллелепипеда

D 1

С 1

АD 1 С 1 В – параллелограмм

А 1

В 1

(Почему?)

О

Диагонали АC 1 и D 1 В пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

D

С

Так как О середина D 1 В

( D 1 О = ОВ ), то АC 1 ⋂ D 1 В = О

АО = ОC 1

В

А

Свойство диагоналей

параллелепипеда

D 1

С 1

DА 1 В 1 С – параллелограмм

(Почему?)

А 1

В 1

О

Диагонали А 1 C и DВ 1 пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

D

С

Так как О середина А 1 С

( А 1 О = ОС ), то А 1 C ⋂ DВ 1 = О

DО = ОB 1

В

А

Понятие площади многоугольника

Площадь многоугольника – это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник

Измерение площадей проводится с помощью выбранной единицы измерения.

За единицу измерения площадей принимают квадрат , сторона которого равна единице измерения отрезков: 1 мм, 1 см, 1 дм, 1 м, 1 км:

1 дм 2

1 см 2

1 дм

1 см

Объём тела

Объём тела – это положительная величина той части пространства, которую занимает тело

Объём тела

Измерение объёмов проводится с помощью выбранной единицы измерения.

За единицу измерения объёмов принимают куб , сторона которого равна единице измерения отрезков:

1 мм, 1 см, 1 дм, 1 м, 1 км.

Куб со стороной 1 мм называют кубическим миллиметром, обозначают: 1 мм 3

1 мм

Куб со стороной 1 см называют кубическим сантиметром, обозначают: 1 см 3

1 см

Объём тела

Куб со стороной 1 дм называют кубическим дециметром, обозначают: 1 дм 3

1 дм

Куб со стороной 1 м называют кубическим метром,

обозначают: 1 м 3

1 м

Объём тела

При выбранной единице измерения объём тела выражается положительным числом, которое показывает сколько единиц измерения объёмов и её частей укладываются в этом теле

Сторона кубика, из которых составлено тело, равна 1 см

V = 21 см 3

Объём тела

Сторона кубика, из которых составлено тело, равна 1 см

V 1 = 8 см 3

1

3

V 2 = 24 см 3

2

V 3 = 1 см 3

V 4 = 6 см 3

V 5 = 8 см 3

V 6 = 72 см 3

6

4

5

Основные свойства объёмов

1 0 . Равные тела имеют равные объёмы

2 0 . Если тело составлено из нескольких тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел

V тела = V цилиндра + V конуса

Принцип Кавальери

S 1

S 2

Бонавентура

Кавальери,

итальянский

математик

(1598 г - 1647 г )

Рассмотрим два тела, заключенные между двумя параллельными плоскостями.

Пусть любая плоскость, расположенная между этими плоскостями и параллельная им, пересекает оба тела так, что площадь сечения первого тела в k раз больше площади сечения второго тела

( S 1 = k S 2 , k – одно и тоже для любой такой секущей плоскости).

Тогда, согласно принципу Кавальери, объём первого тела в k раз больше объёма второго тела: V 1 = k V 2

Принцип Кавальери

α ǁ β

β

h

S 2

S 1

γ

h

α

S 1 = k S 2

V 1 = k V 2

γ ǁ β, γ ǁ α