Научно-исследовательская работа "Исследование графиков функций с помощью Excel"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа села Синодское

Научно - исследовательская работа по математике

«Исследование графиков функций с помощью Excel»

Автор: учащийся 7 класса

МБОУ СОШ с.Синодское

Ворфоломеев Евгений Юрьевич

Научный руководитель:

учитель математики

МБОУ СОШ с.Синодское

Ромахина Каринэ Петросовна

2016 г.

Оглавление

1. Введение. Цели и задачи..………………………………………. 3

2. Теоретическая часть…………………………………………….. 4-5

3. Практическая часть……………………………………………… 6-8

а) Исследование графика линейной функции

б) Исследование системы линейных уравнений с двумя

переменными

1. Заключение ………………………………………….................... 8

2. Список литературы ………………………………………………9

3. Приложение ……………………………………………………..10-17

Введение

На уроках алгебры мы изучаем функции и их свойства, строим графики функций, учимся решать уравнения и системы уравнений. В своей работе я показал способы построения графиков функций, исследовал свойства функций и графиков в зависимости от параметров, входящих в ее уравнение, графический способ решения уравнений и системы уравнений с двумя переменными – с помощью программы Microsoft Excel.

Программа MS Excel позволяет очень быстро создать любое количество графиков различных функций, а также рассмотреть большое количество примеров изменения графиков в зависимости от параметров.

Цели и задачи исследования:

исследовать изменение расположения графика линейной функции, в зависимости от параметров входящих в её уравнение; показать принцип построения графиков уравнений с помощью формул в электронных таблицах; ознакомиться с методами решения линейных уравнений с двумя переменными и систем уравнений с помощью электронной таблицы Microsoft Excel.

Выявить преимущества решения систем уравнений графическим способом.

Гипотеза:

Использование программы Microsoft Excel наглядно иллюстрирует построение графиков элементарных и более сложных функций, позволяет исследовать преобразование  графиков, изменение графика функции в зависимости от исходных данных.

1. Теоретическая часть

Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y = kx + b, где x - независимая переменная, k и b - некоторые числа. Графиком линейной функции является прямая. Прямая определяется двумя точками. Значит, для построения графика линейной функции достаточно найти координаты двух точек графика, нанести полученные точки на координатную плоскость и через них провести прямую. Пусть в формуле у = kх + b число k равно нулю. Тогда формульное представление линейной функции получает вид у = 0 ∙ х + b, т. е. у = b. Функция, задаваемая формулой у = b, при любом значении аргумента принимает одно и то же значение b. Пусть в формуле у = kх + b число b это нуль. Тогда формульное представление линейной функции становится таким: у = kх. Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида y = kx, где x - независимая переменная, k - не равное нулю число. Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат. 
Для построения графика прямой пропорциональности достаточно отметить какую-либо точку графика, отличную от начала координат и провести через эту точку и начало координат прямую. Графики двух разных линейных функций вида у = kх + b: пересекаются, если коэффициенты k разные; параллельны, если коэффициенты k одинаковые.

Через свойства линейной функции можно решать системы линейных уравнений. Причем это решение изящно, а его графическая интерпретация помогает глубже вникнуть в смысл математических понятий.

Уравнение вида ах + ву = с - линейное уравнение с двумя переменным, где х и у переменные, а, в и с – некоторые числа. Если а = 0, то уравнение принимает вид 0· х + bу = с. Если b = 0, то уравнение принимает вид ах + 0· у = с.

Если a=0, b = 0, с = 0, то уравнение принимает вид 0· х+ 0·у= 0.

 Если а = 0, в = 0, с≠0, то уравнение принимает вид 0· х+ 0·у= с.

Графиком линейного уравнения с двумя переменными называется множество всевозможных точек координатной плоскости, координаты которых будут являться решениями этого линейного уравнения.  График представляет собой прямую линию. Поэтому такие уравнения и называются линейными.

Уравнение вида ах + ву = с - линейное уравнение с двумя переменным, где х и у переменные, а, в и с – некоторые числа. Если а = 0, то уравнение принимает вид 0· х + bу = с. Если b = 0, то уравнение принимает вид ах + 0· у = с.

Если a=0, b = 0, с = 0, то уравнение принимает вид 0· х+ 0·у= 0.

 Если а = 0, в = 0, с≠0, то уравнение принимает вид 0· х+ 0·у= с.

Графиком линейного уравнения с двумя переменными называется множество всевозможных точек координатной плоскости, координаты которых будут являться решениями этого линейного уравнения.  График представляет собой прямую линию. Поэтому такие уравнения и называются линейными.

Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой. Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающих каждое уравнение системы в верное равенство. Решить систему уравнений – это означает найти их общие решения. Поиск общего решения нескольких уравнений называют решением системы уравнений.

II. Практическая часть

Исследование графика линейной функции.

1.Рассмотрим функцию y=kx+b такую, что k ≠ 0, b = 0.

Фyнкция вида y=kx (прямая пропорциональность).

В одной системе координат построим графики функций:

y=3x, y=x, y=-3x.
Вывод:
График линейной функции вида у=kх проходит через начало координат. (приложение 1)

2.Рассмотрим функцию y=kx+b такую, что k ≠ 0, b ≠ 0.

В одной системе координат построим графики функций:

y=2x+5, y=-2x+5
Вывод:
График линейной функции вида y = kx + b пересекает ось Оy в точке (0;b). (приложение 2)
3.Рассмотрим функцию y=kx+b, где k=0, b ≠ 0

y= b.

В одной системе координат построим графики функций: y=5, y=-5.
Вывод:
График линейной функции вида y = b проходит параллельно оси Оx и пересекает ось Оy в точке (0;b). (приложение 3)
4.В одной системе координат построим графики функций, где k – одно и то же число.

y=2x, y=2x+5, y=2x-5.
Вывод:
Графики линейных функций вида y=kx+b параллельны, если коэффициенты при х одинаковы.

(приложение 4)

5.В одной системе координат построим графики функций:

y=4x-5, y= -2x+7.
Вывод:
Графики двух линейных функций вида y=kx+b пересекаются, если коэффициенты при х различны. (приложение 5)
Коэффициент k называют угловым коэффициентом прямой – графика функции y=kx+ b.
Вывод:

Если kx тупой. Функция убывает.
Если k0 , то угол наклона графика к оси Оx острый. Функция возрастает. (приложение 6).

Итак, исследуя расположение прямой, в зависимости от изменения значения k можно сделать вывод, что внося изменения в одну ячейку электронной таблицы, не меняя более ничего, мы можем получать различные расположения прямой.

Исследование системы уравнений с двумя переменными.

1.Решить систему уравнений y-2x=1

6x-y=7

Выразим y через x y=2x+1

y= 6x-7 и построим графики уравнений. (приложение 7)

Подводя курсор к точке пересечения линий легко можно увидеть решение уравнения (2;5).

2.Решить систему уравнений

x-2y=6

3x+2y=-6

Выразим y через x y=x/2-3

y=-1,5x-3

Подводя курсор к точке пересечения линий легко можно увидеть решение уравнения (3;-1,5).

Применяя известный алгоритм построения графиков, получаем график. (приложение 8)

Вывод:

Имея один шаблон для решения систем уравнений, не применяя особых усилий можно за короткое время решить много систем уравнений, а также использовать этот метод решения использовал для проверки домашних заданий.

Заключение:

Проделав данную исследовательскую работу, я пришел к следующим выводам: используя программу MS Excel на уроках математики можно получить наглядное представление о свойствах функции, графиках функций, взаимном расположении графиков, а также закрепить навыки и умения построения графиков функций, проводить исследования.

Использование компьютерных программ для построения графиков функций, изучение их свойств и закономерностей, дает возможность рассмотреть большое количество примеров с минимальными усилиями.

Список литературы

1.Алгебра. Учебник для 7 класса средней школы, под редакцией Теляковского С.А.

2.Д.В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Москва, Наука, 1980 г.

3.М.Я. Выгодский. Справочник по высшей математике. Москва, 1977 г.

4. Математика. Учебное пособие под редакцией Муравья Л.Я., г. Москва Бридж 1994г.

5.В.С. Шипачёв. Основы высшей математики. Москва, Высшая школа, 1989 г.

9